彈性力學(xué)課件全套

共10章

緒論-能量原理和變分法力學(xué)課程回顧ReviewofMechanics

Course理論力學(xué)二飛輪軸承曲

軸圖1-13

曲柄沖壓機(jī)圖1-12

自山體………mma滑道

7N鋼絲繩檢測力學(xué)課程回顧Review

of

Mechanics

Course材料力學(xué)桁架結(jié)構(gòu)蘇州博覽中心

泡沫金屬瓦楞紙板力學(xué)課程回顧Review

of

Mechanics

Course網(wǎng)架+門式剛架金屬橡膠結(jié)構(gòu)力學(xué)通過特殊的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改善材料特性建筑力學(xué)

巖土力學(xué)

橋梁力學(xué)

施工力學(xué)

機(jī)械設(shè)計(jì)

水力學(xué)等斷裂力學(xué)

復(fù)合材料力學(xué)塑性力學(xué)粘彈性力學(xué)

牛頓、非牛頓流體振動(dòng)力學(xué)波動(dòng)力學(xué)固體力學(xué)

流體力學(xué)

彈性靜力學(xué)

彈性動(dòng)力學(xué)按照研究對象發(fā)展

按照平衡條件發(fā)展連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(入門課程：彈性力學(xué))力學(xué)課程回顧Review

of

Mechanics

Course

圖1力學(xué)課程體系結(jié)構(gòu)圖行業(yè)

力

學(xué)力

學(xué)

專業(yè)

課程基礎(chǔ)高數(shù)、幾何、微分方程等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)工程意識計(jì)算力學(xué)

實(shí)驗(yàn)力學(xué)理性力學(xué)理論力學(xué)力學(xué)原理橫截面彈性力學(xué)的研究內(nèi)容從材料力學(xué)到彈性力學(xué)彈性力學(xué)的基本假設(shè)01彈性力學(xué)的研究內(nèi)容The

content

and

basic

assumptions

of

elasticity彈性力學(xué)的研究內(nèi)容The

content

ofelasticity研究內(nèi)容彈性：材料在外力或其它作用(如邊界約束、溫度改變)下發(fā)生變形，而撤去外力或其它作用時(shí)，物體恢復(fù)

原狀的特性。彈性力學(xué)的任務(wù)：與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和變形(

位移),以確定它們是否滿足工程所需要的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件，并尋求或改進(jìn)它們的計(jì)算方法。彈性力學(xué)的研究對象材料力學(xué)

結(jié)構(gòu)力學(xué)桿件

梁

桿系軸

剛架等彈性力學(xué)板

殼其它幾何體

擋土墻堤壩

地基等桁架從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics桿件是大自然廣泛存在的結(jié)構(gòu)之一，也是被人才最早應(yīng)用的結(jié)構(gòu)在人類早期的工具中有許多屬于細(xì)長結(jié)

構(gòu)，如棍棒、骨針，以及石刀、石斧、

石矛的把等，因此與細(xì)長構(gòu)件相關(guān)的力學(xué)問題也最先被提出來加以研究。微元體

個(gè)z

P.0yx利用微元體解

決結(jié)構(gòu)任意形

狀的問題工程上仍存在許多非細(xì)長結(jié)構(gòu)，它們

如何進(jìn)行力學(xué)分析?從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics基本概念01應(yīng)力材料力學(xué)從討論桿件基本變形入手，首先采用截面法求出構(gòu)件截面上的內(nèi)力，然后

通過觀察變形得到內(nèi)力在截面上的分布規(guī)

律，進(jìn)而求出應(yīng)力。彈性力學(xué)采用了柯西定義：首先構(gòu)造一個(gè)四面體微元，設(shè)P點(diǎn)是的彈性體內(nèi)部一點(diǎn)，以P點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿x,y,z三

個(gè)方向分別延伸三個(gè)微量△x,Ay,△Z,設(shè)頂點(diǎn)分別為A、B、C,

連接ABC

組成的任意微面(稱為柯西斜面),在

柯西斜面上定義應(yīng)力。(a)(b)從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics基本概念2

應(yīng)變材料力學(xué)首先給出桿件發(fā)生均勻變形時(shí)應(yīng)變的概念，如直桿軸向拉壓，其軸向線應(yīng)變被

定義為桿件軸線方向單位長度的改變量切應(yīng)變定義為構(gòu)件上兩正交線段夾角的改變量，若直角改變了,則切應(yīng)變被定義為彈性力學(xué)中強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)處的應(yīng)變，選擇任意點(diǎn)P,以P點(diǎn)為基準(zhǔn)，在x,y,z方向上分別取微段△x=PA,Ay=PB,△z=PC,

如圖1.5所示，該點(diǎn)處的變形可由該點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)

變

,

,,以及三個(gè)切應(yīng)變

，,,共6個(gè)應(yīng)變分量表示從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics基本概念

變形和位移材料力學(xué)里講到構(gòu)件變形時(shí)，都選擇了構(gòu)件的幾何特征量，例如拉伸作用下桿件軸線方

向的伸長或縮短，扭轉(zhuǎn)作用下截面之間發(fā)生

的相對轉(zhuǎn)動(dòng)，以及梁彎曲時(shí)截面繞中性軸的

轉(zhuǎn)角、中性層表示撓曲線等。在彈性力學(xué)中，變形分析不再是討論幾何特征量，而是直接討論彈性體上每一點(diǎn)的位移，分別用u,v,w

來表

示，共三個(gè)位移分量。確定了構(gòu)件上每一點(diǎn)的位移，自然可以確定構(gòu)

件上幾何特征量的變形。從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics基本概念04

外力含義：作用于物體上的外力通常有表面力和體積力兩種，前者簡稱為面力，后者簡稱為體力。(材體力(Body

force)

:

分布在物

體體積內(nèi)的力。例如重力和慣性

力。物體內(nèi)務(wù)點(diǎn)受體力的情況一

般也是不相同的。為了表明該物體在某一點(diǎn)P所受體

力的大小與方向，我們同樣采用

體力集度按極限的概念來定義，

即作用在物體內(nèi)菜一點(diǎn)P處的體力

的集度為：料力學(xué)中外力，有分布力和集中力之分。)面力(Surface

force)

:

分布在物體表

面上的力，例如風(fēng)壓力、液體壓力、兩固

體間的接觸力等等。物體在其表面上各點(diǎn)

所受的面力一般是不同的。面力集度表示為：從材料力學(xué)到彈性力學(xué)From

material

mechanicsto

elastic

mechanics基本概念05

內(nèi)力含義：物體受外力作用以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。六面體微元體正坐標(biāo)面負(fù)坐標(biāo)面確定應(yīng)力的方向確定應(yīng)力所在微面◆

