絕密★啟用前2025年中考考前信息必刷卷數學（天津專用）考情速遞中考·新動向：數學核心素養：命題可能更加注重考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析能力。?跨學科融合：可能增加與物理、化學、信息技術等學科結合的題目，考查綜合應用能力。中考·新考法：減少機械計算：減少純計算題，增加情境化、探究性題目，如實際生活問題、社會熱點相關應用題。?創新題型：可能引入開放性試題（如多解題、結論探究題），鼓勵學生多角度思考。?壓軸題難度：幾何綜合題、函數綜合題可能繼續保持較高難度，但會更注重思維過程而非復雜計算。比如第4題，是當前在國內外比較熱門的幾種新能源汽車的種類，需要學生能及時了解當前形勢以及我們國家走在世界前列的經濟發展情況。中考·新情境：數字化與創新思維?信息技術融合：可能涉及數據分析、編程思維（如簡單的算法邏輯題）。?數學建模：可能增加現實問題建模題目，如最優方案設計、資源分配等。比如22題是與實際情況想聯系的問題，考生需要具備一定的生活經歷，然后聯系學習的數學知識，建立數學模型，從而解決數學問題。命題·大預測：注重基礎+拓展：扎實掌握基礎知識（如方程、函數、幾何證明），同時提升數學閱讀能力（審題、提取關鍵信息）。明確題型、分值、考查重點。?強化思維訓練：多練習探究性、開放性題目。及時關注天津市教育招生考試院發布的考試說明。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=35，則cosA．34 B．43 C．35【答案】C【分析】根據互余兩銳角的三角函數之間的關系可直接得出答案．【詳解】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA=3故選：C．【點睛】本題考查銳角三角函數的意義，互余兩銳角的三角函數之間的關系，理解銳角三角函數的意義是正確解答的前提，掌握互余兩銳角的三角函數之間的關系是解決問題的關鍵．2．反比例函數y=kx與一次函數y＝kx﹣A． B． C． D．【答案】C【分析】因為k的符號不確定，所以應根據k的符號及一次函數與反比例函數圖象的性質解答．【詳解】解：當k＜0時，﹣k＞0，反比例函數y=kx的圖象在二，四象限，一次函數y＝kx﹣k的圖象過一、二、四象限，選項當k＞0時，﹣k＜0，反比例函數y=kx的圖象在一、三象限，一次函數y＝kx﹣故選：C．【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數的圖象性質，正確掌握它們的性質才能靈活解題．3．某芯片每秒可執行100億次運算，它工作2025秒可執行的運算次數用科學記數法表示為（）A．0.2025×1014 B．20.25×1012 C．2.025×1013 D．2.025×1014【答案】C【分析】確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的值與小數點移動位數相同．【詳解】解：100×2025＝202500億，202500億＝20250000000000＝2.025×1013．故選：C．【點睛】本題考查科學記數法的表示方法，掌握形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數是關鍵．4．我國新能源汽車表現亮眼，連續9年摘得全球產銷量第一桂冠，產銷量全球占比均超過60%．以下新能源汽車圖標既是中心對稱，還是軸對稱的是（）A．極氪 B．小鵬 C．理想 D．蔚來【答案】B【分析】如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．【詳解】解：A、選項圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；B、選項圖形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；C、選項圖形不是軸對稱圖形，不中心對稱圖形，不符合題意；D、選項圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是關鍵．5．全家觀影已成為過年新民俗.2025年春節檔熱門電影有《哪吒之魔童鬧海》《熊出沒：重啟未來》《封神第二部：戰火西岐》《唐探1900》．若小明看了其中的一部電影，則這部影片是《哪吒之魔童鬧?！返母怕适牵ǎ〢．14 B．13 C．12【答案】A【分析】直接由概率公式求解即可．【詳解】解：∵2025年春節檔熱門電影有《哪吒之魔童鬧?！贰缎艹鰶]：重啟未來》《封神第二部：戰火西岐》《唐探1900》，∴小明看了其中的一部電影，則這部影片是《哪吒之魔童鬧?！返母怕适?4故選：A．【點睛】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數與總情況數之比．熟記概率公式是解題的關鍵．6．某幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據主視圖和俯視圖進行判斷即可．【詳解】解：根據主視圖和俯視圖，則該幾何體為臺階．故選：A．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是掌握直觀想象的能力．7．已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根互為相反數，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6【答案】B【分析】利用一元二次方程根與系數的關系即可解決問題．【詳解】解：由題知，關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根之和為k﹣2，因為此方程的兩根互為相反數，所以k﹣2＝0，解得k＝2．