考研數學二(解答題)高頻考點模擬試

卷8(共9套)

(共135題)

考研數學二(解答題)高頻考點模擬試

卷第1套

一、解答題(本題共75題，每題1.0分，共75分。)

1、設A為n階矩陣(n22),A為A*的伴隨矩陣，證明

n，當r(A)=n9

r(4?)=，1,當"A)=n-1,

0,當r(A)Wn-2.

標準答案：⑴當r(A)=n時，IAI/),則有IA*I=IAI向川.從而A*可逆，

即r(A*)=n.(2)當r(A)=n—1時，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個門一1階子

式不為零，即A*中至少有一個元素不為零，故r(A)*.又因r(A)=n—1時，有I

AI=0,且由AA*=|A|E知，AA*=O.因此根據矩陣秩的性質得r(A)+r(A*)Sn,

把r(A)=n—1代入上式，得r(A*)$l.綜上所述，有r(A*)=1.(3)當r(A)fn—2

時，A的所有n—1階子式都為零，也就是A*的任一元素均為零，即A*=O,從而

r(A*)=0.

知識點解析：暫無解析

1

2、設f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內可導，且b-Mabf(x)dx=f(b).求證：在(a,6)

內至少存在一點匕，使“9=0.

標準答案：因為f(x)在［a,b］上連續，由積分中值定理可知，在(a,b)內至少存在一

1

點c使得f(c)=b-aJabf(x)dx.這就說明f(c尸f(b).根據假設可得f(x)在［c,b］上連

續，在(c,b)內可導，故由羅爾定理知，在(c,b)內至少存在一點。使f(9=0,

其中^G(c,b)C(a,b).

知識點解析：暫無解析

3、設f（%）在|a,b]上有定義，M>0且對任意的％,y€[a,b],有.I政）一f（y）I

<MIx-yIk.⑴證明：當k>0時，敢）在[a，b]上連續；（2）證明：當k>l時，

f（爐常數.

標準答案：（1）對任意的％o€[a,b],由已知條件得00I股）一f（%o）IWMI%—xoI

lim

，i〃f（x）=f（%o）,再由油的任意性得政）在[a,b]上連續.（2）對任意的x（）W[a,

f（X）—/（XO）

b],因為k>l,所以OsMIx-xnIk-1,由夾逼定理得？（w）

=0,因為％o是任意一點，所以？（x）三0，故f（%）三常數.

知識點解析：暫無解析

.b、2(6—a)

In—>-----,,

4、設b>a>0,證明：aQ+6

2(b-a)

In”-----------0

標準答案:a+b(a+b)(Inb-Ina)-2(b—a)>0.令<P(X)=(a+7)(lnx

—Ina)—2(%—a),(p(a)=0,(p<%)—lna+“-1,(p<a)=O,(p"(%)=

1ax-a僅”(2)>0Q>a),

xJC2工2>O(x>a).由'夕(a)=°，得<p'(X)>O(%>a),再

中'(x)>0(x>a)?

由(p(a)=0,得(p(%)>O(%>a),所以(p(b)>0,原不等式得證.

知識點解析：暫無解析

5、設函數x=x（y）由方程*（丫乜廣=丫所確定，試求不定積分J》一"

標準答案：令y—x=t,則(y—t)t2=y,故

,3汽/一1)-2/〃一「一3~力

*=(*_1廠山一甲E七'

從而有r4-3f.,ft3-3t

(?-1)2J(/-I)?

由jlz?jL=_A-+B+工+

0-1*L1(￡-1>￡+1(f+D得^^^相

一I-1)+B(P+2i+1)+C(l3-t2-t+l)+D(t2-2t+1)=(A+C)P+(A+B—C+D)，+(一

A+2B—C-2D)t—A+B+C+D.比較t的同次嘉的系數得

A+C=l,

A+B-C+D=O,

[-A+2B-C-2D=-3,

[-A+B+C+D=0.

