學(xué)年高三上學(xué)期第三次階段性考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.若復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算可求結(jié)果.詳解】，.故選：C2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意義可求.【詳解】由，得，得，所以，又因?yàn)椋瑒t故選：A.3.已知向量，則與向量同向的單位向量的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第1頁/共20頁【分析】由向量的坐標(biāo)除以向量的模，可得與向量同向的單位向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋裕耘c向量同向的單位向量的坐標(biāo)為：，故選：B4.近年來，新能源汽車產(chǎn)銷量的快速增長推動(dòng)了動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．已知蓄電池的容量C(單位：)、放電時(shí)間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間滿足的關(guān)系式為．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間為（）A.35hB.30hC.25hD.20h【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，得．故選：D5.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】化成化成，兩者聯(lián)立求出，，代入公式計(jì)算即得.【詳解】由可得，①，由可得，②，第2頁/共20頁聯(lián)立①，②，解得，，故.故選：A.6.若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則的極大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，求出a的值，再由a的取值和單調(diào)性即可求出取得極大值，即可求的結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?又是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；是的極小值點(diǎn)，所以，.由以上分析知，當(dāng)時(shí)，取得極大值，且.故選：B.7.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，如圖.已知在A，BC處測(cè)得該建筑頂部P的仰角分別為，，，，度（）第3頁/共20頁A.米B.米C.米D.米【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由，結(jié)合余弦定理可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則可得，由，可得B是AC的中點(diǎn)，所以，而，則，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以該建筑的高度米.故選：B.8.已知A，B為直線與函數(shù)的圖象的任意兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)之間的最小距離是，則（）A.B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】化簡可得，利用最小正周期可求.【詳解】第4頁/共20頁，由題意得，的最小正周期為，，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線，A是y是等腰直角三角形，B為直線與雙曲線CC的離心率可能是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】分為AB中點(diǎn)或?yàn)橹悬c(diǎn)兩種情況討論求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合，即可得解.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)槭堑妊苯侨切危裕忠驗(yàn)椋?頁/共20頁當(dāng)為AB中點(diǎn)，所以，，即，因?yàn)锽在雙曲線上，所以，整理得，又因?yàn)椋裕淼茫矗矗O(shè)，則，解得，又，所以，所以當(dāng)在之間，所以，，即，因?yàn)锽在雙曲線上，所以，整理得，又因?yàn)椋裕淼茫矗矗O(shè)，則，解得，又，所以，所以，綜上所述：雙曲線C的離心率可能是或以，第6頁/共20頁故選：AC.10.“培優(yōu)補(bǔ)短”等一系列舉措.為了更好地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將其前后兩次聯(lián)考成績滿分150分分別按照分成五組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.下列說法正確的是（）A.B.估計(jì)該年級(jí)第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生比第一次聯(lián)考對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)段的多10人C.第二次聯(lián)考學(xué)生的成績平均分高于第一次聯(lián)考學(xué)生的成績平均分D.與第一次聯(lián)考相比，第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)減少，在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)增加【答案】BCD【解析】【分析】由頻率和為1列方程求參數(shù)判斷A；再根據(jù)兩次聯(lián)考對(duì)應(yīng)的直方圖分析計(jì)算可判斷BCD的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)轭l率分布直方圖中的各個(gè)矩形的面積之和為1，所以，解得：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，估計(jì)該年級(jí)第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生為人，第一次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生為人，所以估計(jì)該年級(jí)第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生比第一次聯(lián)考對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)段的多10人，故B正確；對(duì)于C，第一次聯(lián)考學(xué)生的成績平均分為第二次聯(lián)考學(xué)生的成績平均分為，故C正確；第7頁/共20頁對(duì)于D，由頻率分布直方圖可知，第一次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的頻率為第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的頻率為，第一次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的頻率為，第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的頻率為，所以與第一次聯(lián)考相比，第二次聯(lián)考成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)減少，在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)增加，故D正確.故選：BCD.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為B.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D.若在上有解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)導(dǎo)數(shù)大集合意義，求出切線斜率，得出方程；選項(xiàng)B，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，極大值大于0，極小值小于0，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；選項(xiàng)C,極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；選項(xiàng)D，不等式在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，求參數(shù)范圍.