故選：B．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．8．如圖，F是?ABCD的邊CD上的點，Q是BF中點，連接CQ并延長交AB點E，連接AF與DE相交于點P，若S△APD=4cm2，SA．28 B．26 C．24 D．20【答案】A【分析】連接EF，先根據平行四邊形的性質得到AB＝CD，AB∥CD，再證明△BEQ≌△FCQ，可得BE＝CF，可判定四邊形BCFE是平行四邊形，從而得到S△BEF=12S?BCFE，再證明四邊形ADFE是平行四邊形，可得S△PEF=S【詳解】解：連接EF，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCE，∵Q是BF中點，∴BQ＝FQ，在△BEQ和△FCQ中，∵∠BEQ＝∠FCQ，∠BQE＝∠FQC，BQ＝FQ，∴△BEQ≌△FCQ（AAS），∴BE＝CF，∵BE∥CF，∴四邊形BCFE是平行四邊形，∴S△BEF∵AB﹣BE＝CD﹣CF，即AE＝FD，∵AE∥FD，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴S△PEF∴S?ADFE∴S?BCFE∴S△BEF∴陰影部分的面積為S△BEF故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形的面積，關鍵是相關性質的熟練掌握．9．如圖，點A是優弧BC的中點，過點B作AC的垂線交AC于點E，與圓交于點D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，則圓的半徑為（）A．23 B．3 C．32 【答案】A【分析】連接BC，首先根據圓周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，證明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圓的直徑，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接BC，∴∠A＝∠D＝60°，∵BD⊥AC，∴∠ABE＝30°，∴AB＝2AE＝6，∵點A是優弧BC的中點，∴AB＝AC，∴AC＝2AE＝6，∴AE＝CE，∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6，∵∠BDC＝60°，∴∠BCD＝90°，∴BD是圓的直徑，∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2，∴62+CD2＝（2CD）2，∴CD=23∴BD=2CD=43∴圓的直徑為43∴圓的半徑為23故選：A．【點睛】本題考查圓周角定理和垂徑定理，勾股定理等知識，作出合適的輔助線是解題的關鍵．10．如圖，點A為反比例函數y=?1x(x＜0)圖象上的一點，連接AO，過點O作OA的垂線與反比例y=2xA．12 B．14 C．22【答案】C【分析】作AG⊥x軸，BH⊥x軸，可證明△AGO∽△OHB，利用面積比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：作AG⊥x軸，垂足為G，BH⊥x軸，垂足為H，∵點A在函數y=?1x圖象上，點B在反比例函數y∴S△AGO=12，S△∵∠AOB＝90°，∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，∴△AGO∽△OHB，∴S△AGOS△OHB=（AO∴AOBO故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，利用相似三角形性質得到相似比是關鍵．11．已知點A（3，3），點B為x軸負半軸上一點，直線BA繞點A順時針旋轉45°交y軸于點C，當BC＝BO+2時，則點B坐標為（）A．（﹣12，0） B．（﹣9，0） C．（﹣6，0） D．（﹣3，0）【答案】D【分析】過點A作y軸的平行線，交x軸于點H，過點C作y軸的垂線，兩條直線相交于點G，過點A作AF⊥AC，交x軸于點F，證明△ACG≌△FAH（ASA），得AG＝FH，AC＝AF，再證明△ACB≌△AFB（SAS），得BC＝BF，設BO＝x，則BC＝x+2，利用勾股定理求出x的值，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點A作y軸的平行線，交x軸于點H，過點C作y軸的垂線，兩條直線相交于點G，過點A作AF⊥AC，交x軸于點F，∵A（3，3），CG⊥GH，GH⊥x軸，∴AH＝OH＝CG＝3，∠CGA＝∠AHF＝90°，∵AF⊥AC，∴∠CAG+∠ACG＝∠CAG+∠FAH＝90°，∴∠ACG＝∠FAH，∴△ACG≌△FAH（ASA），∴AG＝FH，AC＝AF，∵∠CAB＝45°，∴∠FAB＝90°﹣∠CAB＝45°，∴∠FAB＝∠CAB，∵AB＝AB，AG＝FH，∴△ACB≌△AFB（SAS），∴BC＝BF，∵BC＝BO+2，BC＝BO+OF，∴OF＝2，∴FH＝AG＝1，∴HG＝4，即C（0，4），∴OC＝4，設BO＝x，則BC＝x+2，在Rt△BOC中，有BO2＝BC2﹣OC2，即x2＝（x+2）2﹣42，∴x＝3，∴B（﹣3，0），故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，坐標與圖形變化﹣旋轉，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．12．如圖，點A（a，b）是拋物線y=12x2上位于第二象限的一動點，OB⊥OA交拋物線于點B（c，d）．