解出A=C=D=1,B=一母?所以

J土島-昌尹rh+母

=y(inIt-1l+^j+ln"+1|—^7j)+C

TW-II+EI)+C

回代?yin|(y-zT-1|+-------2~r+G

/=y—x2(>-x)-1

知識點解析：暫無解析

6、求函數z=x?y(4-x-y)在由直線x+y=6,x軸和y軸所圍成的區域D上的最大道與

最小值.

標準答案：區域D如圖7.1所示，它是有界閉區域.z(x,y)在D上連續，所以在

D上一定有最大值與最小值，它或在D內的駐點達到，或在D的邊界上達到.為

業向

求D內駐點，先求dx=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y),口=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-

2y).再解方程組得z(x,y)在D內的唯一駐點(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的

宓界y=O,0<x<6或x=0,0<y<6上z(x,y)=O；在邊界x+y=6(0gxS6)上將y=6-x代

入得z(x,y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2),0<x<6.令h(x)=2(x3-6x2),則h，(x尸6(x2-4x),

h，(4)=0,h(0)=0?h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在邊界x+y=6(0Sxg6)上的最大值為

0,最小值為-64.因此，z(x,y)=4,=-64.

知識點解析：暫無解析

,(*?/)'(0,0),

7、設f(x,y)=(2)=(0，。)，(I)求也(口)討論f(x,y)在點(0,0)

處的可微性，若可微并求dfI(o.o).

亞=2.2_2/尸

標準答案：(I)當(x,y#(0,0)時，力當(x,y)=(0,0)時,

叫

因f(x,0)=0(vx),于是二1《。，。)=0.由對稱性得當(x,y?(0,0)時

曳

df=2-y_2/1曳亞

222

ayX+y(x+'dy(°a=0.(口)考察7'仃在點(0,0)處的連續性.注

4

￡1,于是W41yl.

=lim—=0=—?lim學=0=#],

(0.0)<*.y>—<o,o)dyoyI(Q,Q)即

意

<曳

做'砂在點(0,0)處均連續，因此f(x,y)在點(0,0)處可微.于是

d/l(oa=患ck4亞dy=0.

(0.0)dy(0,0)

知識點解析：暫無解析

8、求微分方程yy"=y2滿足初始條件y(o)=y，(o)=i的特解.

p駁yp"或y4^—/>)=0.

標準答案：令y=P,則廣"力，代入原方程得"打〃1妙,當

p=0時，y=l為原方程的解；當p川時，由

歲半」=0得半一與=0,解得e=Cd>=Gy,,1

力力>由y(0尸y，(())=l得C]=l,于是

小，解得y=Qe卜Zc2eX,由y(O)=i得C2=l，所以原方程的特解為y=eX.

知識點解析：暫無解析

-100-

I0]

9、設人=。°1°」，⑴證明當n>l時An=An-2=+?\2—E.⑵求A\

標準答案：(l)An=Ai2+A2-E即An—An-2=A2-E.An-2(A2-E)=A2-E.只

要證明A(A?—E)=A2-E.此式可以直接檢驗：

0o-iri0o-|rio0-

A2-E=|01101-010

-00」]。1o」Loo1-

100]「100-00O'

I10-010100

-101」Lo0I--100-

ooirooon000-

A(A2-E)01100100=A2-E.

LO10JL100」0°J⑵把An=A42+

A2—E作為遞推公式求Aln是偶數2k時:A2k=A2k々+A2-E=A2k-4+2(A2-

E)=....=k(A2-E)+E.n是奇數2k+l時：A2K+,=AA2K=A[k(A2-E)+E]=

k((A2-E)+A.

知識點解析：暫無解析

10、設ai，(X2，…，otn(nN2)線性無關，證明：當且僅當n為奇數時a1+a2，

。2十(X3，…，On+a1線性無關.

標準答案:設有X|,X2，…，Xn，使X|(ai+ct2)+X2((X2+a3)+…+Xn(an+ai)=0,即-

(x1+xn)a1+(x1+X2)a2+...+(Xn-1+xn)an=0,因為ai，...?.線性無關，所以有

M+/=o

?+彳2-0

???

工一+工=0,該方程組系數行列式Dn=l+(-1嚴In為奇數

xi=...=xn=0^ai+a2，a?+a3，…，an+ai線性無關.

