計數原理近三年高考真題（昔解析）

一、單選題

1.（2021.江蘇.高考真題）下圖是某項工程的網絡圖（單位:天），則從開始節點①到終止

節點⑧的路徑共有（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據分步乘法計算原理即可求解.

【詳解】

由圖可知，由①f④有3條路徑，由④T⑥有2條路徑，由⑥T⑧有2條路徑，根據

分步乘法計算原理可得從①一⑧共有3x2x2=12條路徑.

故選：B

2.（2021?全國?高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個。不相鄰的概

率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D,0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用占典概型的概率公式可求概率.

【詳解】

解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共1（）種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法,

故2個0不相鄰的概率為2=0.6,

故選：C.

3.（2021.全國?高考真題（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、

冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項每個項H至少分配1名

志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.12（）種C.24（）種D.480種

【答案】C

【解析】

【分析】

先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，

排列，乘法原理求得.

【詳解】

根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配I名志愿者，可以先從5

名志愿者中任選2人，組成一個小組，有仁種選法；然后連同其余三人，看成四個元

素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有

41種，根據乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】

本題考杳排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用

先選后排思想求解.

4.（2020.海南.高考真題）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去

一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【解析】

【分析】

首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.

【詳解】

第一步，將3名學生分成兩個組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學生安排到2個村，有8=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種

故選：C

【點睛】

解答本類問題時?般采取先組后排的策略.

5.（2020?北京?高考真題）在（?-2）5的展開式中，寸的系數為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定/的系數即可.

【詳解】

（4-2）5展開式的通項公式為：&=G（_2）’=（-2/禺x?，

令?=2可得：r=I,則/的系數為：（—2）C=（-2）x5=—10.

故選：C.

【點睛】

二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第?步根據所給出的條

件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注意二項式系數中〃和「的隱含

條件，即〃，「均為非負整數，且應r,如常數項指數為零、有理項指數為整數等）；第

二步是根據所求的指數，再求所求解的項.

6.（2020?全國?高考真題（理））（工十二）。+?的展開式中的系數為（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

求得（"?展開式的通項公式為產y"wN且，W5）,即可求得X+?與

*+?展開式的乘積為-了或C。口尸2形式，對，分別賦值為3,1即可求得的

系數，問題得解.

【詳解】

a+y）s展開式的通項公式為加=C#"y（reN且「45）

所以X+—的各項與（K+“展開式的通項的乘積可表示為：

I工；

5rr6rr

xTr+l=xC；xy=C；x-y和工&=21Gxs-y=C；xj）產

XX

在產y中，令廠=3,可得：M=C%3y3,該項中丁）,3的系數為10,

在《。”=。；丁-?，+2中，令r=i,可得：217；=C[x3y3,該項中尸產的系數為5

所以Vy3的系數為10+5=15

故選：C

【點睛】

本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及分析

能力，屬于中檔題.

7.（2019?全國?高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學

相鄰的概率是

A.-B.-C.—D.1

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【答案】D

【解析】

男女生人數相同可利用整體發分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.

【詳解】

兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數相等，兩位女生相鄰與不相鄰

的排法種數相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是g.故選D.

【點睛】

本題考行常見背景中的古典概型，滲透了數學建模和數學運算素養.采取等同法，利用

等價轉化的思想解題.

8.（2019?全國?高考真題（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重

卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻"——”,如圖就是一重

卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查利用兩個計數原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統文化、數學

計算等數學素養，"重卦''中每?爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有

3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算.

【詳解】

由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有26情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有

C；,所以該重卦恰有3個陽爻的概率為q二三，故選A.

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【點睛】

對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問

題還是組合問題.本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿

足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題.

9.(2019?全國?高考真題(理))(1+2X2)(1+x)”的展開式中一的系數為

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】

本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數.

【詳解】

由題意得V的系數為C、+2c=4+8=12,故選A.

【點睛】

本題主要考查一項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數.