詳解】選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，故A正確；選項(xiàng)B，，令，得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；的極小值為，的極大值為，第8頁/共20頁要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C,，則若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在有兩個(gè)不同的正根，則，解得，故C正確；選項(xiàng)D,令，則,所以,即可整理為即令,，所以單調(diào)遞增，所以，即，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以的取值范圍為所以D正確。第9頁/共20頁故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.圓與圓相交于ABAB所在直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】兩圓方程作差即可得到公共弦方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑；圓，即，圓心為，半徑，又，所以，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到，即公共弦所在直線的方程為.故答案為：13.現(xiàn)有6根小棒，其長度分別為1，2，3，4，5，6，從這6根小棒中隨機(jī)抽出3根首尾相接（不能折斷___________.【答案】##【解析】【分析】先求出6根小棒中隨機(jī)抽出3根的情況有種不同的情況，再求出構(gòu)成三角形的情況有7種，即可求得結(jié)果.【詳解】從這6根小棒中隨機(jī)抽出3根，共有種不同的情況，其中能構(gòu)成三角形的情況有共7種，故所求概率為.故答案為：14.在正四棱臺(tái)中，，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱臺(tái)外接球的表面積是__________.【答案】【解析】第10頁/共20頁hO，半徑為，利用已知可得，求解即可.【詳解】已知，，設(shè)正四棱臺(tái)的高為h，側(cè)棱與底面所成角為，分別為上下底面的中心，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為4的正方形，則，已知，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，又因?yàn)椋矗栽O(shè)正四棱臺(tái)外接球的球心為O，半徑為設(shè)球心O到上底面的距離為x，則球心O到下底面ABCD的距離為上底面是邊長為2的正方形，其外接圓半徑，下底面ABCD是邊長為4正方形，其外接圓半徑根據(jù)球心到正四棱臺(tái)上下底面頂點(diǎn)距離相等可得：，則，即，第11頁/共20頁兩邊消去，可得，解得，將代入，得根據(jù)球的表面積公式，將代入可得故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用線面角求得正四棱臺(tái)的高，進(jìn)而利用空間幾何體的性質(zhì)求得外接球的半徑.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為常數(shù)）（1）求a的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）0（2）（3）【解析】1）利用的關(guān)系可求得；（2）由（1）可得（3）由（2）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則時(shí)也應(yīng)滿足，即，又，所以，解得；第12頁/共20頁【小問2詳解】由（1）得【小問3詳解】，16.如圖，在四棱錐中，，，，，，E，F(xiàn)分別是棱PA，PC的中點(diǎn).（1）證明：平面（2）求四棱錐體積.（3）求平面DEF與平面ABCD夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）4（3）【解析】1）取AB的中點(diǎn)M，連接DM，可證，進(jìn)而得，結(jié)合已知可證結(jié)論；（2）由（1）可證，進(jìn)而通過≌，可證，進(jìn)而可得平面ABCD，可求四棱錐的體積；（3D為原點(diǎn)，分別以DMDCDP所在直線為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系平面DEF的一個(gè)法向量與平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求兩平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】第13頁/共20頁取AB的中點(diǎn)M，連接DM，且，，從而四邊形MBCD是矩形，則，又，所以，得，從而，又，，平面PAD，所以平面PAD；【小問2詳解】由（1）可知平面PAD，平面PAD，所以，又由，，則，得是一個(gè)等腰直角三角形，從而，又，，所以≌，，所以，，平面ABCD，平面ABCD，PD長就是四棱錐的高，中，易得，，從而【小問3詳解】12DDMDCDP所在直線為xyz軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，第14頁/共20頁，，，則，，可得，設(shè)平面DEF的法向量為，則，令，則，所以平面DEF的一個(gè)法向量為，而平面ABCD的法向量可取，所以，所以平面DEF與平面ABCD夾角的余弦值為17.已知雙曲線的焦點(diǎn)與拋物線的離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1與拋物線的離心率為第15頁/共20頁曲線參數(shù)即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理與弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式將的面積化為關(guān)于m的方程，解之即可得解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線中，雙曲線的離心率為，即雙曲線方程為【小問2詳解】顯然直線斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以，所以，解得，所以，所以直線的方程為或.第16頁/共20頁18.已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（1）求a的值.（2）證明：（3）證明：【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】1）求導(dǎo)可得，結(jié)合已知可求；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求函數(shù)的最小值可得結(jié)論；（3）令，求導(dǎo)，令，求導(dǎo)可得存在，使得在明最小值大于0即可.【小問1詳解】因?yàn)椋裕裕驗(yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率是，所以，解得；【小問2詳解】由（1）知，，第17頁/共20頁則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；【小問3詳解】令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，即，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋裕裕裕吹?8頁/共20頁19.ABCD正確選項(xiàng)有4023個(gè)正確選項(xiàng)..全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.”其中“部分選對(duì)的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得331個(gè)選項(xiàng)且正確得22個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.（1）已知某道多選題的正確答案是BD，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少1個(gè)選項(xiàng)，至多3個(gè)選項(xiàng)，且每種選擇是等可能的.請(qǐng)根據(jù)已知材料，分析該生可能的得分情況與所得分值的相