第四章基本圖形1.通過豐富的實例,認識線段、射線、直線、角等簡單平面圖形.2.能用符號表示角、線段;理解與多邊形和圓有關的概念.3.會進行線段或角的比較,能估計一個角的大小,認識度、分、秒,會進行角的單位換算.4.初步培養學生的識圖能力、語言表達能力及邏輯思維能力.知識點1直線、射線與線段的概念注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點的限制，只能向一邊無限延伸；線段不能延伸，所以直線與射線不可測量長度，只有線段可以測量。知識點2：基本事實1.經過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短知識3：線段的性質兩點之間的線段中，線段最短，簡稱：兩點間線段最短。知識點4：基本概念1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點知識5：雙中點模型：C為AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則知識點6：角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角．（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．知識點7：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于60時要向高一位進位．知識點8：鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點9：方位角在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點．知識點10：角平分線從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點11：角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點12：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．知識點13：多邊形及正多邊形定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形．其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如下圖：2.正多邊形1.各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形2.正多邊形的每個內角3.正多邊形每個外角的度數：（3）平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。3．相關概念：頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角（可簡稱為多邊形的角），一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．多邊形公式1.n邊形一個頂點的對角線數：n-32.n邊形的對角線總數：3.n邊形的外角和：360°4.補充拓展：n邊形截去一個角后得到n/n-1/n-2邊形知識點14：圓及扇形1.圓的定義如圖，在一個平面內，一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓，固定的端點叫做圓心，線段OA叫做半徑.

注意：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可.

②圓是一條封閉曲線.2.扇形（1）圓弧：圓上任意兩點A，B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如下圖：（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經過這條弧的端點的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個扇形.（3）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.如上圖，∠AOB是圓的一個圓心角，也是扇形OAB的圓心角.（4）扇形的弧長和面積扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積【題型1直線、射線與線段】【典例1】（2022秋?辛集市期末）下列幾何圖形與相應語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點C B．如圖2所示，射線CB不經過點A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點【答案】C【解答】解：A、點C在線段BA的延長線上，故A不符合題意；B、射線BC不經過點A，故B不符合題意；C、直線a和直線b相交于點A，正確，故C符合題意；D、射線CD和線段AB有交點，故D不符合題意，故選：C．【變式1-1】（2023春?泰安期中）下列說法中，正確的是（）A．射線MP和射線PM表示同一條射線 B．射線MP有兩個端點 C．線段AB和線段BA表示同一條線段 D．射線AB和線段AB對應同一圖形【答案】C【解答】解：A、射線MP和射線PM表示同一條射線錯誤，故本選項錯誤；B、射線MP有一個端點M，故本選項錯誤；C、線段AB和線段BA表示同一條線段正確，故本選項正確；D、射線AB和線段AB對應同一圖形錯誤；故本選項錯誤．故選：C．【變式1-2】（2023?任丘市校級模擬）下列各選項中的射線EF和直線AB能相交的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：射線EF和直線AB能相交的是選項B中的圖形．故選：B．【變式1-3】（2023春?環翠區期中）如圖，下列不正確的說法是（）A．直線AB與直線BA是同一條直線 B．線段AB與線段BA是同一條線段 C．射線OA與射線AB是同一條射線 D．射線OA與射線OB是同一條射線【答案】C【解答】解：A、直線AB與直線BA是同一條直線，故本選項不符合題意；B、線段AB和線段BA是同一條線段，故本選項不符合題意；C、射線OA與射線AB不是同一條射線，故本選項符合題意；D、射線OA與射線OB是同一條射線，故本選項不符合題意；故選：C．【題型2直線的性質】【典例2】（2023?婺城區模擬）如圖，小亮為將一個衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個釘子進行固定，用數學知識解釋他這樣操作的原因，應該是（）A．過一點有無數條直線 B．兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離 C．經過兩點有且只有一條直線 D．兩點之間，線段最短【答案】C【解答】解：因為“兩點確定一條直線”，所以他在衣架兩端各用一個釘子進行固定．故選：C．【變式2-1】（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個點，經過其中任意兩點畫直線，一共可以畫（）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【答案】D【解答】解：如圖，經過其中任意兩點畫直線可以畫3條直線或1條直線，故選：D．【變式2-2】（2022秋?瀘縣期末）小紅家分了一套住房，她想在自己的房間的墻上釘一根細木條，掛上自己喜歡的裝飾物，那么小紅至少需要幾根釘子使細木條固定（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【答案】B【解答】解：根據直線的性質，小紅至少需要2根釘子使細木條固定．只有B符合．故選：B．【變式2-3】（2022秋?莘縣期末）如圖，建筑工人在砌墻時，為了使砌的墻是直的，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的細線繩作參照線．這樣做的依據是：兩點確定一條直線．【答案】見試題解答內容【解答】解：建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法運用到的數學原理是：兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．【題型3線段的應用】【典例3】（2023春?高青縣期中）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個點表示5個車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【解答】解：圖中線段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10條，單程要10種車票，往返就是20種，即5×（5﹣1）＝20，故選：D．【變式3-1】（2022秋?鄂城區校級期末）如圖，在線段AD上有兩點B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設兩個站點B、C，則應該共印刷_____種車票．（）A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【答案】D【解答】解：從A開始的線段有：AB，AC，AD；從B開始的線段有：BC，BD；從C開始的線段有：CD，∴在線段AD上有兩點B，C，則圖中共有6條線段；由于車票從A到B和從B到A是不同的，所以車票的數量是線段條數的2倍，故需要12種車票，故選：D．【變式3-2】（2022秋?普寧市期末）由汕頭開往廣州東的D7511動車，運行途中須停靠的車站依次是：汕頭→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動車制作的車票一共有（）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種【答案】C【解答】解：6+5+4+3+2+1＝21（種）．故要為D7511動車制作的車票一共有21種．故選：C．【變式3-3】（2022秋?婺城區期末）杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【答案】A【解答】解：需要印制不同的火車票的種數是：2（1+2+3+4）＝20（種）．故選：A．【題型4作圖-直線射線和線段】【典例4】（2022秋?沈丘縣月考）如圖，平面上有三個點A，B，C．（1）根據下列語句畫圖：作出射線AC，CB，直線AB；在射線CB上取一點D（不與點C重合），使BD＝BC；（2）在（1）的條件下，回答問題：①用適當的語句表述點D與直線AB的關系：點D在直線AB外；②若BD＝3，則CD＝6．【答案】（1）見解答；（2）①點D在直線AB外；②6．【解答】解：（1）如圖，射線AC，CB，直線AB；射線CB上一點D；（2）①點D與直線AB的關系：點D在直線AB外；故答案為：點D在直線AB外；②∵BD＝BC，BD＝3，∴CD＝2BD＝2×3＝6．故答案為：6．【變式4-1】（2022秋?館陶縣期末）如圖，在同一個平面內有四個點，請用直尺和圓規按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）：（1）作射線AB；（2）作直線AC與直線BD相交于點O；（3）在射線AB上作線段AC′，使線段AC′與線段AC相等．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）作射線AB，如圖所示；（2）作直線AC與直線BD相交于點O，如圖所示；（3）作法：以A為圓心，線段AC′的長為半徑，在射線AB上畫弧，交射線AB于C′，線段AC′就是所求．【變式4-2】（2022秋?新豐縣期末）已知平面上四點A、B、C、D，如圖：（1）畫直線AD；（2）畫射線BC，與AD相交于O；（3）連接AC、BD相交于點F．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖所示：【題型5線段的性質】【典例5】（2022秋?衡山縣期末）某同學用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發現剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是（）A．兩點確定一條直線 B．點動成線 C．直線是向兩方無限延伸的 D．兩點之間線段最短【答案】D【解答】解：某同學用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發現剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是：兩點之間所有連線中，線段最短，故選：D．【變式5-1】（2022秋?吉州區期末）曲橋是我國古代經典建筑之一，它的修建增加了橋的長度，也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光，其中蘊含的數學道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．經過一點可以作無數條直線 D．連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離【答案】A【解答】解：曲橋是我國古代經典建筑之一，它的修建增加了橋的長度，也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光，其中蘊含的數學道理是兩點之間，線段最短，故A正確．