第一節二維隨機變量二維隨機變量的分布函數二維離散型隨機變量二維連續型隨機變量課堂練習1從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內容的推廣.2

到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.

在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.

飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標)來確定的等等.3一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在上的隨機變量,由它們構成的一個維向量叫做維隨機向量或

維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.4X的分布函數一維隨機變量如果對于任意實數二元函數稱為二維隨機變量的分布函數,或者稱為隨機變量和的聯合分布函數.定義1設是二維隨機變量,一、二維隨機變量的分布函數5

將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,

那么,分布函數在點處的函數值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率.分布函數的函數值的幾何解釋6

隨機點落在矩形域內的概率為789即F(x,y)關于x,y是右連續的。4.對任意的，下述不等式成立：10或隨機變量X和Y的聯合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變量.則稱設二維離散型隨機變量可能取的值是記如果二維隨機變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量的分布律,二、二維離散型隨機變量11也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯合分布律.12二維離散型隨機變量的分布律具有性質二維離散型隨機變量的聯合分布函數為：13

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/814解且由乘法公式得例21516例3

一個袋中有三個球,依次標有數字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標有的數字,求(X,Y)的分布律與分布函數.

(X,Y)的可能取值為解17故(X,Y)的分布律為下面求分布函數.181920所以(X,Y)

的分布函數為21連續型一維隨機變量XX的概率密度函數三、二維連續型隨機變量定義3對于二維隨機變量的分布函數則稱是連續型的二維隨機變量

,函數稱為二維（X,Y)的概率密度

,隨機變量存在非負的函數如果任意有使對于

稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度.或22（X,Y）的概率密度的性質:在f(x,y)的連續點,23表示介于f(x,y)和xoy

平面之間的空間區域的全部體積等于1.說明:2425

若f(x,y)在點(x,y)連續，則當很小時有,26例2

設(X,Y)的概率密度是(2)求分布函數(3)求概率.(1)求常數A;解(1)由可得A=2.27積分區域區域解(2)2829當時,故當時,30(3)31例3

設隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為其中A,B,C

為常數.(1)

確定常數A,B,C

；(2)求P(X>2);(3)求(X,Y)的聯合密度函數。32解

(1)33(2)(3)34四、課堂練習設隨機變量(X,Y)的概率密度是(1)確定常數(2)求概率.35解(1)故36(2).37第二節邊緣分布邊緣分布函數離散型隨機變量的邊緣分布律連續型隨機變量的邊緣概率密度課堂練習38

二維聯合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關系呢?這一節里,我們就來探求這個問題.39二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數而和都是隨機變量,也有各自的分布函數,分別記為變量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數.依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數40一般地，對離散型r.v

(X,Y)，則(X,Y)關于X的邊緣分布律為:X和Y的聯合分布律為二、離散型隨機變量的邊緣分布律41(X,Y)關于Y的邊緣分布律為:

離散型隨機變量關于X和Y的邊緣分布函數分別為:42

我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.43例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.44注意聯合分布邊緣分布解45解例2樣本點4647例3

設隨機變量且滿足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的聯合概率分布；（2）P{X1<X2}；（3）P{X1=X2}。48三、連續型隨機變量的邊緣分布49同理可得Y的邊緣分布函數Y的邊緣概率密度.50解例3515253

在求連續型r.v

的邊緣密度時，往往要求聯合密度在某區域上的積分.當聯合密度函數是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限

.下面我們介紹兩個常見的二維分布.54

設G是平面上的有界區域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區域G上任投一質點，若質點落在G內任一小區域B的概率與小區域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關.則質點的坐標(X,Y)在G上服從均勻分布.1.二維均勻分布55

若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數為

的二維正態分布.其中均為常數,且記作（X,Y）～N().2.二維正態分布56例3

試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以57則有58

二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布,并且不依賴于參數.同理可見由邊緣分布一般不能確定聯合分布.

也就是說,對于給定的不同的對應不同的二維正態分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明59四、課堂練習

設(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關于X和Y的邊緣概率密度.60解暫時固定當時,當時,故暫時固定61暫時固定暫時固定當時,當時,故62第三節條件分布離散型隨機變量的條件分布連續型隨機變量的條件分布課堂練習63

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.64

例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布65

現在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學生中求其體重的分布.

容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會不一樣.

例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.66一、離散型隨機變量的條件分布

實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.

定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj

}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj

}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.