知識點解析：暫無解析

11、設二次型f(xi，X2,X3)=XTAX=ax/+2x22-2x32+2bxix3，(b>0)其中A的特征

值之和為1,特征值之積為-12.(1)求a,b.(2)用正交變換化f(xi，X2,x”為標

準型.

■a06

020

標準答案：(1)AJ60-2」由條件知，A的特征值之和為1,即a+2+(-2)=l,得

Fxl1

a=l.特征值之積:12,即IAI=-12,而|AI=口=2(-24?)得b=2(b>0).則

(2)IXE-AI==(入-2代入+3),得A的特征值為2(二重)和-3(一重).對特征值2求兩

個單位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解.得(A-2E)X=0的同解方程組X]-

2x3=0,求出基礎解系口二(0,1,0)T,r|2=(2,0,1)T.它們正交，單位化：

ai=r|i，(12=方程XI-2X3=0的系數向量(1,0,-2),和r)i，r|2都正交，是屬于一3的

一個特征向量，單位化得a3=作正交矩陣Q=（cq,?2，。3），則Q’AQ二作正交變換

222

X=QY,則它把f化為Y的二次型f=2yi+2y2-3y3.

知識點解析：暫無解析

+"心+

I=rcos^,r3dr-'dOFT

,則I

標準答案：令y=emd,Jo.o4

知識點解析：暫無解析

alcJ

0602

設A=-4C—a的一個特征值為無二2,其對應的特征向量為白=2

13、求常數a,b,c：

a+2+2c,2|a=-2-211

由川1翔26-4?解得r=2.則A=

020

標準答案:—44-2c4-2—2a=4lc=1-413

知識點解析：暫無解析

14、判斷A是否可對角化，若可對角化，求可逆矩陣P,使得P“AP為對角矩

陣.若不可對角化，說明理由.

A4-2-1-1

0A-20

標準答案：由IE-AI=4一1=0,得入尸九2=2,13=

由（2E-A）X=0.得a：=4,。：=0,由（一￡-4*=0.得a=0

34|111

1112

顯然A可對角化?令P400.WJP/IP*2

1.041-1

知識點解析：暫無解析

15、求微分方程y”十4y，+4y=eax的通解，其中a是常數.

標準答案：齊次方程的特征方程為J+4r+4=0,解得特征根為口=[2=—2,故對應

的齊次方程的通解為r=（C]+C2X）e-2x.當a=-2時，設非齊次方程的特解為

J--L從而V，--?口

y*=Ax?/*,代入原方程得2'7AHi丁-21當時-2時，應設非齊次方程

8-i___即,?,=*

的特解為y*=Beax,代入原方程得一（。+2）2，-（。+2/,綜上，原方程的通

22

f（G,+C2x+--xje\<j=-2,

y=

解為

知識點解析：暫無解析

考研數學二（解答題）高頻考點模擬試

卷第2套

一、解答題（本題共75題，每題1.0分，共15分。）

1、求下列極限：

1+CO8X\*

一、..CM<-12/

(I)w=lim----------------------------------------；

ln(l+2x3)

x—O1-COS(X八_CO8X)

標準答案：(I)注意XT。時，

1-COS(X-COSX)-----，2(1-COSX4

鏟%

=w=lim一一=4.

4x(口)因為

(1+廣廣_1~印+(11^55廣-1]=2如匕吧

I/,COSX-1\cCOSX-1/1\

3nn(1+—一)~2^-------(十)2

=-T。)，

ln(l+2%)~

(1±￡25?廣_]

w=lim------------------------------

2Z(x->0),所以—ln(l+2%)

知識點解析：暫無解析

2、設隨機變量X3,X2,X3相互獨立，其中X］在［0,6］上服從均勻分布，X2服從

N(0,4),X3服從參數為入=3的泊松分布，記Y=X|-2X2+3X3,求D(Y).

JO)?

標準答案：由已知條件，D(Xi)=12=3,D(X2)=4,D(X3)=3.又XI，X2,X3

相互獨立，從而D(Y尸D(XI)+4D(X2)+9D(X3尸3+4x4+9x3=46.