第一個(gè)下標(biāo)i

代表應(yīng)力所在面的外

法線方位與坐標(biāo)方向i的方位一致；◆

第二個(gè)下標(biāo)j

代表應(yīng)力的方向與坐

標(biāo)軸j

的方位一致。◆

剪應(yīng)力的下標(biāo)做同樣的理解。從材料力學(xué)到彈性力學(xué)Frommaterialmechanicstoelasticmechanics基本概念注意：在彈性力學(xué)中，正應(yīng)力的規(guī)定與材料力學(xué)同，

但剪應(yīng)力則不完全相同。切應(yīng)力互等仆應(yīng)力方向規(guī)定與切應(yīng)力互等應(yīng)力符號的含義同理小03彈性力學(xué)的基本假設(shè)Basicassumptions

ofelasticityi

究內(nèi)容

連續(xù)性假設(shè)假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙，這樣

的材料，也稱之為連續(xù)介質(zhì)。這樣，物

體內(nèi)所有點(diǎn)(數(shù)學(xué)意義上的點(diǎn))都有物

質(zhì)，所有點(diǎn)的力學(xué)量，如應(yīng)力、應(yīng)變、

位移等都有實(shí)際意義，在整個(gè)物體上都

可以用數(shù)學(xué)上的連續(xù)函數(shù)來描述。city研of

elast學(xué)的02

完全彈性假設(shè)假定物體在引起變形的外界因素被消去以后，能瞬時(shí)、完全恢復(fù)原狀，而沒有任何剩余變形，并且完全服從胡克定

律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成比例，反映這種比例關(guān)

系的常數(shù)，即所謂彈性常數(shù)，并不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小和

符號而變。彈性力學(xué)的研究內(nèi)容The

content

of

elasticity

均勻性假設(shè)假定整個(gè)物體是由同一材料組成，這樣，整個(gè)物體的所有各部分都具有了相同的

彈性性質(zhì)，其彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)變

化，可使得問題分析得到極大的簡化。工程上，若物體由兩種或兩種以上材料組成，如果每一種材料的顆粒都遠(yuǎn)小于

物體，而且在物體內(nèi)均勻分布，這個(gè)物

體就可以使用均勻性假設(shè)。

各向同性假設(shè)假定物體內(nèi)任意點(diǎn)的彈性性質(zhì)在各個(gè)方向上都相同，彈性常數(shù)不隨方向而變。這一假設(shè)也建立在一定的尺度上，例

如鋼材，在微觀上它的晶體具有各向異性特征，但由于晶

體很小，而且隨機(jī)排列，在宏觀上鋼材就表現(xiàn)出近似的各

向同性特征?；炯僭O(shè)的意義在上述五個(gè)基本假設(shè)中，連續(xù)性假設(shè)和均勻性假設(shè)目的是為了解決數(shù)學(xué)連續(xù)性與實(shí)際材料不連續(xù)或不一致(微觀

或宏觀上)之間的矛盾，完全彈性、各向同性、小變形假

設(shè)則限定了彈性力學(xué)研究的范圍，從而能夠得到較為簡單

的彈性理論方程體系。相反，任何一個(gè)基本假設(shè)被放松之后，都會(huì)形成另外一門專門力學(xué)。彈性力學(xué)的研究內(nèi)容The

content

of

elasticity

小變形假設(shè)即假定物體在受到外力或其它外部作用發(fā)生變形時(shí)，變形量與其本身的幾何尺

寸相比屬于高階小量，可以不考慮因變

形引起的尺寸變化。這樣，就可以用變

形前的幾何尺寸來代替變形后的尺寸，

使得在進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)使問題大為簡化。謝謝觀看Than

k

s

forwa

t

chin

g制作：馬宏偉，張偉偉東莞理工學(xué)院zwwps@126.com彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》,高等教育出版社，2024.12

s01

彈性力學(xué)的方程思想02

平衡方程

A03

一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)

A04

最大、最小應(yīng)力

A05

幾何方程

A06

一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)

A072

物理方程08

彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)hanic程stic本f

ela基uatio學(xué)basi性01彈性力學(xué)的方程思想The

equation

idea

of

elastic

mechanics彈性力學(xué)的方程思想The

equation

idea

ofelasticmechanics彈性力學(xué)的方程思想已知雞和兔同在一個(gè)籠子里，頭有35個(gè)，腳有94只。問籠中有多少只雞，多少只兔設(shè)籠中有x

只雞，兔子y

只。JL彈性力學(xué)理論體系也具有設(shè)未知量、列方程、求解方程的基本框架。彈性力學(xué)的未知量：

彈性力學(xué)問題求解需要滿足平衡方程、幾何方程、物理方程，用到的

求解方法有三類：應(yīng)力

法，位移法，混合法。平衡方程Equilibrium

equation在P

點(diǎn)附近取一微元體，如圖所示，設(shè)P

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),且應(yīng)力狀態(tài)可由微面PBC,PAC,PAB的應(yīng)力分量確定，即若彈性體內(nèi)應(yīng)力分量為坐

標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，則相鄰點(diǎn)的應(yīng)力

分量可通過泰勒級數(shù)展開求出。

P'PJAyZ0CBx平衡方程Equilibrium

equation依據(jù)泰勒級數(shù)展開規(guī)則，若已知微面PBC、PAC、PAB上的應(yīng)力分量，則微面P'A、P'B、P'C上的應(yīng)力分量可寫成過微元體繞過體積中心且平行于z軸的直線為矩軸，列出對

矩軸的平衡方程，有C

P'PJ

BA=同理考慮沿坐標(biāo)方向的平衡，以x方向?yàn)槔瑑蛇呁瑫r(shí)除以dxdydz,可得CP'PA平衡方程Equilibrium

equation化簡后，B得到微元體的平衡微分方程為：C

P'P

BZA另外由三個(gè)方向軸的力矩平衡：可得到：剪應(yīng)力互等定理平衡方程Equilibrium

equation03一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stressstate

at

one

point一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

onepoint任意斜截面上的應(yīng)力設(shè)已知物體在P點(diǎn)的應(yīng)力，在O-xyz坐標(biāo)系下，可表示為：對P點(diǎn)取如圖所示的四面體(微元體),斜截面ABC的外法線方向?yàn)镹,其方向余弦分別為：有設(shè)平面ABC的面積為,平面PBC

、PAC

、PAB的面積分別為：IP

Dp

"ByZA0x設(shè)四面體PABC的體積用

代表。PzC一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

onepoint任意斜截面上的應(yīng)力設(shè)斜面上的應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影分別為由x方向平衡，得：ZA0CP?IPPyx同理，考察y,z

方向平衡可得B一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

one

point一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

onepoint主應(yīng)力與應(yīng)力主向定義：當(dāng)P

點(diǎn)的某一斜面上的剪應(yīng)力為零時(shí)，則該斜面上正應(yīng)力稱為P

點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力。該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面(