故選：A．【變式5-2】（2023春?文山市期末）把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識解釋應為（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短 C．垂線段最短 D．平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】B【解答】解：要想縮短兩地之間的里程，就盡量是兩地在一條直線上，因為兩點間線段最短．故選：B．【變式5-3】（2023?新華區模擬）如圖，從A地到B地的四條路線中，路程最短的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：從A地到B地的四條路線中，3是一條線段，∴路程最短的是3．故選：C．【題型6兩點間距離】【典例6】（2023秋?龍城區校級月考）如果A、B、C在同一直線上，線段AB＝4cm，BC＝8cm，那么A、C兩點間的距離是（）A．12cm B．8cm C．4cm D．4cm或12cm【答案】D【解答】解：①點B在A、C之間時，AC＝AB+BC＝4+8＝12（cm）．②點C在BA延長線上時，AC＝BC﹣AC＝8﹣4＝4（cm）．所以A、C兩點間的距離是12cm或4cm．故選：D．【變式6-1】（2022秋?新興縣期末）如圖，點C是線段AB上的點，點D是線段BC的中點，AB＝10，AC＝6，則線段CD的長是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，又∵點D是線段BC的中點，∴CD＝BC＝×4＝2．故選：C．【變式6-2】（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB＝12，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：已知AB＝12，C為AB的中點，∴，∵AD：CB＝1：3，∴，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10．故選：D．【變式6-3】（2022秋?交口縣期末）直線上有A，B，C三點，已知AB＝8cm，BC＝2cm，則AC的長是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能確定【答案】C【解答】解：根據題意可得，如圖1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如圖2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的長是10cm或6cm．故答案為：C．【題型7比較線段長短】【典例7】（2023?館陶縣校級模擬）如圖，用圓規比較兩條線段的大小，其中正確的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖用圓規比較兩條線段的大小，A′B′＜A′C′，故選：C．【變式7-1】（2022秋?肥東縣期末）如圖，若AB＝CD，則AC與BD的大小關系為（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能確定【答案】C【解答】解：根據題意和圖示可知AB＝CD，而CB為AB和CD共有線段，故AC＝BD．故選：C．【變式7-2】（2022春?楊浦區校級期末）如圖，AC＞BD，比較線段AB與線段CD的大小（）A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．無法比較【答案】B【解答】解：∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC＞BD，∴AB＞CD．故選：B．【變式7-3】（2022秋?紅橋區期末）如圖，AB＝CD，那么AC與BD的大小關系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能確定【答案】A【解答】解：根據題意和圖示可知AB＝CD，而CB為AB和CD共有線段，故AC＝BD．故選：A．【題型8線段的簡單計算】【典例8】（2022秋?湖北期末）如圖，已知，如果CB＝2cm，求線段CD的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵，∴（3分）∵，∴，（3分）又∵CB＝2cm，∴AD＝12BC＝24cm（3分）∴（1分）【變式8-1】（2022秋?濟南期末）如圖，，D為AC的中點，DC＝2cm，求AB的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：設AB長為x，BC＝AB＝，D為AC的中點，DC＝2cm，解得：AC＝4cm，∵AC＝AB+BC，∴4＝x+＝x，解得：x＝，故AB的長為cm．【變式8-2】（2022秋?西崗區校級期末）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點D是線段BC的中點，如果CD＝3cm，那么線段AC的長度是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：∵點D是線段BC的中點，CD＝3cm，∴BC＝6cm，∵BC＝3AB，∴AB＝2cm，AC＝AB+BC＝6+2＝8cm．【變式8-3】（2022秋?南關區校級期末）如圖，線段AC＝6cm，線段BC＝15cm，點M是AC的中點，在CB上取一點N，使得CN：NB＝1：2，求MN的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵M是AC的中點，∴MC＝AM＝AC＝×6＝3cm，又∵CN：NB＝1：2∴CN＝BC＝×15＝5cm，∴MN＝MC+NC＝3cm+5cm＝8cm．【變式8-4】（2022秋?通川區校級期末）已知，點C是線段AB上的一點，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【答案】（1）5cm；（2）17.5cm．【解答】解：（1）MN＝CM+CN＝＝＝5cm；（2）∵NB＝3.5cm，∴BC＝7cm，∴AB＝＝17.5cm．【題型9“雙中點”模型】【典例9】（2022秋?禹城市期末）如圖，已知點C為線段AB上一點，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點．求：（1）求AD的長度；（2）求DE的長度；（3）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長度．