知識點解析：暫無解析

3、設函數f(%)在區間［0.a］上單調增加并有連續的導數，且f(0)=0,f(a)=b,求

證：J()af(%)d%+J()bg(%)d%=ab,其中g(%)是故)的反函數.

標準答案：令F(a)=Joaf(x)d%+J(/(a)g(%)dx-af(a),對a求導得F(a)=f(a)+

g［f(a)］f(a)-af(a)-f(a),由題設g(%)是f(%)的反函數知g［f(a)］=a,故P(a)=0,從

而F(a)為常數.又F(0)=0,故F(a)=0,即原等式成立.

知識點解析：暫無解析

4、設z(x,y)=x3+y3—3xy(I)—co<x<+co,—oo<y<+co,求z(x,y)的駐點與極

值點.(D)D={(x,y)I0<x<2,—2<y<2},求證：D內的唯一極值點不是z(x,y)

在D上的最值點.

-3y=0

3y2-3x=0

標準答案：(I)解方程組I打得全部駐點(0,0)與(1,1).再求

dx2dxdy6x

d2z,d2z.d2x,d2zd2z-3

—7=6x,--=-3,-T=6y

22

dx2dxdydy考察、dxdydy,(0,0)處

2

Qc)一(-30),AcB<0=>(0,0)不是極值點.(1,1)處

2

(8Cl1-36ltAC-B>0,A>O=>(1,1)是極小值點.因此z(x,y)的駐

點是(0,0),(1,1),極值點是(1,1)且是極小值點.(II)D內唯一極值點(1,I)是

極小值點,z(l,1)=-1.D的邊界點(0,一2)處.z(0,-2)=(-2)3=-8<Z(1,1)

因z（x,y）在有界閉區域D上連續，必存在最小值，又z（0,-2）<Z（1,1）,（0,

—2）tD=>z（l,1）不是z（x,y）在D的最小值.

知識點解析：暫無解析

5、設A=（ai，a2,。3），B=（pi，例，飽）都是3階矩陣.規定3階矩陣

°^\P\alfl2aIfl3

C=^2fita2^2a2p3

-a；⑶a1p2證明C可逆的充分必要條件是A,B都可逆.

標準答案：由矩陣乘法的定義可看出（或用乘法的分塊法則）0（pH例，

T

P3）=AB.于是ICI=I八丁||BI=IAIIBI.則ICI翔區IAIM并

且IBI#0即C可逆A,B都可逆.

知識點解析：暫無解析

6、設（I）和（口）都是4元齊次線性方程組，己知與=（1,0,1,1）T,以=（-1，0,

1,o）T,3（o,i,i,O）T是（i）的一個基礎解系，m=（o,1,o,i）T,ri2=（hb-

1,0尸是（II）的一個基礎解系.求（I）和（II）公共解.

標準答案：現在（I）也沒有給出方程組，因此不能用例4.24的代入的方法來決定

CI，C2應該滿足的條件了.但是（I）有一個基礎解系。，匕2，匕3，CE1+C2n2滿足

（I）的充分必要條件為Cini+C2r|2能用11，&2，&3線性表示，即r（&l，k，⑶

cini+c2n2尸K&i，及，①）.于是可以通過計算秩來決定ci，C2應該滿足的條件:

r1-10：ciri00：c(]

121

001；Cj+c2010iCj-c2

1I1；-001：-2C1

-100iCl-

-000?3C]+c2-于是當3CI+C2=0時C1T]1+C2n2也

是（I）的解.從而（I）和（口）的公共解為：c（m-3n2），其中c可取任意常數.

知識點解析：暫無解析

Q[b\+c

a2b4

a3b2(I363+ca3b4

7、計算41a4b2a4b3

標準答案：記矩陣

0,0,0,aibi+a2b2+a3b3+a4b4從而A的特征值為c,c,c>aibi+a2b2+a3b3+

34b4+c.則IAI=c3(a1b1+a2b2-F3363+34644-c)

知識點解析：暫無解析

8、用配方法化二次型?力，X2，心）=%12+2%殍+2力心一故32為標準形.