主

平

面

)

。主平面法線方向稱為P點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱主方向。

分析：在主應(yīng)力面上，有則該面上全應(yīng)力：將p=σ

向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，有(b)

…

…一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

one

pointl,m,n要有非零解，要求系數(shù)矩陣行列式為0求出求解上述方程，可以得到三個(gè)根。三個(gè)根中，值最大的為

,值最小的為,中間的為,它們就是

P點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，由此三個(gè)主應(yīng)力描述的應(yīng)力狀態(tài)為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

one

point例：在材料力學(xué)中學(xué)過的純剪應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力矩陣可

表示為依據(jù)式(a)解得說明，

位于方向?yàn)?/p>

或者的微面上，該平面為第一主應(yīng)力平面。同理，可求出第二主應(yīng)力平面、第三主應(yīng)力平面。和純剪狀態(tài)應(yīng)力矩陣代入式(b),將

得聯(lián)立,

得一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)Stress

state

at

onepoint應(yīng)力不變量任意方向的應(yīng)力分量與主應(yīng)力方向都應(yīng)滿足：展開，得這說明

均不

隨坐標(biāo)發(fā)生變化，又因

為它們是由應(yīng)力表示的

量，因此它們分別被稱

為第一應(yīng)力不變量、第

二應(yīng)力不變量、第三應(yīng)力不變量。設(shè)σ,、O?

、o?

已知，如圖取坐標(biāo)系，則有按主應(yīng)力狀態(tài)，任取一斜截面，其法線N的方向余弦為：1、m、n。

由斜截面應(yīng)力計(jì)算公式得

：由

式：最大、最小應(yīng)力Maximumandminimumstressesyσ1主應(yīng)力單元體σ1

NOnyo?-xZO?最大、最小正應(yīng)力ZAo3XO?將σ~視為變量m

、n

的二元函數(shù)，對m

、n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，有可求得：

將其代回：

可求得：表

明

：σ

n

的一個(gè)極值為σ,。同理，再分別消去m和n,可

求

得

：σ

x

的另二個(gè)極值為σ?

、σ3。比較極值σ、O?、o?中最大者，即為最大應(yīng)力；最小者即為最小應(yīng)力。通常取最大應(yīng)力——

σ,;通常取最小應(yīng)力——

σ3。即：最大、最小應(yīng)力Maximumandminimum

stresses最大、最小正應(yīng)力最大、最小應(yīng)力Maximumand

minimum

stresses最大、最小切應(yīng)力如圖選取坐標(biāo)系，斜面上的應(yīng)力在三坐標(biāo)方向的分量為：代入式σ1

NOny利用

消去1,得O?-xZO?最大、最小應(yīng)力Maximumand

minimum

stresses最大、最小切應(yīng)力分別對m

和

n

求導(dǎo)確定極值O?-x可得兩類解解第一類解，得

,解第二類解得σ1

NOnyZO?l±1000m0±100n00±10(Tw)2000ONσ1O?σ3顯然，最大最小剪應(yīng)力：yA

O?o1xσ3Z最大最小剪應(yīng)力平面最大、最小應(yīng)力Maximum

and

minimum

stresses正應(yīng)力、切應(yīng)力取極值的六種情況05幾何方程Geometricequations物體變形分為兩類：一類是線段的伸長和縮短，另一類是線段之間夾角的改變，這兩類變形在力學(xué)上分別對應(yīng)于正應(yīng)變(也稱線應(yīng)變)和切應(yīng)變(也稱角應(yīng)變、剪

應(yīng)變)。描述物體變形的線應(yīng)變和切應(yīng)變就與各點(diǎn)的位移之間存在一定的關(guān)系，

利用位移寫出應(yīng)變分量的方程被稱為幾何方程。B

點(diǎn)的位移：P點(diǎn)的位移：A

點(diǎn)的位移：B

點(diǎn)的位移：E,與位移之間的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)在x方向的位移用泰勒級數(shù)展開表示為只保留一階項(xiàng)，忽略高階項(xiàng)，A點(diǎn)在x方向的位移近似為利用線應(yīng)變的定義，得y同理，可得xP.

dx-AdyB俯視圖根據(jù)角應(yīng)變的定義，有當(dāng)物體處于小變形狀態(tài)下，有因此P

BB"

aBA

βA"

A'2與位移之間的關(guān)系P'同理，用同樣的方法求微段PB和PC在變形過程中的應(yīng)變分量：P

dy

B微段PA

和PC

在變

形過程中的應(yīng)變分

量為整理得到幾何方程：幾何方程Geometric

equations綜上所述，微段PA和PB

在變形過程中的應(yīng)變分

量為P

drAhyByzdzCp產(chǎn)lcP

dx

AX

yxZdz

Cd_Adyz06一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)Strain

state

at

one

pointP'A在

x

方向的投影：PA

'在y

方向的投影：利用泰勒級數(shù)展開，寫出A

點(diǎn)位移分量在P點(diǎn)的展開式，并略去二階以上的高階無窮小有P'A'在x

方向的投影：

PA'在y

方向的投影：點(diǎn)inst

a的to

o變int狀態(tài)Stra一任意方向微段由PA

變?yōu)镻'A',

記

P'A'變形后的線應(yīng)變?yōu)?/p>

εN,

則

有平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變依據(jù)線段投影和線段長度之間的關(guān)系，有等式兩邊同時(shí)除以

dr2,得——表示微段PA與x軸正方向夾角的余弦，記為1——表示微段PA

與

y

軸正方向夾角的余弦，記為m——表示線應(yīng)變ε——表示線應(yīng)變ε一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變Strain

state

at

one

point將上式展開，并略去二階以上的項(xiàng)，有考慮到

,上式可寫為在應(yīng)變測試技術(shù)中，通常采用應(yīng)變花測試結(jié)構(gòu)表面

一點(diǎn)處的應(yīng)變。一般情況下應(yīng)變花由三個(gè)不同方向

上的應(yīng)變片組成，設(shè)三個(gè)方向分別為N,,N?,N?方向，方向余弦分別為(lj,m?),(L?,m?),(l?,m?),

則

可寫出三個(gè)式子為一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)Strain

state

at

one

point平面內(nèi)任意方向的線應(yīng)變改寫為假設(shè)變形后PA

和

PB

分別對應(yīng)于PA

'和

P'B',則任意夾角的角應(yīng)變γ就

可以定義為設(shè)PA方向?yàn)?l,m?),PB

方向?yàn)?L?,m?),

則它們夾角可以用向量內(nèi)積表示

為同理設(shè)變形后P'A'和P'B的方向?yàn)?',m'),PB

方向?yàn)?I?

,m'?),θ?表示為一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)任意方向的切應(yīng)變Strain

state

at

one

point一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)求變形后長度假設(shè)變形前PA長度為dr?

