高中數學二次函數課件演講人：日期：目錄二次函數的基本概念二次函數的解析式二次函數的圖像變換二次函數的極值問題二次函數的實際應用二次函數的綜合題習題與解答01二次函數的基本概念二次函數的定義代數定義形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數，稱為二次函數。關鍵點系數關系a決定了函數的開口方向及大小，b決定了函數的對稱軸位置，c決定了函數與y軸的交點。a>0時，函數開口向上；a<0時，函數開口向下。123圖像形狀二次函數的圖像是一條拋物線，其開口方向由a的符號決定。對稱軸二次函數的圖像關于直線x=-b/2a對稱，該直線稱為對稱軸。頂點坐標二次函數圖像的頂點坐標為(-b/2a,c-b2/4a)，它是函數圖像的最高點或最低點。與坐標軸交點二次函數與x軸交于兩點（若無實數根則無交點），與y軸交于一點。二次函數的圖像單調性在對稱軸左側，函數值隨x的增大而減小；在對稱軸右側，函數值隨x的增大而增大（當a>0時）。判別式ΔΔ=b2-4ac，用于判斷二次函數的根的情況。Δ>0時，有兩個不相等的實根；Δ=0時，有兩個相等的實根；Δ<0時，無實根。最值性質二次函數在頂點處取得最大或最小值，具體取決于a的符號。零點與x軸交點若二次函數與x軸有交點，則交點對應的x值為函數的零點，也是函數的根。二次函數的性質0102030402二次函數的解析式標準形式標準形式定義二次函數的標準形式為y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c為常數，x為自變量，y為因變量。標準形式特點通過標準形式，可以清晰地看出二次函數的開口方向、頂點坐標、對稱軸等關鍵信息。標準形式應用在實際問題中，通常將二次函數化為標準形式，以便更好地分析其性質和圖像。頂點形式頂點形式定義二次函數的頂點形式為y=a(x-h)2+k，其中(h,k)為頂點坐標，a為二次項系數。頂點形式特點頂點形式應用頂點形式突出了二次函數的頂點位置，可以直觀地看出函數的最大值或最小值。在求解二次函數的最值、對稱軸等問題時，通常將函數化為頂點形式。123交點形式定義二次函數的交點形式為y=(x-x?)(x-x?)，其中x?、x?為二次函數與x軸的交點橫坐標。交點形式交點形式特點交點形式反映了二次函數與x軸的交點情況，可以方便地求出函數的零點。交點形式應用在求解二次函數的零點、判斷函數與x軸的交點個數等問題時，交點形式具有重要作用。同時，在解決一些與二次函數零點相關的實際問題時，交點形式也常常被使用。03二次函數的圖像變換平移變換將二次函數圖像沿y軸向上或向下平移，函數表達式變為y=a(x-h)2+k，其中h=0，k為上下平移的距離。上下平移將二次函數圖像沿x軸向左或向右平移，函數表達式變為y=a(x-h)2+k，其中h為左右平移的距離，k=0。左右平移平移不改變二次函數的開口方向、開口大小和頂點坐標的縱坐標，但會改變函數的對稱軸位置。平移對函數的影響對稱變換關于x軸對稱將二次函數圖像關于x軸對稱，函數表達式變為y=-a(x-h)2+k，其中a為原函數開口方向的相反數。關于y軸對稱將二次函數圖像關于y軸對稱，函數表達式變為y=a(-x-h)2+k，即y=a(x+h)2+k，其中h為對稱軸x=h的相反數。對稱變換對函數的影響對稱變換會改變二次函數的開口方向，但不會改變開口大小、頂點坐標和對稱軸位置。將二次函數圖像在x軸上進行縮放，函數表達式變為y=a(bx-h)2+k，其中b為縮放因子。當|b|>1時，圖像在x軸上縮小；當0<|b|<1時，圖像在x軸上放大。縮放變換橫向縮放將二次函數圖像在y軸上進行縮放，函數表達式變為y=c(x-h)2+k，其中c為縮放因子。當|c|>1時，圖像在y軸上放大；當0<|c|<1時，圖像在y軸上縮小。縱向縮放縮放變換會改變二次函數的開口大小，但不會改變開口方向、頂點坐標和對稱軸位置。同時，橫向縮放還會改變函數的寬窄，縱向縮放還會改變函數的高低。縮放變換對函數的影響04二次函數的極值問題123極值的定義極大值與極小值二次函數在其定義域內可能存在一個最大值和一個最小值，分別稱為極大值和極小值，統稱為極值。頂點對于開口向上的二次函數，其極小值即為頂點；對于開口向下的二次函數，其極大值即為頂點。