標準答案：f（Xl>X2?%3）=%「+2%殍+2力％3—4/3-=（力+%2+/3）——（殍+%3）—

.ri+x2+1*3=yi?]|="一九，

令（孫+4=y2，或"=n2-必，，

%2,1—=，3，]3=%，即X=PY,其中P=

r7。|

°1T

=XTAX

'oo1'，則取1，%2，B）1E*=yi2-y22-4y32.

知識點解析：暫無解析

9^設A是3x3矩陣，ai,012，（13是三維列向量，且線性無關，已知Aai=a2+a3,

Aa2=ai+a3，Aa3=aj+a2.（1）證明:Aai,Aai，Aa3線性無關;（2）求IAI.

標準答案：（l）[Aai，AC2，Aa3]=[a2+a3，ai+aj,ai+a2]=[ai，02，as]

D1r011

記

101==【6，02，其中|C|=101

.110.110=2#0,C是可逆陣.（2）[Aai，

兩邊取行列式,得IAI二

011

101

110=2

知識點解析：暫無解析

10、設F(x)為f(x)的原函數,且當XK)時,八'*(”一而加，又F(0)=l,

F(x)>0,求f(x).

1

fje1e,r

標準答案：兩邊積分得F2(X)」(1+工>,解得F%x)=m+'*F(0)=l,

F(x)>0,得于是-=2(1+工)0

知識點解析：暫無解析

設二維非零向量a不是二階方陣A的特征向量.

11、證明a,Aa線性無關；

標準答案：若a,Aa線性相關，則存在不全為零的數k],k2>使得kia+k2Aa=0,

顯然k2￥0,所以"二一本，矛盾，所以a,Aa線性無關.

知識點解析：暫無解析

12、若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值，討論A可否對角化；

標準答案：由A2(x+Aa-6a=0,得(A，A-6E)a=0,因為*0,所以r(A2+A-6E)<2,

從而IA2+A-6EI=0,即I3E+AI.I2E-AI=0,則I3E+AI=0或I2E-AI

=0.若I3E+AI和，則3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)a=0,得(2E-A)a=0,即

Aa=2a,矛盾；若I2E-AI#),則2E-A可逆，由[2E-A)(3E+A)a=0,得

(3E+A)a=0,即Aa=-3a,矛盾，所以有I3E+AI=0且I2E-AI=0,于是二階矩陣

A有兩個特征值-3,2,故A可對角化.

知識點解析：暫無解析

4-1+'W(x，，z)dtS

13、設函數f(x,y,z)連續，且f(x,y,z)=%其中區域

〃二｛(x,，,z)|不『WzWl｝，求心，y,功的表達式.

兩端積分有K=0y/x2+/dr+K^zdv.

而K=/d。/dr/r2dz+Kfpz)山=q?9K,

JoJoJrJo64

標準答案：解得心急;,即{3)=足衣備

知識點解析：暫無解析

..arctan3x-sinx-2x

…V5x[ln(l4-x)-x]

14、求極限

標準答案：由麥克勞林展開式

1

arctanx=x--x1+o(x3),sinx=x-jy+o{x),ln(1+x)=x-y+o(x2)

因此

..arctan3x-sinx-2x

1-2x[ln(1+x)-x]

3x-4-(3x)5+o(x3)-[x--^-x3+o(F)]-2x

i.Jo

zlim-----------------------------------------------------------------------

“⑷2r亍12+心/2)\一”i]

53

T°

知識點解析：暫無解析

15、

已知(X,Y)為離散型分布,X的分布為:P(X=z)=p：,i=l,2,…，對每個式i=l,2,…)

在X=n的條件下,Y的條件分布為P{Y=MIX=/}=P川….(D求(X,y)的分布

P(X=z,Y=?}=%,i,j=l,2,…;(2)求Y的分布P{Y=%}=p；；(3)求Y=y的條件下X的

條件分布P{X=z|丫=?)=力川，：=】，2「,.