,根據(jù)線應(yīng)變原理，求解得到!°,m',長度分子與分母同乘(1-&N)Strain

state

at

one

pointi

狀態(tài)oint變Stra一平面情況空間情況向量表示a=(I,m)a=(I,m,n)設(shè)任意斜方向線段長

dr,變形后各坐標(biāo)方向

投影x方向：y方向：可看作是空間情況dz=0的特殊

情況x方向：y方向：z方向：方向余弦可看作是空間情況n=0的特殊

情況一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)Strainstate

at

one

point空間情況推廣一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)空間線應(yīng)變的求法設(shè)任意方向的線應(yīng)變?yōu)椋篘,設(shè)微段原長為dr,則變形

后的長度為dr=(1+:

)dr,有下列關(guān)系：展開上式，并略去高階無窮小，得可以寫成與求解主應(yīng)力類似的形式：因此，一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)也可以寫成應(yīng)變矩陣的形式：Strain

state

at

one

point令一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)空間切應(yīng)變的求法考慮空間任意一組微段PA和PB,設(shè)其變形前分別為(I,m,n),(L?,m?,n?)變形后P'A'方向矢量為

變形后P'B'方向矢量為任意方向切應(yīng)變?yōu)镾train

state

at

one

point一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)主應(yīng)變與應(yīng)變不變量主應(yīng)變表示微元體在變形過程中只有邊長的伸長或縮短，而無畸變，

一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)表示為應(yīng)變矩陣，有設(shè)矢量{1,m,n}為一個(gè)主應(yīng)變方向，對應(yīng)的主應(yīng)變?yōu)棣?則該線應(yīng)變在坐標(biāo)方向上的應(yīng)變分量為le、me、ne,

類似于求主應(yīng)力，有Strain

state

at

one

point

點(diǎn)inst處ate

a的to

o變int狀態(tài)主應(yīng)變與應(yīng)變不變量若存在這樣的主應(yīng)變方向，則1、m、n

不全為0,有展開上式，得若x、y、z恰好為主應(yīng)變方向，三個(gè)主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

E、G?、S3,此

時(shí)

：E=&zx=&y=0,

于是有Stra一一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)Strain

state

at

one

point主應(yīng)變與應(yīng)變不變量因?yàn)橹鲬?yīng)變：8、

S?、e?不隨坐標(biāo)系的變化而變化，有上述θ,θ?

,和θ?

,分別被稱為第一應(yīng)變不變量、第二應(yīng)變不變量和第三應(yīng)變不變量。07物理方程Physicalequationsions物理方程表征了材料在發(fā)生變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之間所滿足的關(guān)系，因此，也被稱為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，因其又反映材料的本質(zhì)特性，也被稱為本構(gòu)關(guān)系。一般情況下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：sical理物理方程Physical

equations以

o、,為例來考慮，當(dāng)函數(shù)為光滑連續(xù)函數(shù)時(shí)，利用多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，并略去二階以上小量，可得其

中

，(f?)。表示彈性體的初應(yīng)力，不考慮初應(yīng)力時(shí)，有(f?)o=0。令因此，σ可近似寫成一次函數(shù)物理方程Physical

equations其余各式均可采用類似地方法，寫成一次函數(shù)的形式：

寫成矩陣形式所

以

：[C]為物理方程的系數(shù)矩陣，共36個(gè)常數(shù)。標(biāo)記應(yīng)力、應(yīng)變

分量的排列順序：(1)

一

般情況考慮應(yīng)變能?；仡櫍寒?dāng)壓縮一個(gè)線性彈簧時(shí)，外力

做功等于彈性勢能的增加量，有將這一定義應(yīng)用到線彈性的微元體上，微元體儲存

的應(yīng)變能可表示為(a)利用應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系(b)把式(b)代入到式(a)中，得,

將所以，極端各向異性材料物理

方程包含21個(gè)

獨(dú)立的常數(shù)。同理，應(yīng)變能密度也可寫為

代入，同樣可得即有物Phys理ical

q程uations考慮材料具有一個(gè)彈性對稱面，如設(shè)xOy為對稱面，

則在兩個(gè)坐標(biāo)系中求解力學(xué)量，并不會(huì)因?yàn)閦坐標(biāo)系的正負(fù)不同而不同。仍考慮應(yīng)變能密度

,將式(c)展開(2)具有一個(gè)彈性對稱面的情形物Phy

q程uat

ionssical理由幾何方程由于

在兩個(gè)坐標(biāo)系下正負(fù)號相反，因此，含

有

項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該為0,因此，系數(shù)矩陣化簡為可見，材料具有一個(gè)對稱面物

理方程包含13

個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。物Phys理ical

q程uations物理方程(3)具有三個(gè)對稱面的情形(正交各向異性)若物體內(nèi)的任一點(diǎn)存在三個(gè)彈性對稱平面，在每一個(gè)對

稱平兩側(cè)對稱方向上各自具有相同的彈性性質(zhì)，這種物

體稱為正交各向異性材料。簡稱正交異性材料。坐標(biāo)系(a)與(b)關(guān)

于xOz

平面對稱，坐標(biāo)系(a)與(c)關(guān)

于zOy

平面對稱，坐標(biāo)系(a)與(d)關(guān)

于xOy

平面對稱。(b)(d)這類材料有：因此，系數(shù)矩陣化簡為(c)(a)可

見

：正交各向異性材料的彈性常數(shù)

為9個(gè)。Physicalequations物理方程Physical

equations(4)橫觀各向同性材料設(shè)在正交各向異性材料的三個(gè)正交彈性對稱面中，有一個(gè)彈性對稱平面內(nèi)，材料具有各向同性性質(zhì)，這類材料被稱為橫觀各向同性材料，此平面稱為各向同性面。這類材料有：因此，系數(shù)矩陣化簡為可見：橫觀各向同性材料的彈性常數(shù)

為5個(gè)。物理方程Physical

equations(5)各向同性材料各向同性材料表示材料任意方向的彈性性質(zhì)都相同，各方向彈性模量相同，這類材料被稱為各向同性材料。這類材料有：因此，系數(shù)矩陣化簡為可見：各向同性材料的彈性常數(shù)只有

2

個(gè)。將系數(shù)矩陣代入方程，得

法國力學(xué)家拉梅(Gabriel

Lamé,1795-1870)曾給出過物理方程的一種形式拉梅(Gabriel

Lamé,1795-1870)被稱為拉梅常數(shù)。E和μ分別為彈性模量和泊松比。ionssical理拉梅常數(shù)對比兩個(gè)方程，可得廣義虎克定律x這時(shí)有若將三個(gè)坐標(biāo)軸方向設(shè)為三個(gè)主應(yīng)力方向表明：三個(gè)主應(yīng)力方向與三個(gè)主應(yīng)變方向重合。Ao?O?yionssical理Zσ1物Phy

q程uat

ions將上式的三個(gè)線應(yīng)變的方程相加得根據(jù)前面的記號，有—

—

體積應(yīng)變——第一應(yīng)力不變量，稱為體積應(yīng)力于是前式可表示為：sical理在三向拉伸時(shí)體積膨脹，有單向拉伸時(shí)，設(shè)x

