PAGEPAGE1課時作業13改變率與導數、導數的計算[基礎達標]一、選擇題1．函數f(x)＝(x＋2a)(x－a)2A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2∴f′(x)＝3(x2－a2)．答案：C2．[2024·濟寧模擬]曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1解析：由題意得y′＝(x＋1)ex＋2，則曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線的斜率為(0＋1)e0＋2＝3，故曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為y＋1＝3x，即y＝3x－1.答案：A3．[2024·山西名校聯考]若函數f(x)的導函數的圖象關于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋x2C．f(x)＝1＋2sinxD．f(x)＝ex＋x解析：A選項中，f′(x)＝－3sinx，其圖象不關于y軸對稱，解除A選項；B選項中，f′(x)＝3x2＋2x，其圖象的對稱軸為x＝－eq\f(1,3)，解除B選項；C選項中，f′(x)＝2cosx，其圖象關于y軸對稱；D選項中，f′(x)＝ex＋1，其圖象不關于y軸對稱，解除D選項．答案：C4．[2024·鄭州市質量檢測]曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點的坐標為()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3)D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，經檢驗，點(1,3)，(－1,3)均不在直線y＝2x－1上，故選C.答案：C5．[2024·合肥市高三第一次質量檢測]已知直線2x－y＋1＝0與曲線y＝aex＋x相切(其中e為自然對數的底數)，則實數a的值是()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．e解析：由題意知y′＝aex＋1＝2，則a>0，x＝－lna，代入曲線方程得y＝1－lna，所以切線方程為y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1?a＝1.答案：B6．[2024·福建福州八縣聯考]已知函數f(x)的導函數是f′(x)，且滿意f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，則f(1)＝()A．－eB．2C．－2D．e解析：由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，則f(1)＝2f′(1)＝2.答案：B7．[2024·湖南株洲模擬]設函數y＝xsinx＋cosx的圖象在點(t，f(t))處的切線斜率為g(t)，則函數y＝g(t)圖象的一部分可以是()解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.則g(t)＝tcost，g(t)是奇函數，解除選項B，D；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，y>0，解除選項C.故選A.答案：A8．[2024·廣州市高三調研考試]已知直線y＝kx－2與曲線y＝xlnx相切，則實數k的值為()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，設切點為(x0，x0lnx0)，則切線方程為y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因為切線y＝kx－2過定點(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，故選D.答案：D9．[2024·廣東深圳模擬]設函數f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋b，若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處的切線經過坐標原點，則ab＝()A．1B．0C．－1D．－2解析：由題意可得，f(a)＝a＋eq\f(1,a)＋b，f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，所以f′(a)＝1－eq\f(1,a2)，故切線方程是y－a－eq\f(1,a)－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))(x－a)，將(0,0)代入得－a－eq\f(1,a)－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))(－a)，故b＝－eq\f(2,a)，故ab＝－2，故選D.答案：D10．[2024·寶安，潮陽，桂城等八校第一次聯考]已知函數f(x)＝x2的圖象在點(x0，xeq\o\al(2,0))處的切線為l，若l也與函數y＝lnx，x∈(0,1)的圖象相切，則x0必滿意()A．0<x0<eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)<x0<1C.eq\f(\r(2),2)<x0<eq\r(2)D.eq\r(2)<x0<eq\r(3)解析：由題意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)，所以切線l的方程為y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＝2x0x－xeq\o\al(2,0).因為l也與函數y＝lnx(0<x<1)的圖象相切，設切點坐標為(x1，lnx1)，易知y′＝eq\f(1,x)，則切線l的方程為y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1－1，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(1,x1)，,1－lnx1＝x\o\al(2,0)，))又0<x1<1，所以x0>1，所以1＋ln2x0＝xeq\o\al(2,0)，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈[1，＋∞)，則g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)>0，所以g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，又g(1)＝－ln2<0，g(eq\r(2))＝1－ln2eq\r(2)<0，g(eq\r(3))＝2－ln2eq\r(3)>0，所以存在x0∈(eq\r(2)，eq\r(3))，使得g(x0)＝0，故eq\r(2)<x0<eq\r(3)，故選D.答案：D二、填空題11．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，則x0＝________.解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：312．過點P(1,1)與函數y＝eq\f(1,x)相切的直線與坐標軸圍成的三角形面積為________．解析：∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2)，∴k＝－1，∴切線方程y－1＝－(x－1)．即x＋y－2＝0，∴與x軸交點為(2,0)，與y軸交點為(0,2)，∴S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.答案：213．已知直線y＝－x＋1是函數f(x)＝－eq\f(1,a)·ex圖象的切線，則實數a＝________.解析：設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－eq\f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.答案：e214．[2024·陜西省高三教學質量檢測]已知函數f(x)＝2lnx和直線l：2x－y＋6＝0，若點P是函數f(x)圖象上的一點，則點P到直線l的距離的最小值為________．解析：如圖，在同一平面直角坐標系內分別作出函數f(x)的大致圖象以及直線l，并平移直線l使之與函數f(x)的圖象恰好相切于點Q，由圖易知，當且僅當點P與點Q重合時，點P到直線l的距離最短．設點Q(x0，y0)，則由f′(x)＝eq\f(2,x)，可得f′(x0)＝eq\f(2,x0)＝2，解得x0＝1，所以y0＝f(x0)＝f(1)＝0，所以Q(1,0)，故點Q到直線l：2x－y＋6＝0的距離為eq\f(8,\r(5))，即eq\f(8\r(5),5).故點P到直線l的距離的最小值為eq\f(8\r(5),5).答案：eq\f(8\r(5),5)[實力挑戰]15．[2024·安徽淮南模擬]已知函數f(x)＝x2－lnx.(1)求函數f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)在函數f(x)＝x2－lnx的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線相互垂直，且切點的橫坐標都在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上？若存在，求出這兩點的坐標，若不存在，請說明理由．解析：(1)由題意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－eq\f(1,x)，f′(1)＝2－1＝1，則所求切線方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)假設存在兩點滿意題意，且設切點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，不妨設x1<x2，結合題意和(1)中求得的導函數解析式可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(1,x1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x2)))＝－1，又函數f′(x)＝2x－eq\f(1,x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調遞增，函數的值域為[－1,1]，故－1≤2x1－eq\f(1,x1)<2x2－eq\f(1,