標準答案：

(1)利用乘法公式，得(X,Y)的概率分布為

P(X=x,,Y=yt}=P{Y=yt|X=jci}P{X=x,>(i,j=l,2,…)；

(2)Y的分布為

P；=P{Y=y}=WPLX=Z,Y=%}=*^，加G=1,2,…)；

(3)在Y=%的條件下X’的條件分布為j

Au=p4x-4|y-Yp>=W"(i=1,2,…).

知識點解析：暫無解析“

考研數學二(解答題)高頻考點模擬試

卷第3套

一、解答題(本題共萬題，每題1.0分，共15分。)

(V+z)士

1、求取)=(二—Darctanx的間斷點并分類.

標準答秦：x=-1>%=0、x=l>%=2為政)的間斷點，由

「〃,1-(J+D士

lim/(z)=lim-------------------e

x-i］一1(x-Darctanx=8得％=—1為第二類間斷點,

lim/(x)=lim------€——e

由x-*oLOarctanz-1得x=O為可去間斷點,

lim呵

由*7f(%)=8得％=1為第二類向斷點，由f(2+0)="f2f(%)=+8得％=2為第二

類間斷點.

知識點解析：暫無解析

lim(x+J\+)*

2、求一°°

_______X1.I.nnm---7

,一lim（1+八+，）'=ei

標準答案:

知識點解析：暫無解析

【方+會+5心?

3、求

4-arctan“大1+C

標準答案：42

知識點解析：暫無解析

4、設f(x)在(-8,+00)內有定義，且對于任意x與y均有f(x+y)=f(x)e>'+f(y)eX,又

設f'(0)存在且等于a(a#)),試證明對任意的x6(—8,+8),f'(x)都存在，并求

f(x)o

標準答案:將x=y=0代入f(x+y)=f(x)eY+f(y)eX,得f(0)=0,為證明f(x)存在,則由

廣⑴=.德士絲)-/⑸=-3.+/(二二-以)

Ar-?0AxAr-O—T

=lim&X："T)+lim*》/⑼/

導數定義，&YAxAx-0Ax

=f(x)+f(0)ex=f(x)+aeXo所以對任意xE(—8,+oo),f(x)都存在，且

,eW(前-/&曲+C)

f(x)=f(x)+ae\解此一階線性方程，得f(x尸'J，=eX(ax+C)。又

因f(0)=0,得C=0,即f(x)=axeX。

知識點解析?：暫無解析

5、求橢圓力與橢圓/”所圍成的公共部分的面積.

標準答案：根據對稱性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面

X=rcosfl,

積.令'=「sin8,則Li：區的極坐標形式為L1：r2="2(0)=L2：的極坐標形

式為L2：r2T22(0)=令則第一象限圍成的面積為所以A尸，所求面積為

知識點解析：暫無解析

6、求曲線y=x?-2x、y=D、x=l、x=3所圍成區域的面積S,并求該區域繞y軸旋轉

一周所得旋轉體的體積V.

標準答案：區域面積為

S=j|/(x)|d?r=J(2r—x2)dx+(x2—2x)dx

=(x2—J-x3)+《4-1，―/)|=2;

3i312

2

匕=2〃jJT|f(H)|djr=2八［jx(2x-)<lr+J^x(x-2x)dx

知識點解析：暫無解析

7、求圓￡+y2=2y內位于拋物線y=￡上方部分的面積.

卜/+/=2y.pr=_1?#=1.

得《

標準答案：由5=/=3=1，少=】?所圍成的面積為

A=[(1+1-.r2)—/■]d/

J-1

■可1)-x2]dx=2(1—y+Y)=y+y.

知識點/析：暫無解析

8、計算二重積分"Ix?+y2—1|do,其中D={(x,y)I0<x<l,0<y<l}o

標準答案：記D［={(x,y)Ix2+y2<l,(x,y)GD},D2={(x,y)Ix2+y2>l,(x,

2

fix+/-I|da

=-jj(x2+y2-1)dxdy+J(x2+y2-l)dxdy

5

JJ(r2-1)rdr++y2-1)dxdy-^(x2+y2-1)dxdy

°°DDj

=+jdrJ(x24-y2-l)dy-『d&J(r2-1)rdr

y)eD),因此一4-3

知識點解析：暫無解析

9、設f(%)在［0,+oo)內可導且f(0)=l,f(X)<f(X)(X>0).證明：f(%)〈e%C>0).