方向受單向拉伸，則有∵單向拉伸時(shí)有橫向收縮，有綜合上述結(jié)果，得：負(fù)泊松比材料在受拉時(shí)橫向會(huì)膨脹，受壓時(shí)會(huì)收縮具體的應(yīng)用有新型扣件(fasteners),這種材料還可以用于夾心板中

(Sandwichpanel),當(dāng)板彎曲時(shí)，負(fù)泊松比材料會(huì)向上凸，這使鑲?cè)肫渌牧细鼮槿菀?，這種材料在汽車和飛機(jī)中都有應(yīng)用。負(fù)泊松比材料在受彎曲時(shí)內(nèi)部形成中空低氣壓帶可以提高材料的背部支撐力，使其對沖擊有更好的緩沖作用可以用于一

些保護(hù)用品中，如防彈背心，護(hù)膝，緩沖墊等。負(fù)泊松比材料由于其具有球型腔的內(nèi)部結(jié)構(gòu)在受張力時(shí)球型腔會(huì)脹大，這種效應(yīng)會(huì)使應(yīng)力集中降低，從而提高有

微裂紋材料的強(qiáng)度另外，由于凹孔泡沫自身的特殊結(jié)構(gòu)，對聲音有很

強(qiáng)的吸收能力負(fù)泊松比材料特殊性質(zhì)及應(yīng)用物Phy

l

程uationssica理08彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations數(shù)量、向量、張量●

數(shù)

量：也稱為標(biāo)量，指只有大小，沒有方向的量，如溫度、質(zhì)量、密度等；●

向

量：也稱為矢量，指既有大小，也有方向的量，如力、速度、加速度等；●

張量：指一群滿足一定變換規(guī)則的量的組合；如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量等。數(shù)量和向量也是特殊的張

量，分別為零階張量和一階張量。應(yīng)力張量為二階張量。如：應(yīng)力張量可表示為縮寫為(i=1,2,3)(j=1,2,3)坐標(biāo)系

和是兩個(gè)坐標(biāo)系，有兩個(gè)矢量A和S,

顯然A與S的點(diǎn)乘(內(nèi)積)不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而不同，這成為張量的一個(gè)不變

量。張量就具有在坐標(biāo)系發(fā)生變換時(shí)，不變量保持不變的特性。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，上述不變量的一次式保持不變，就稱數(shù)組矢量也被稱為一階張量。假設(shè)是一已知矢量，另有任意數(shù)組為矢量),先求其不變量的一次形式定義為：

nions達(dá)ical量echa張ic

m的elast程on

of方ntati學(xué)張量的變換規(guī)則(不確定是否為矢量，當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，上述不變量的雙一次式保持不變，就稱數(shù)組

為二階張量。應(yīng)力張量就是一個(gè)二階張量。張量的變換規(guī)則假設(shè)一次形式定義為

nions達(dá)ical量echa張ic

m的elast程on

of方ntati學(xué)和

是兩個(gè)已知矢量，另有任意數(shù)組,不變量的雙當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變化時(shí)，上述不變量的三一次式保持不變，就稱數(shù)組為三階張量。仿照上述方式，可以構(gòu)造出四一次形式、五一次形式等等，同樣的方法，可以用它們定義出四階張量、五階張量等更高階的張量。

n張量的變換規(guī)則假設(shè)不變量的雙三一次形式定義為ions達(dá)ical量echa張ic

m的elast程on

of方ntati學(xué)是三個(gè)已知矢量，另有任意數(shù)組二階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：9在二維空間中，其分量數(shù)：4三階張量：[在三維空間中，其分量數(shù)：27在二維空間中，其分量數(shù)：8n

階張量：在三維空間中，其分量數(shù)：在二維空間中，其分量數(shù)：張量是一群具有下標(biāo)量的集合。存在一個(gè)與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量

F,如：二階張量(2)張量的階數(shù)與分量數(shù)：張量的階數(shù)=表示張量所用的下標(biāo)數(shù)0階張

量

：(即：標(biāo)量)一階張

量

：(即：矢量)分量數(shù)：1如：溫度T、能量U

等在三維空間中，其分量數(shù)：3在二維空間中，其分量數(shù)：2彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanical

equations(1)張量概念的要點(diǎn)：彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations張量的基本運(yùn)算(1)張量的和若兩個(gè)二階張量[a;]

與[b;],

其和張量為[c;],則有同理，可定義

n

階張量的和運(yùn)算。說明：

(1)張量的和運(yùn)算必須在兩個(gè)同階張量間進(jìn)行。(2)張量的和運(yùn)算為兩張量對應(yīng)分量的和運(yùn)算。這一點(diǎn)與矩陣運(yùn)算相似。彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations張量的基本運(yùn)算(2)張量的求導(dǎo)運(yùn)算在彈性力學(xué)中，常遇到一些量(如：位移分量ui、應(yīng)力分量o;、

應(yīng)變分量ε等)對于坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)的下標(biāo)記法如下：上述中的每一組量的集合都是張量。如：——9個(gè)量的集合，為二階張量。

——27個(gè)量的集合，為三階張量?！?1個(gè)量的集合，為四階張量。

很顯然，張量形式比分量形式具有更加簡潔的書寫格式。彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations求和約定凡在同一項(xiàng)內(nèi)，有一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次時(shí)，則該指標(biāo)從1~3求和(對二維空間，則從1~2求和)?！?/p>

Eins

tein求和約定作求和的下標(biāo)——稱為啞指標(biāo)；不作求和的下標(biāo)——稱為自由指標(biāo)。在彈性力學(xué)中，用到求和約定的式子有很多，例如上面的式子中，j是啞標(biāo)，表示求和，展開為三項(xiàng)之和，這里i是單獨(dú)的，被稱為自由標(biāo)，求和

約定不影響自由標(biāo)?？梢娗蠛椭笞杂蓸?biāo)保留，啞標(biāo)消失。彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations平衡方程的張量形式平衡方程：上式式子展開，得再將1、2、3軸

變換為x

、y

、z軸彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations幾何方程的張量形式幾何方程：再將1、2、3軸變換為x

、y

、z軸上式式子展開，得從這能看出彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations物理方程的張量形式

先對j展開，得物理方程：再對i展開，第一式展開為彈性力學(xué)方程的張量表達(dá)Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations物理方程的張量形式由于,只寫出后面兩項(xiàng)，展開第二式為由于