判別式通過二次函數的判別式可以判斷極值的類型，當判別式大于0時，函數有兩個不相等的實根，即存在兩個極值；當判別式等于0時，函數有兩個相等的實根，即存在一個極值；當判別式小于0時，函數無實根，即無極值。極值的求解方法配方法將二次函數通過配方轉化為頂點式，從而直接讀出頂點坐標，即極值點。導數法對二次函數求導，令導數等于0，解得駐點，即為極值點。同時，通過二階導數的符號可以判斷極值的類型（極大值或極小值）。區間法對于定義在特定區間內的二次函數，可以通過比較區間端點函數值與極值點函數值的大小，確定極值。極值的應用最值問題在實際問題中，經常需要求解二次函數的最值，如最大利潤、最小成本等。通過求解極值，可以得到最值問題的解。圖像處理物理學應用在計算機圖形學中，二次函數常用于描述圖像的輪廓。通過求解極值，可以確定圖像的拐點、峰值等特征點，從而實現圖像的識別和處理。在物理學中，二次函數常用于描述運動物體的軌跡、速度、加速度等物理量。通過求解極值，可以預測物體的運動狀態，如最高點、最低點、最遠飛行距離等。12305二次函數的實際應用運動學中的應用在自由落體、拋體運動等物理問題中，物體運動軌跡往往可以用二次函數來描述。物理中的應用光學中的應用在幾何光學中，凸透鏡和凹透鏡的成像規律，以及反射鏡和折射鏡的曲面設計，都涉及到二次函數的計算。聲學中的應用聲音在介質中的傳播和反射，也可以利用二次函數的性質進行建模和計算。經濟中的應用成本函數在企業運營中，成本函數往往呈現二次函數的形式，通過對其進行分析，可以找到最低成本點，提高企業盈利能力。030201收益函數與成本函數類似，收益函數也可以用二次函數來表示，通過對其最大值點的求解，可以制定最優收益策略。經濟模型二次函數在經濟模型中有廣泛應用，如供需模型、價格彈性模型等，有助于分析經濟現象和預測市場趨勢。在建筑設計中，二次函數可以用于計算拱形結構、穹頂、懸索橋等復雜結構的受力情況和形狀設計。工程中的應用建筑工程在機械工程中，二次函數常用于計算零件的強度、剛度和穩定性，以及優化設計參數以提高產品性能。機械設計在電子電路中，二次函數用于描述電壓、電流和功率等物理量之間的關系，有助于電路的分析和設計。電子工程06二次函數的綜合題圖形問題涉及二次函數的性質、定義、公式等代數知識的綜合運用。代數問題實際問題涉及物理、化學、生物等實際情境中的二次函數問題，如運動學中的自由落體、彈道問題，經濟學中的成本、收益問題等。涉及二次函數圖像的平移、旋轉、對稱等變換，或與直線、圓等其他圖形的交點問題。綜合題的類型綜合題的解題思路圖形問題首先明確圖形變換的類型和規律，然后利用二次函數的性質進行求解。代數問題需要熟練掌握二次函數的定義、性質、公式等基礎知識，然后結合題目條件進行推導和計算。實際問題需要理解實際問題的背景和條件，將其轉化為二次函數問題，然后利用二次函數的性質進行求解。綜合題的實例分析圖形問題實例已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過平移得到新的圖像，求新圖像的解析式。代數問題實例實際問題實例已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足某些條件，求a、b、c的值或取值范圍。某物體做自由落體運動，其下落距離y與時間t的關系為y=at2+bt+c，求物體的初速度、加速度等物理量。12307習題與解答基礎習題已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點(1,2)，(2,3)，(-1,0)，求a，b，c的值。題目1若二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標為(h,k)，對稱軸為x=m，求a，b，c與h，k，m的關系。題目2畫出二次函數y=x2-4x+3的圖像，并指出其開口方向、頂點坐標、對稱軸。題目3提高習題已知二次函數y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(x?,0)和(x?,0)，且x?+x?=6，x?x?=8，求a，b，c的值。題目1若二次函數y=ax2+bx+c的圖像在x軸上方，且a>0，求b2-4ac的值。題目2設二次函數y=ax2+bx+c，當x分別取m，n(m≠n)時，y值均為2，求m，n的關系式。題目3已知二