標準答案：令<p(%)=e卬(%),則(p(%)在[0,+8)內可導，又(p(0)=l,(pz(x)=e

Z[nx)-f(X)]<0(X>0)，所以當%>。時，(p(x)V(p(0)=l,所以有f(%)<e%c>0).

知識點解析：暫無解析

1

10、設A*為3階方陣A的伴隨矩陣，|A|=2,求|(3A)?—2A*|的值.

D=\一2|=|—A")=|一系47]

,5JJ

=(---)3|AI"1=——

標準答案：3，?-I27

知識點解析：暫無解析

設A=E-aa「，其中a為n維非零列向量.證明：

11、A?=A的充分必要條件是g為單位向量；

標準答案：令cJcHc，則A2=(E-aaT)(E-aaT尸E-2ao(T+kacJ,因為a為非零向量，

所以aa「￥O,于是A2=A的充分必要條件是k=l,而a「a=lai2,所以A2=A的充

要條件是a為單位向量.

知識點解析：暫無解析

12、當a是單位向量時A為不可逆矩陣.

標準答案：當a是單位向量時.由A2二A得f(a)+r(E-A)=n,因為E-A=aaT#),所以

r(E-A)>l,于是r(A)Wn-l

知識點解析：暫無解析

13、設A,B分別為mxn及nxs階矩陣,且AB=O.證明：r(A)+r(B)gn.

標準答案：令B=(Pi，02，…，氏)，因為AB=O,所以B的列向量組仇，彷，…，

ps為方程組AX=0的一組解，而方程組AX=0的基礎解系所含的線性無關的解向量

的個數為n-r(A),所以向量組伙,M…,0s的秩不超過n?r(A),又因為矩陣的秩

與其列向量組的秩相等,因此r(B)9-r(A),即r(A)+r(B￡n.

知識點解析：暫無解析

1.y/\+JT+\/1-X2-2

lim----------二----------------

14、求極限/1+z，—1

標準答案:

4

+工-1-----Z-J4?

由(1+xY=1+or++o(x2)得

J\+工2=14--^-x2—+0(工，)?，1—F=1-4-X2—卷z，+o(z，)?

于是4T7r+，1^?一2?一也,故lim遼書+.9-妥匚=--

4L。+N—1

知識點解析?：暫無解析

fx14d

15、求不定積分J(d+1?]

\(7TiFdj-=4(PTTrd(xS)='i\(7TTrd,

i「a+i)2—2a+])+i

=si-----------EP-----------出

=5f[a+】)2-2(z+1)，+a+i)*]dz

=l^rn+(7^-377TTF]+c

=_],]________]1c

標準答案：―5(工$+1)5(3+1)215(xs-Fl)3,

知識點端析：暫無解析

考研數學二（解答題）高頻考點模擬試

卷第4套

一、解答題（本題共15題，每題1.0分，共15分。）

*

設工?=2p.求lirni..

…<118

1、

標準答案：

"十?*-i?*n4=1

+彳

HmT3TiS3*Tim/七3；=lim=f3&=｛「=白

?-3n+1.5，-8〃卜】nfT|n仁JoIn3Ioln3

由迫斂定理得limz”=r^z.

?—00In3

知識點解析：暫無解析

??

7

、(nrn

2、SIn=^osinxdxftJn=Jocosxdx,n=0,1,2,3,....

標準答案：(I)當佗2時In=/osinnxdx=口sin111xdcosx=-sinn1xcosxsin112xcos2xdx

n-22

=(n-1)sinx(1-sinx)dx=(n-l)In-2-(n-l)In?解出In，于是當n>2時得遞推公式In=In-

2.由于Io=,h=l,應用這一遞推公式，對于n為偶數時，則有對于n為奇數

時，則有其中(H)由于COSX=，則有Jn==In這說明Jn與In有相同公式.