,只寫出最后一項(xiàng)，展開第三式為整理后，廣義胡克定律為謝謝觀看Th

a

n

ks

for

wa

t

chin

g制作：馬宏偉，張偉偉東莞理工學(xué)院zwwps@126.com彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》,高等教育出版社，2024.12邊界條件Boundary

Condition01邊界條件的分類與本質(zhì)02應(yīng)力邊界條件03位移邊界條件04無限大特殊邊界05簡單彈性力學(xué)問題求解01邊界條件的分類與本質(zhì)Classification

and

nature

of

boundary

conditions設(shè)有一被固定約束的彈性體，其邊界上一部分受面力作用，另有一部分為自由狀態(tài)。邊界上的微元體，將有一個(gè)微面成為邊界的一部分，不再有相鄰的微元體，此時(shí)微元體將受邊界上的外力限制；若邊界

微元體正好處于約束區(qū)域，其變形和位移又必將受到約束

的限制，這些邊界上的力和變形的限制統(tǒng)稱為邊界條件。

onditi本ound類of

b分nd

n件ion

a條sificat界邊界條件邊界條件是平衡方程在邊界上的表現(xiàn)邊界條件的分類與本質(zhì)Classificationandnatureofboundaryconditions邊界條件的分類如果邊界上作用的面力已知如果邊界上位移已知既存在面力，又有位移約束應(yīng)力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件P(b)固定約束(a)PP.應(yīng)力邊界條件本質(zhì)上反應(yīng)了彈性體在邊界上的平衡條件。定義：邊界條件：Cf?

σx

NT

T無T/

iP

?

B繪A將圖示微元體斜面視為邊界面，其上

受面力應(yīng)力邊界條件Stress

boundarycondition0

y

ro?OyzAx應(yīng)力邊界條件Stress

boundarycondition例1已知某彈性力學(xué)問題的一個(gè)邊界滿足平面方程x+2y+2z-6=0,若已知該邊界上的面力分量為天、Fy、

F?,試寫出該平面的應(yīng)力邊界條件。解：方向余弦為

將方向余弦和面力分量代入，得03位移邊界條件Displacement

boundary

condition位移邊界條件Displacement

boundary

condition彈性體在邊界處受到確定的位移約束，稱為位移約束條件。設(shè)某彈性體在邊界處位移已知為ū、D、w,

其位移邊界條件為，如果彈性體上方有另一個(gè)剛性平面將彈性體壓下△,則邊界條件為

y如圖示，彈性體放置在

無摩擦的剛性面上，邊

界條件為如果彈性體在下表

面被完全約束，邊

界條件為h

x0(a)

(b)固定鉸支座約束位移邊界條件Displacementboundarycondition(a)

(b)滑動(dòng)鉸支座約束材料力學(xué)典型位移約束(a)

(b)力學(xué)商圖力學(xué)簡圖力學(xué)簡圖位移邊界條件Displacement

boundary

condition實(shí)際約束的簡化焊

接

：橋

梁

：04無限大體的特殊邊界Specialboundaryofthe

infinite

general特殊邊界Special

boundary彈性力學(xué)中，經(jīng)常提到的無限大體、半無限大體，這些概念該如何理解?本質(zhì)上，可以將無限大體和半無限大體視為一種特殊的邊界模型，這種模型不需要考慮邊界條件(或邊界條件很少)。“基本方程+邊界條件”是彈性力學(xué)的基本體系，但有時(shí)復(fù)雜的邊界條件會(huì)給分析問題帶來極大的困難，甚至得不到解析解。對于特殊的彈性力學(xué)問題，可以使用“無限大體”或者“半無限大體”模型，簡化彈性力學(xué)問題。特殊邊界Specialboundary例：如圖半無限大體，不考慮體力，設(shè)在其表面受均布載荷?作用，試求無限大體的應(yīng)力解。解：如圖建立坐標(biāo)系，由于所研究的物體在xoy

平面內(nèi)受均布載荷，因此將將其視為一維問題，應(yīng)力只沿z軸方向變化，而不隨x,y變化，也就是對x,y求導(dǎo)等于0。因此，平衡方程簡化為代入邊界條件，得均布載荷qo1zx特殊邊界Specialboundary在山體中開挖一個(gè)山洞，若山洞的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于山體，就能將山體視為“無限大體”;在大地上蓋了一座高樓，研究高樓對大地引起的應(yīng)力分布，可以將大地視為“半無限大體”。這類問題只在局部引起應(yīng)力分布而遠(yuǎn)在遠(yuǎn)端應(yīng)力為0或某一常數(shù)，應(yīng)力邊界條件為當(dāng)x=±0

、y=±0

、z=±時(shí)，有其中，Ci(i=1,2,….,6)等于常數(shù)或者0。也可以考慮在遠(yuǎn)端不引起物體變形，位移邊界條件為

當(dāng)x=±0

、y=±0

、z=±時(shí)，有05簡單彈性力學(xué)問題求解Simpleelasticmechanics

pro

blemsolving簡單彈性力學(xué)問題求解Simple

elastic

mechanics

problem

solving空間問題的基本方程平衡方程

幾何方程

物理方程假設(shè)有一維彈性力學(xué)問題，除σx、Ex、u、fx不為0以外，其他量均為0,此時(shí)，彈性力學(xué)基本方程

簡化為簡單彈性力學(xué)問題求解Simple

elastic

mechanics

problem

solving彈性力學(xué)基本方程簡化幾何方程物理方程平衡方程邊界條件：代入應(yīng)力邊界條件：將C?

代入，得例1設(shè)有高有的立柱，密度為p,則體力fx=-pg,下端為固定端，上端受均布載荷q

作用，利用前

面分析得到的應(yīng)力、位移結(jié)果求立柱的應(yīng)力和位移。代入位移邊界條件：將C?

