無窮級數級數收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：存在，稱級數收斂。2.若任意項級數收斂，發散，則稱條件收斂，若收斂，則稱級數絕對收斂，絕對收斂的級數一定條件收斂。.任何級數收斂的必要條件是3.若有兩個級數和，則①，。②收斂，發散，則發散。③若兩者都發散，則不確定，如發散，而收斂。4．三個必須記住的常用于比較判斂的參照級數：等比級數：P級數：對數級數：5.三個重要結論①收斂存在②正項（不變號）級數收收，反之不成立，③和都收斂收，收常用收斂快慢正整數由慢到快持續型由慢到快7.正項（不變號）級數斂散性的判據與常用技巧達朗貝爾比值法柯西根值法比階法①代數式②極限式，其中：和都是正項級數。，，也可選用基準級數就可知原級8、任意項級數的斂散性的判據與常用技巧●萊布尼茨判交錯級數（任意項級數的特例）①②收斂。這是一種必要條件，假如①不滿足，則必發散，若只有②不滿足，則不一定收斂還是發散，要使用絕對收斂鑒別其斂散性。●任意項級數判斂使用絕對值，使之轉換為正項級數，即絕對收斂、條件收斂或發散。●任意項級數判斂的兩個重要技巧：微分積分法。換成持續變量，再運用微積分有關定理與性質。階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法，9.冪級數1．阿貝爾（Abel）定理假如級數當點收斂，則級數在圓域內絕對收斂；假如級數當點發散，則級數在圓域外發散。由阿貝爾（Abel）定理可見收斂點集或發散點集是分別連接成對稱持續區域，這一定理是引入冪級數收斂半徑、收斂區間和收斂區域概念的理論根據。注意，除外，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，對的理解阿貝爾定理是學好冪級數的關鍵。如推論：假如不是僅在一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一種確定的正數存在，使得：10．冪級數收斂半徑、收斂區間和收斂區域已知，若；則根據比值判斂法有：收斂。●收斂半徑：。●收斂區間：級數在收斂；冪級數的收斂區間是非空點集，對至少在處收斂，對至少在處收斂。由阿貝爾定理可以推出：冪級數的條件收斂點只能位于收斂區間端點。●收斂域：由于級數在收斂區間的端點上（收斂半徑上）收斂性待定，故收斂域是、、或四種狀況之一。3．在收斂區域內的性質(1)的和函數持續并有任意階導數；(2)可逐項微分(3)可逐項積分(4)絕對收斂。11．運用泰勒公式可將常用初等函數展開成冪級數－泰勒級數展開的充要條件是泰勒公式中余項（包括拉氏余項，佩亞若余項）為零。如下是幾種常用的麥克勞林展開結論。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩，5.冪級數求和措施●函數項級數求和措施一般先求收斂域，然後逐次積分或微分，運用上述10各泰勒級數結論進行零部件組裝●數項級數求和措施構造輔助冪級數法。付立葉級數1．周期函數展開成付裏葉級數為在上周期為的周期函數，則尤其地，當時當是偶函數當是奇函數2．非周期函數展開成付裏葉級數措施假如非周期函數只是定義在區間，兩種區間可以令互相轉換，為了運用付裏葉級數展開，必須將拓展，其方式有兩種，即：（1）偶拓展令，使成為上的周期偶函數，展開後取上的函數值即為的付裏葉展開。（2）奇拓展令，使成為上的周期奇函數，展開後取