【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）26cm或14cm．【解答】解：（1）由線段中點的性質，AD＝AC＝6（cm）；（2）由線段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），由線段中點的性質，得AE＝＝10（cm），由線段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；（3）當M在點B的右側時，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），當M在點B的左側時，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），∴AM的長度為26cm或14cm．【變式9-1】（2022秋?鐵西區校級期末）如圖，線段AB＝8cm，C是線段AB上一點，M是AB的中點，N是AC的中點．（1）AC＝3cm，求線段CM、NM的長；（2）若線段AC＝m，線段BC＝n，求MN的長度（m＜n用含m，n的代數式表示）．【答案】（1）2.5（cm）；（2）n．【解答】解：（1）∵AB＝8cm，M是AB的中點，∴AM＝AB＝4cm，∵AC＝3cm，∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中點，N是AC的中點，∴AM＝AB＝4cm，AN＝AC＝1.5cm，∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；（2）∵AC＝m，BC＝n，∴AB＝AC+BC＝m+n，∵M是AB的中點，N是AC的中點，∴AM＝AB＝（m+n），AN＝AC＝m，∴MN＝AM﹣AN＝（m+n）﹣m＝n．【變式9-2】（2022秋?南昌期末）如圖，線段AB＝8，點C是線段AB的中點，點D是線段BC的中點．（1）求線段AD的長；（2）若在線段AB上有一點E，CE＝BC，求AE的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中點，∴AC＝BC＝4，∵D是BC的中點，∴CD＝BC＝2，∴AD＝AC+CD＝6；（2）∵BC＝4，CE＝BC，∴CE＝×4＝1，當E在C的左邊時，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；當E在C的右邊時，AE＝AC+CE＝4+1＝5．∴AE的長為3或5．【題型10度分秒換算】【典例10】（2022秋?寧波期末）用度表示30°9′36″為30.16°．【答案】見試題解答內容【解答】解：30°9′36″＝30.16°，故答案為：30.16°【變式10-1】（2022秋?新撫區期末）計算：18°42′+42°58′＝61°40'．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案為：61°40'．【變式10-2】（2022秋?盤山縣期末）計算：57.32°＝57度19分12秒．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵0.32×60′＝19.2′，0.2×60″＝12″，∴57.32°＝57°19′12″．故答案為：57；19；12．【變式10-3】（2022秋?惠城區期末）把18°21′36″可表示為18.36°．【答案】18.36°．【解答】解：∵，∴，∴18°21'36''＝18°+0.36°＝18.36°．故答案為：18.36°．【變式10-4】（2023春?文登區期末）18.21°＝18°12′36″．【答案】18；12；36．【解答】解：18.21°＝18°+0.21×60′＝18°12.6′＝18°12′+0.6×60″＝18°12′36″．故答案為：18；12；36．【題型11角的概念及表示】【典例11】（2022秋?長壽區期末）下列四個圖形中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的圖形是A中的圖，B，C，D中的圖都不能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的圖形，故選：A．【變式11-1】（2022秋?阜平縣期末）下列圖形中，能用∠α，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項錯誤；B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項錯誤；C、圖中∠α、∠AOB、∠O表示同一個角，故本選項正確；D、圖中的∠AOB不能用∠α表示，故本選項錯誤；故選：C．【變式11-2】（2022秋?宛城區期末）如圖所示，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個角的圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故A選項錯誤；B、以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故B選項錯誤；C、以O為頂點的角不止一個，不能用∠O表示，故C選項錯誤；D、能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角，故D選項正確．故選：D．【變式11-3】（2022秋?廣平縣期末）如圖，下列對圖中各個角的表示方法不正確的是（）A．∠A B．∠1 C．∠C D．∠ABC【答案】C【解答】解：圖中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，即表示方法不正確的有∠C，故選：C．【題型12作圖-基本作圖】【典例12】（2023?綠園區一模）觀察下列尺規作圖的痕跡：其中，能夠說明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【解答】解：如圖①中，由作圖可知，EB＝EC，∵EA+EC＞AC，∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．如圖③中，由作圖可知，AT＝AC，∵點T在線段AB上，∴AB＞AT，即AB＞AC．故選：C．【變式12-1】（2023秋?朝陽區校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據尺規作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【答案】B【解答】解：根據尺規作圖的痕跡可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分線，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．