代入，得簡單彈性力學(xué)問題求解Simple

elastic

mechanics

problem

solving彈性力學(xué)問題求解謝謝觀看Th

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g制作：馬宏偉，張偉偉東莞理工學(xué)院zwwps@126.com

01

平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題02

平面問題的基本方程03

平面問題的邊界條件

A04

圣維南原理與等效邊界條件

A05

平面問題的求解——位移法06

平面問題的求解——應(yīng)力法

AI07

艾力應(yīng)力函數(shù)逆解法與半逆解法08

疊加原理與唯一性定理roble理ic

Theory

of問題的01平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Planestressproblemandplanestrainproblem

s一

、平面應(yīng)力問題(plane

stress)01

幾何形狀特征含

義

：物體在一個(gè)坐標(biāo)方向(例如z方向)上的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸，圖示的薄板，板厚就遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板面x、y方向的尺寸。blem題strai應(yīng)and

pla與平robl問平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Plane

stress

problem

and

plane

strain

problem一

、平面應(yīng)力問題(plane

stress)02承受荷裁特征含義：在薄板的兩個(gè)側(cè)表面上無表面荷載，作用于薄板邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度方向不發(fā)生

變化，或雖沿厚度方向變化但對稱于乎板畫的中間平面，即合力與中平面重合。同時(shí)，體力亦平行于板

面，且沿厚度方向不變。

簡化分析含

義

：根據(jù)問題的特征，經(jīng)過分析判斷可預(yù)先未知數(shù)中一部分為零或接近于零，或與其他分量雖相比，

小到可以忽略不計(jì)的程度。◆薄板，應(yīng)力不沿厚度方向變化◆由剪應(yīng)力互等定理，得◆故平面應(yīng)力問題的非零應(yīng)力分量為平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Plane

stress

problem

and

plane

strain

problem一

、平面應(yīng)力問題(plane

stress)應(yīng)力分析平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Plane

stress

problem

and

plane

strain

problem一

、平面應(yīng)力問題(plane

stress)在實(shí)際工程中，可以簡化為平面應(yīng)力問題的例子很多。例如，高層建筑中的剪力墻、深梁、平面吊鉤，

以及平面鏈環(huán)、被圓孔或圓槽削弱的薄板等等，都可簡化為平面應(yīng)力問題。工程中的平面應(yīng)力問題

承受荷裁特征含義：柱體的體積力和側(cè)表面所承受的表面力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨坐標(biāo)z變化，柱體的位移約束條件和力的支承條件沿z方向也是相同的。03

簡化分析含義：等截面柱體，例如擋土墻、隧道、重力壩和圓管等，如果受到垂直于z軸且不沿長度變化的荷載作用，就可以假定所有橫截面都處于相同的情況。二

、平面應(yīng)變問題(planestrain)01

幾何形狀特征含

義

：與平面應(yīng)力問題相底物體沿一個(gè)處標(biāo)軸(例如z軸)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)坐標(biāo)軸(x軸和y軸)方向的尺寸，且所有垂直于z軸的

橫截面都相同，即為一等截面柱體。平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Plane

stress

problem

and

plane

strain

problem◆

長柱結(jié)構(gòu)，只受平行于橫截面且不沿長

度方向變化的載荷，此時(shí)有◆

平面BOC上的點(diǎn)只沿平面位移，得◆故平面應(yīng)變問題的非零應(yīng)力分量為平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Plane

stress

problem

and

plane

strain

problem二

、平面應(yīng)變問題(plane

strain)應(yīng)變分析

二

、平面應(yīng)變問題(plane

strain)工程中的平面應(yīng)變問題lem題prob問and

pl與平robl問(a)(6)(c)滾軸1d.涵洞筒體堤壩應(yīng)變分量(據(jù)胡克定律)i應(yīng)力分量(據(jù)胡克定律)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題Planestressproblem

andplanestrainproblem三、平面問題的應(yīng)力、應(yīng)變分量平面應(yīng)力 x平面應(yīng)變胡克定律平衡方程考慮平面應(yīng)力問題廣義胡克定律考慮平面應(yīng)力問題平面問題的基本方程The

basic

equationfor

planeproblem平面應(yīng)力問題的基本方程平面問題的基本方程The

basicequation

forplane

problem平面應(yīng)力問題的基本方程幾何方程由廣義胡克定律可知表示為因此，平面應(yīng)力問題需要求解的應(yīng)變分量只有幾何方程可簡化為同時(shí)

可由

表示幾何方程由前面分析可知平面應(yīng)變問題，有且力學(xué)量不隨坐標(biāo)z

發(fā)生變化，有因此，幾何方程可簡化為平面問題的基本方程The

basicequation

forplane

problem平面應(yīng)變問題的基本方程考慮

廣義胡克定律簡化為廣義胡克定律平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平衡方程由前面分析可知平面應(yīng)變問題仍只有3個(gè)未知量因此，平衡方程可簡化為另外，對于平面應(yīng)變的情形，只要將平面應(yīng)力時(shí)的物理

方程中的彈性常數(shù)作如下變化，則可得到平面應(yīng)變時(shí)的

物理方程：平面問題的基本方程The

basicequation

forplane

problem平面應(yīng)變問題的基本方程平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題物理方程對比03平面問題的邊界條件Boundary

conditions

for

plane

problem平面問題的邊界條件含

義

：彈性力學(xué)平面問題的基本方程也由微分方程給出，求解時(shí)同樣需要給出邊界條件確定積分常數(shù)。類似于空間問題，平面問題的邊界條件也可以分為應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件三類。

對于平面問題，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，其所有的未知量都可以在同一個(gè)平面內(nèi)表示。如圖a所

示。考察邊界上的任意一點(diǎn)，不妨設(shè)為P點(diǎn)，構(gòu)造微元體PBC,

如

圖b。斜面BC

的方向由外法線方向分

別與x軸、y

軸正向夾角的余弦確定，稱之為方向余弦，并定義：Boundary

conditions

for

plane

problem應(yīng)力邊界條件平面問題的邊界條件Boundaryconditionsforplane

problem應(yīng)力邊界條件將斜面BC

上的面力分解為和,規(guī)定面力分量的方向與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，相反時(shí)為負(fù)。設(shè)BC

的面積為ds,

建立平衡方程整理得圖中所示為一變截面懸臂梁，斜邊界上受垂直于邊界的均布載荷q,水平邊界為自由邊界，試寫出該懸臂梁的邊界條件(暫不

考慮固定端邊界條件)O

解：第一步，如圖所示，建立坐標(biāo)系。第二步，分析邊界。(1)水平邊界邊界位置：用方程寫出水平邊界為y

=0;方向余弦：其外法線方向與x軸垂直，邊界面力：水平邊界為自由邊界，平Bou

o題ndi

r界pla

p件rob

lemtionsfo的邊nda面例題1第二步，分析邊界。(2)斜邊界邊界位置：用方程寫出斜邊界為方向余弦：邊界面力：第三步，寫邊界條件。

problem件onditions

for

pla題的邊界ndar面(1)在水平邊界上，即y=0,

(2)在斜邊界上，即例

題

1平面問題的邊界條件Boundaryconditionsfor

plane

problem在物體的達(dá)界上全部給定位移，用S,

表示，

如圖示，這時(shí)，位移邊界條件為：位移的邊界值，是待求的在邊界上是坐標(biāo)x,y

的函數(shù)，是已知的

problem件onditions

for

pla題的邊界ndar面位移邊界條件圖中所示為一變截面懸臂梁，斜邊界上受垂直于邊界的均布載荷q,

水平邊界為自由邊界，試寫出該懸臂梁固定端的位移邊界

條

件

。O

解：第一步，如圖所示，建立坐標(biāo)系。第二步，分析固定端邊界。該邊界的特點(diǎn)是邊界上各點(diǎn)既不

能發(fā)生線位移，也不能發(fā)生角位移(轉(zhuǎn)動(dòng))。邊界位置：固定端邊界；線位移約束：不能上下、左右移動(dòng)：邊界面力：不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)：lemprob件onditionsforpla題的邊界nda面例題邊界面力：不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)：表示固定端上任意點(diǎn)處豎直微段的偏轉(zhuǎn)角表示固定端上任意點(diǎn)處水平微段的偏轉(zhuǎn)角第三步，寫出位移約束條件。在x=0處