10.(2011.全國.高考真超(理))[+?)(2x-￡]5的展開式中各項系數的和為2,虹該

展開式中常數項為

A.-40B.-20C.20D.40

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

令x=l得.故原式=(X+-)(2A--)5.

xx

(2.x--)5的通項=C/(2x)5-2r(-x-'r=C/(-l)r25-^-5-2r,

X

由5-2r=l得r=2,對應的常數項=80,由5-2r=-l得r=3,對應的常數項=40,

故所求的常數項為40,

故選D

二、雙空題

11.(2021?浙江?高考真題)已知多項式(x—1)3+*+1『=/+卬/+//+。/+4，則

q=,%+%+/=.

【答案】5:10.

【解析】

【分析】

根據二項展開式定理，分別求出3-1)3,(x+4)』的展開式，即可得出結論.

【詳解】

(X-\)3=X3-3X2+3X-\,

(x+1)4=x4+4./+6./+4.r+1,

所以％=1+4=5q=-3+6=3,

%=3+4=7,4=-1+1=0,

所以生+6+(=10.

故答案為：5,10.

12.(2019?浙江?高考真題)在二項式(夜+工)9的展開式中，常數項是：系數為

有理數的項的個數是.

【答案】16x/25

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數，屬于常規題目.從寫

出二項展開式的通項入手，根據要求，考察T的事指數，使問題得解.

【詳解】

（72+6的通項為產G（&）9f的（廠=0,1,2…9）

可得常數項為1=《（行戶=16>/2,

因系數為有理數,r=135,7,9,有系卻卻凡加共5個項

【點睛】

此類問題解法比較明確,首要的是要準確記憶通項公式，特別是“哥指數”不能記混，其

次，計算要細心，確保結果正確.

三、填空題

13.（2022.上海.高考真題）已知有1、2、3、4四個數字組成無重復數字，則比2134大

的四位數的個數為

【答案】17

【解析】

【分析】

先分類再分步，按千位為3,4,2分為三類，再逐次安排百位和十位，即可計算出滿足條

件的四位數個數.

【詳解】

千位為3和4時，組成的四位數都比2134大，有2國=12個，

千位為2時，百位為3或4的四位數都比2134大，有2A；=4個，

千位為2時，百位為1,只有2143比2134大，有1個，

則組成的四位數比2134大的一共有17個.

故答案為：17.

14.（2022?上海?高考真題）在（丁+gJ的展開式中,含士?項的系數為

X

【答案】66

【解析】

【分析】

寫出展開式的通項，令丫的指數為T，求出參數的值，代入通項后即可得解.

【詳解】

卜+J展開式的通項為酊=C；2.①『工1‘=小*%-〃，

令36-4r=Y,可得廠=10,因此展開式中含［項的系數為C：；=66.

x

故答案為：66.

15.（2021?天津?高考真題）在"『+￡[的展開式中，爐的系數是

【答案】160

【解析】

【分析】

求出二項式的展開式通項，令x的指數為6即可求出.

【詳解】

（2?+「的展開式的通項為7；+1=晨（2/廠?仁）=2…，

令18-4r=6,解得r=3,

所以/的系數是2,C；=160.

故答案為：160.

16.（2020?天津?高考真題）在x+4的展開式中，/的系數是_________.

Ix~）

【答案】10

【解析】

【分析】

寫出二項展開式的通項公式，整理后令》的指數為2,即可求出.

【詳解】

因為1+捻）的展開式的通項公式為信卜C[2,?尸■r=0,1,2,3,4§,

令5—31=2,解得r=l.

所以W的系數為C；x2=10.

故答案為：10.

【點睛】

本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎題.

17.（2020?全國?高考真題（理））（』+2"的展開式中常數項是（用數字作答）.

X

【答案】240

【解析】

【分析】

寫出（小十1）二項式展開通項，即可求得常數項.

【詳解】

X）

其二項式展開通項:

C；⑵""3,

當12-3r=0,解得r=4

的展開式中常數項是：C<24=C^16=15X!6=240.

kx）

故答案為：240.

【點睛】

本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定