知識點解析：暫無解析

3、設aiVa2V…Van，且函數f(x)在［ai，an］上n階可導，cW［ai，an］且

f(aj)=f(a2)=...=f(an)=O.證明：存在樂(ai，an)?使得

，/、(c-ai)(c-a)???(€—a?)..

/(c)----------------2----------

n!

標準答案：當c=ai(i=l,2,…，n)時，對任意的笈⑶，an)?結論成立：設c為異

于ai，a2，…，an的數，不妨設aiVcVa2V…Va.令

k_____________￡kl___________,

(c—Q］)(C一七)…G-Q.)構造輔助函數(p(x)=f(x)-k(x-ai)(x-a2)…(x-

an),顯然(p(x)在［ai，az］上n階可導，同(p(a］)=(p(c)=(p(a2)=…=<p(an)=O,由羅爾定

理，存在與⑴€(ai，c),42⑴w(c,a2),…,《n⑴€(an，an),使得

6(4⑴)=6&尸…=6(0)=0,(p'(x)在?,an)內至少有n個不同零點，重復使用羅

爾定理，則(p(n-D(x)在an)內至少有兩個不同零點，設為CI，C2&ai，an),使得

檔")?)=*%2)=0，再由羅爾定理，存在氏(C］,C2)兇⑶，an),使得

(p(n)c)=o.而*)(x)=f(n)(x)-n!k,所以苻)0=n!k,從而有敬)二逑0

知識點解析：暫無解析

?dz

4、求」4^，+1

Jd(ef)

dx

，4e‘+1V(e4)2+4

標準答案：=—21n(e:-r7e1+4)-^C\

知識點解析：暫無解析

5、設f(x)=<2—54+6'求?n)(x).

()?r117

標準答案:―1“I?&-------3i--尸----------Q------1-2-尸--」

知識點解析：暫無解析

6、設f(x)EC[a,b],在⑶b)內可導，f(a)=f(b)=L證明:存在。n6(a,b),使

得2e2Ln=(ea+eb)尸(n)+f(n)].

標準答案：令3%)=/取)，由微分中值定理，存在正⑶b),使得

嗯W=e?[/()十/(n)L

?a7再由f(a)=f(b)=l,得6-a=e,f(r|)+

e28一—

f(n)],從而方二丁=(/+/)「[『01)+出11)],令機%)=/%,由微分中值定理，存

資一小

在&E(a,b),使得b-a=2e2^,W2e2^=(ea+eb)en[f(n)+f(T])],或2?2自飛=

(ea+eb)[f(n)+f(n)].

知識點解析：暫無解析

[[^dxdy

7、計算電，其中D為曲線y=lnx與兩直線y=0,y=(e+l)—x所圍成的平面

區域.

標準答案：y=lnx與y=(e+l)-x的交點是(e,1),D如圖案4所示，在Oxy坐標系

中選擇先x后y的積分順序(D不必分塊)得

EM；”國=信山；A

TeTT(i

=1~(e?I-y)dy-yJo^

=船(?+I)7-?T]*-y(1-eT).

J*

圖8.4

知識點解析?：暫無解析

8、設(XI，012，…，an(此2)線性無關，證明：當且僅當n為奇數時，ai+a2，

a2+a3?...?an+ai線性無關.

標準答案：設有X],X2，…，Xn，使X](Ctl+a2)+X2(0l2+a3)+…+xn(an+ai)=0,即

(x1+xn)a1+(xi+X2)az+...+(xn-1+xn)an=0,因為R,。2，…，如線性無關，所以有

'e+4=0

f+工2=0

???

，1+二=0,該方程組系數行列式Dn=l+(-l)n+ln為奇數

0D,*00為=…=/=00囚+。2，a2+a3,...?an+ai線性無關.

知識點解析：暫無解析

''瓜(1+叫工

9、計算定積分J。1十戶”

標準答案：方法一令

工=岸'則"=一辭77dt.

ln2-ln(l+r)

(一忌7*)=1~T+7-dz

十

=回備力一1!^2山=/2T,則/=J；=件

方法二令x=tant,則

rPln(l+x)i_代ln(l+tam)2,「3c1、」

1一—丁工2di-------；-----see2