【變式12-2】（2022秋?新華區校級期末）如圖，用尺規作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點B為圓心，以OD長為半徑的弧 B．以點B為圓心，以DC長為半徑的弧 C．以點E為圓心，以OD長為半徑的弧 D．以點E為圓心，以DC長為半徑的弧【答案】D【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點C，D；②以點B為圓心，以OC為半徑畫，交射線BO于點E；③以點E為圓心，以CD為半徑畫，交于點N，連接BN即可得出∠OBF，則∠OBF＝∠AOB．故選：D．【變式12-3】（2023?松原模擬）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用無刻度的直尺和圓規在BC邊上找一點D，使AD＝BD，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：若要在BC邊上找一點D，使AD＝BD，則點D應該是線段AB垂直平分線與BC的交點，故選：D．【題型13鐘面角】【典例13】（2022秋?滕州市校級期末）在時刻10：18，時鐘上時針與分針的夾角為（）A．105° B．155° C．159° D．157°【答案】C【解答】解：∵10：18時，時針與分針之間11到3間隔度數為30°×4＝120°，3分鐘對應角度為，18分鐘時針對應角度，∴在時刻10：18，時鐘上時針與分針的夾角為120°+18°+21°＝159°．故選：C．【變式13-1】（2023春?泰山區期中）下午3：30時，時針和分針所夾銳角的度數是（）A．67.5° B．70° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵鐘面上有12個大格，∴每一格的度數為360°÷12＝30°，∵下午3：30時，時針和分針所夾銳角對應兩個半大格，∴下午3：30時，時針和分針所夾銳角的度數是30°×2.5＝75°．故選：C．【變式13-2】（2022秋?永安市期末）下午3時30分，鐘面上時針與分針的夾角為（）A．90° B．85° C．75° D．65°【答案】C【解答】解：∵3點30分，時針和分針中間相差2.5個大格，∵鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為30°，∴3點30分，分針與時針的夾角是2.5×30°＝75°．故選：C．【變式13-3】（2022秋?九龍坡區期末）當分針指向12，時針這時恰好與分針成60°的角，此時是（）A．9點鐘 B．10點鐘 C．4點鐘或8點鐘 D．2點鐘或10點鐘【答案】D【解答】解：∵鐘表上每一個大格之間的夾角是30°，∴當分針指向12，時針這時恰好與分針成60°的角時，距分針成60°的角時針應該有兩種情況，即距時針2個格，∴只有2點鐘或10點鐘時符合要求．故選：D．【題型14方位角】【典例14】（2022秋?漢陽區校級期末）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東30°的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、是南偏西60°，故此選項不合題意；B、是北偏東60°，故此選項不合題意；C、是北偏西30°，故此選項不合題意；D、是北偏東60°，故此選項合題意．故選：D．【變式14-1】（2022秋?和平區校級期末）如圖，在觀測站O發現客輪A、貨輪B分別在它北偏西50°、西南方向，則∠AOB的度數是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：由題意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，故選：B．【變式14-2】（2023?耿馬縣三模）如圖，在海島C測得船A在其南偏東70°的方向上，測得燈塔B在其北偏東50°的方向上，則∠ACB＝（）?A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵船A在海島C的南偏東70°的方向上，燈塔B在海島C北偏東50°的方向上，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故選：B．【變式14-3】（2022秋?西豐縣期末）如圖，甲、乙兩人同時從A地出發，沿圖示方向分別步行前進到B、C兩地，現測得∠BAC為100°，B地位于A地的北偏東50°方向，則C地位于A地的（）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏東50°方向 D．南偏東30°方向【答案】D【解答】解：如圖所示：由題意可得：∠BAD＝50°，∠BAC＝100°，則∠CAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故乙位于A地的南偏東30°．故選：D．【題型15角平分線】【典例15】（2023春?東阿縣期末）如圖，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，則∠BOD的度數是（）A．15° B．20° C．22.5° D．25°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°．∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOC＝×140°＝70°．∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°﹣50°＝20°．故選：B．【變式15-1】（2022秋?防城港期末）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠BOD，若∠BOC＝34°，則∠AOD等于（）A．34° B．68° C．144° D．112°【答案】D【解答】解：∵射線OC平分∠DOB，∴∠BOD＝2∠BOC＝2×34°＝68°．∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣68°＝112°．故選：D．【變式15-2】（2023春?淇濱區月考）如圖所示，直線AB、CD，交于點O，射線OM平分∠AOC．若∠AOM＝36°，則∠BOC等于（）A．36° B．72° C．108° D．