作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.67

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質一樣.例如：i=1,2,…68例169解由上述分布律的表格可得7071

解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.首次擊中目標時射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例2

一射手進行射擊，擊中目標的概率射擊進行到擊中目標兩次為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數，以Y表示總共進行的射擊次數

.試求X和Y的聯合分布及條件分布.{X=m}表72(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯合分布律為

不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為pP{X=m,Y=n}=？73

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)74Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)75于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯合分布邊緣分布76n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，77二、連續型隨機變量的條件分布

設(X,Y)是二維連續型r.v，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.78

設X和Y的聯合概率密度為

關于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下

的條件概率密度.記為稱為在的條件下,

的條件分布函數.記為定義2若對于固定的,79即類似地,可以定義80

我們來解釋一下定義的含義：以為例8182求P{X>1|Y=y},P{X<1|Y=1／2}例3

設(X,Y)的概率密度是解為此,需求出83由于于是對y>0,

故對y>0,

P{X>1|Y=y}84

例4

設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為85

當|x|<1時,有86即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度87

例5

設數X在區間(0,1)均勻分布，當觀察到X=x(0<x<1)時，數Y在區間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為88X和Y的聯合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯合密度89

三、課堂練習1.對于二維正態分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.2.設(X,Y)的概率密度是求.901.對于二維正態分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布.解設則其概率密度為X的邊緣密度為91在

X=x條件下，Y的條件概率密度為922.設(X,Y)的概率密度是求.(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為解93當時,綜上當時,當時,暫時固定94

這一節，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉例說明對離散型和連續型隨機變量如何計算條件分布.請課下通過練習進一步掌握.四、小結95隨機變量相互獨立的定義例題課堂練習第四節相互獨立的隨機變量96兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨立

.一、隨機變量相互獨立的定義97用分布函數表示,即

設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X和Y相互獨立

.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積.98其中是X和Y的聯合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨立

.對任意的x,y,有

（1）若(X,Y)是連續型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.可以證明如下結論：99

（2）若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有100

例1

設(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解x>0

y

>0二、例題101即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.102

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區域，故X和Y不獨立.103解例2104(1)由分布律的性質知105特別有又(2)因為X與Y相互獨立,所以有106

例3

甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)107所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)108解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)109類似的問題如：

甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的.若甲船需停泊1小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.110例4

設證明X與Y相互獨立的充要條件是.證明：若，則即X與Y相互獨立。反之，若X與Y相互獨立，則對所有的x,y有特別，令得111類似地，可以定義n個隨機變量的相互獨立性.及隨機變量和的相互獨立性.定理：設和相互獨立，則和相互獨立。又若h,g是連續函數，則和相互獨立。112三、課堂練習

1.設隨機變量(X,Y)的概率密度是問X和Y是否相互獨立?

2.證明對于二維正態隨機變量(X,Y),X和Y相互獨立的充要條件是參數

.113第五節兩個隨機變量的函數的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習114

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:

當隨機變量X,Y的聯合分布已知時，如何求出它們的函數Z=g(X,Y)的分布?115

例1

若X、Y獨立，P(X=k)=ak

,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk

,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布116解依題意

例2

若X和Y相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.117r=0,1,…即Z服從參數為的泊松分布.118

例3

設X和Y的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.119

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序120由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ

(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.121

特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式122為確定積分限,先找出使被積函數不為0的區域例4

若X和Y獨立,

具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即123暫時固定故當或時,當

時,當

時,于是124

例5

若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,

具有相同的分布

N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式125令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).126用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,

結論又如何呢?

此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結論.

若X和Y獨立

,

具有相同的分布

N(0,1),則Z=X+Y服從正態分布N(0,2).127有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.

即更一般地,可以證明:若相互獨立，則128二、Z=Y\X,Z=XY的分布

設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=Y\X的密度函數為當X,Y獨立時,129

解例6130131三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數即有FM(z)=FX(z)FY(z)132即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數由于X和Y

相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)133

設X1,…,Xn

是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數.(i=1,…,n)

用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數為:134

特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有135

例7

設系統L由兩個相互獨立的子系統連接而成,連接的方式分別為(i)串聯,(ii)并聯,(iii)備用(當系統損壞時,系統開始工作),如下圖所示.設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY136XY解(i)串聯的情況

由于當系統中有一個損壞時,系統L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數為137當

x>0時,當

x0時,故類似地,

可求得Y的分布函數為138于是的分布函數為=