：

problem件onditions

for

pla題的邊界ndar面例題04圣維南原理與等效邊界條件Saint-Venant's

principle

and

equivalent

boundary

conditionsFu

(d)F

(e)原理如果改變物體的某一局部(小部分)邊界面上作用的表面力的分布方式，但保持靜力上的等效

(即主向量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同),

則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，而遠(yuǎn)處的

應(yīng)力改變甚小，可以忽略不計(jì)。這一敘述稱為圣維南原理。應(yīng)用背景從數(shù)學(xué)上難以完全滿足邊界條件。應(yīng)用條件●

替換力系與原力系“靜力等效”;●在彈性力學(xué)問題的小邊界上使用。圣維南原理與等效邊界條件Saint-Venant's

principleand

equivalent

boundary

conditions(a)(b)(c)圣維南原理與等效邊界條件Saint-Venant's

principleand

equivalent

boundary

conditions

靜力等效寫邊界條件考慮圖中所示的懸臂梁，在自由端受集中力F、F

以及

外力偶矩M

作用，試?yán)檬ゾS南原理寫出該邊界上的靜

力等效邊界條件。O

解：在離開自由端很近的地方假設(shè)用截面A-A將其截開。取截出的

微段，畫受力圖如圖所示。寫出微段的平衡方程，有圣維南原理與等效邊界條件Saint-Venant's

principleand

equivalent

boundary

conditions

靜力等效寫邊界條件考慮建立坐標(biāo)不通過梁截面形心的情況，新、舊坐標(biāo)系滿足關(guān)系式寫出微段的平衡方程，有這說明新坐標(biāo)系下外力的簡化結(jié)果也需要對新坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行簡化。平面問題的求解——位移法Solutionof

plane

problems

-Displacement

method平面問題的基本方程平衡方程幾何方程胡克定律

或平面應(yīng)力問題

平面應(yīng)變問題平面問題的求解——位移法Solutionof

plane

problems

-Displacement

method位移為基本變量的平衡方程代入胡克定理平衡方程幾何方程位移邊界條件仍然表示為：思考：用位移表示的平面

應(yīng)力問題有幾個(gè)基本方程?

如何轉(zhuǎn)換為平面應(yīng)變問題?平面問題的求解——位移法Solutionof

plane

problems

-Displacement

method位移為基本變量的平衡方程應(yīng)力邊界條件式(4-16)可寫為—

—用應(yīng)力表示的相容方程。

-S

力法相容方程thod應(yīng)tress—blem求tion

of

plane面問題兩邊對y求兩次導(dǎo)數(shù)

兩邊對x求兩次導(dǎo)數(shù)對比兩者等號右側(cè)，完全相同兩邊對x和y各求一次導(dǎo)數(shù)考慮物理方程將兩者疊加(4-16)平面問題的求解——應(yīng)力法Solution

of

plane

problems

-Stress

method再利用平衡方程消去切應(yīng)力2ory

代入a

+0J-(+1-)變形協(xié)調(diào)方程平面問題的求解——應(yīng)力法Solution

of

plane

problems

-Stress

method平面問題的力法和位移法方程總結(jié)平衡方程位移法求解的基本方程的

應(yīng)基

法方

求

程

解的

位基移本

法

方

求

程解變形協(xié)調(diào)方程19世紀(jì)大量鑄鐵材料應(yīng)用于橋梁工程，為了確定橋梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，亟需有一種求解橋梁內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變的方法。這一情況受到了英國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的艾力

(

George

Biddell

Airy,1801-1892)

的關(guān)注，他意識到求解梁內(nèi)部所有點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變的

重要性，并立志要發(fā)展一套全新的求解理論。艾力應(yīng)力函數(shù)法Aili

stress

functionmethodGeorge

Biddell

Airy

懸臂梁模型1801-1892艾力應(yīng)力函數(shù)艾力應(yīng)力函數(shù)法Ailistressfunction

method常體力相容方程簡化力法求解二維問題的基本方程，包含2個(gè)平衡方程和1個(gè)變形協(xié)調(diào)方程(相容方程):非齊次常微分方程求解：對應(yīng)齊次方程的通解+一組特解當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，上述第三式相容方程右側(cè)為0,即可得到常體力下的相容方程：Ailistressfunctionmethod齊次方程通解推導(dǎo)：-(-。)根據(jù)全微分，上式成立，必存在勢函數(shù)A,

滿足下-(-x.)根據(jù)全微分，上

式成立，必存在勢函數(shù)B,滿足下

式平衡方程：可驗(yàn)證下面解都是平衡方程的特解：特

解

一

：特

解

二

：特

解

三

：選擇任意特解，寫出方程的解為：將其帶入相容方程(4-

19),得：或

：艾力應(yīng)力函數(shù)法再次根據(jù)全微分，上式成立，必存在勢函數(shù)，滿足下式代回應(yīng)力分量，用表示(4-20)艾力應(yīng)力函數(shù)法Ailistressfunction

method逆解法與半逆解法應(yīng)力勢函數(shù)通常情況下不能直接求出，

一般有兩類方法確定應(yīng)力勢函數(shù)，分別為逆解法和半逆解法。

逆解法含

義

：逆解法，也可以稱之為經(jīng)驗(yàn)法，即先設(shè)出某種類型的滿足相容方程的函數(shù)，然后求解應(yīng)力分量，

再依據(jù)應(yīng)力分量求出面力分布，這樣就可以知道哪類彈性力學(xué)問題應(yīng)該選擇什么樣的應(yīng)力函數(shù)。0

2

半

逆

解

法含

義

：半逆解法就是針對特定的問題，根據(jù)邊界條件，可以確定出全部或部分應(yīng)力分量為某種形式，從

而推出應(yīng)力函數(shù)，然后檢驗(yàn)其是否滿足相容方程，以及原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個(gè)應(yīng)力函數(shù)求出的

其余分量是否滿足邊界條件。疊加原理與唯一性定理The

principleof

superpositionandtheuniquenesstheorem疊加原理理論發(fā)展疊加原理和唯一性定理是彈性力學(xué)求解的兩個(gè)基本原理，前者使復(fù)雜問題