54°【答案】C【解答】解：∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM＝2×36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°．故選：C．【變式15-2】（2023?鄲城縣一模）如圖，點O為直線AB上一點，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，若∠BOE＝28°，則∠AOD的度數為（）A．58° B．60° C．62° D．70°【答案】C【解答】解：∵點O為直線AB上一點，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∴∠COD＝，，∵∠EOD＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝28°，∴∠COE＝28°，∵∠EOD＝90°，∴∠EOB+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝62°．故選：C．【題型16角的運算】【典例16】（2022秋?洪山區期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數；（2）過點O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，當OD在∠AOB內時，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，當OD在∠AOB外時，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度數為20°或100°．【變式16-1】（2022秋?市北區校級期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：設∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．則∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分線，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分線，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．【變式16-2】（2023春?綏化期末）如圖，已知在同一平面內∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．（1）填空：∠BOC＝150°；（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度數；（3）如果在（2）的條件下將∠AOC＝60°改為∠AOC＝2α（α＜45°），其他條件不變，求∠DOE的度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，故答案為：150°；（2）由（1）知∠BOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝75°，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠COE＝AOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，∴∠COE＝AOC＝α，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．【變式16-3】（2022秋?嘉峪關校級期末）如圖，點A、O、E在同一直線上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵點A、O、E在同一直線上，∴∠AOE＝180°，∵∠EOD＝28°，OD平分∠COE，∴∠COE＝2∠DOE＝56°，∵∠COB+∠AOB+∠COE＝180°，而∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣∠EOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣56°＝84°．【題型17角的大小比較】【典例17】（2022秋?臨海市期末）若∠α＝10.5°，∠β＝10°10'，則∠α＞∠β．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：∵∠α＝10.5°＝10°30'，∠β＝10°10'，10°30'＞10°10'，∴∠α＞∠β，故答案為：＞．【變式17-1】（2023春?渭濱區期中）如圖，∠AOB和∠COD都是直角，則∠1＝∠2（填＞，＝，＜）．【答案】＝．【解答】解：∵∠AOB和∠COD都是直角，∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2，故答案為：＝．【變式17-2】（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網格中，點A，B，C，D，O是網格線交點，那么∠AOB與∠COD的大小關系是∠AOB＞∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：如圖：連接OE，由題意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案為：＞．【變式17-3】（2022秋?江北區期末）分別記以下三個時刻3：30，6：40，9：00時針和分針所成角的大小為α，β，γ，請比較α，β，γ的大小β＜α＜γ．（用“＜”號連結）【答案】β＜α＜γ．【解答】解：∵3：30時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數α＝75°；6：40時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數β＝40°；9：00時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數γ＝90°；∴β＜α＜γ．故答案為：β＜α＜γ．【題型18多邊形】【典例18】（2022秋?高碑店市期末）下列是正多邊形的是（）A．六條邊都相等的六邊形 B．四個角都是直角的四邊形 C．四條邊都相等的四邊形 D．三條邊都相等的三角形【答案】D【解答】解：根據正多邊形的概念，各條邊都相等，各個角都相等的多邊形是正多邊形，所以選項D是正確的．選項B只滿足了四個角都是直角的四邊形，而四條邊不一定相等，有可能是矩形，不滿足條件．選項A和C只滿足了各條邊相等．而角不一定，所以不正確．故答案選：D．【變式18-1】（2022秋?河東區校級期中）