當點A在拋物線上運動的過程中，以下結論：①ac為定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面積為定值；④直線A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】過點A、B分別作x軸的垂線，通過構建相似三角形以及函數解析式來判斷①②是否正確．△AOB的面積不易直接求出，那么可由梯形的面積減去構建的兩個直角三角形的面積得出，根據得出的式子判斷這個面積是否為定值．利用待定系數法求出直線AB的解析式，即可判斷④是否正確．【詳解】解：過A、B分別作AC⊥x軸于C、BD⊥x軸于D，則：AC＝b，OC＝﹣a，OD＝c，BD＝d；（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：ACOD=OC∴ac＝﹣bd，故②正確．（2）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，有：b=12a2…Ⅰ、d=1Ⅰ×Ⅱ，得：bd=14a2c2，即﹣ac=14a2c故①正確．（3）S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD=12（b+d）（c﹣a）?12（﹣a=12bc?12ad=12（bc??4c由此可看出，△AOB的面積不為定值，故③錯誤．（4）設直線AB的解析式為：y＝kx+h，代入A、B的坐標，得：ak+h＝b…Ⅲ、ck+h＝d…ⅣⅢ×c﹣Ⅳ×a，得：h=bc?adc?a∴直線AB與y軸的交點為（0，2）．故④正確．綜上，共有三個結論是正確的，它們是①②④，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數綜合題．題目涉及的考點并不復雜，主要有：利用待定系數法確定函數解析式、相似三角形的判定和性質以及圖形面積的解法，難點在于代數式的變形，可以將已知的條件列出，通過比較式子間的聯系來找出答案．二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．已知m=2?1，n=2+1，則m2﹣n【答案】﹣42．【分析】根據二次根式的加法法則、減法法則、分別求出m+n、m﹣n，根據平方差公式把所求的式子變形，代入計算即可．【詳解】解：m=2?1，n則m+n＝（2?1）+（2+1）＝22，m﹣n＝（2?∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣42，故答案為：﹣42．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．14．如圖是反比例函數y=kx（k≠0）的圖象，整數k的值是【答案】1．【分析】根據反比例函數的圖象可得0＜k＜2，即可得出答案．【詳解】解：根據圖象可知：0＜k＜2，∴整數k的值是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數的圖象與k的關系是關鍵．15．公元前四世紀，希臘哲學家、科學史家歐德莫斯曾研究過對數學發展有重要影響的如下問題：如圖，AB為⊙O的直徑，過圓心O作OC⊥AB，交⊙O于點C，以C為圓心，CA為半徑作AB，若S陰＝4cm2，則S△ABC＝cm2．【答案】見試題解答內容【分析】設⊙O的半徑為r，則AC=OA2+OC2=2【詳解】解：由題意知，∠ACB＝90°，設⊙O的半徑為r，則AC=O∴S陰影=S解得r2＝4，∴S△ABC故答案為：4．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角為直角，扇形面積等知識．解題的關鍵在于正確表示陰影部分面積．16．將拋物線y＝3（x﹣4）2+2向右平移1個單位長度后拋物線的頂點坐標是．【答案】（5，2）．【分析】按照“左加右減”的規律，進而得出平移后拋物線的解析式，即可求出頂點坐標．【詳解】解：將拋物線y＝3（x﹣4）2+2向右平移1個單位長度后得到解析式：y＝3（x﹣4﹣1）2+2，即y＝3（x﹣5）2+2，故所得拋物線的頂點坐標為（5，2）．故答案為：（5，2）．【點睛】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規律，解決本題的關鍵是熟記“左加右減，上加下減”．17．已知，如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，G是邊BC的中點，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，連接CE、CF．則∠AFC的度數是；CF的長是．【答案】135°；10．【分析】延長BF交DC于點H，連接GH，取GH的中點O，以O為圓心，GH為直徑作圓，得出F，G，C，H四點共圓，且GH是直徑，進而根據圓內接四邊形對角互補得出∠AGB＝∠BHC，進而證明△ABG≌△BCH（AAS）得出△GHC是等腰直角三角形，根據同弧所對的圓周角相等得出∠CFG＝∠HGC＝45°；過點F作FM∥DC交BC于點M，得出△BFM∽△BHC，根據等面積法求得BF，進而根據相似三角形的性質得出FM＝1，在Rt△FMC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長BF交DC于點H，連接GH，取GH的中點O，以O為圓心，GH為直徑作圓，由條件可知∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴∠GFH＝90°，∴F，G，C，H四點共圓，且GH是直徑，∴∠FGC+∠FHC＝180°，∴∠AGB＝∠BHC，∵∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴△ABG≌△BCH（AAS），∴HC＝BG，BH＝AG，∵G是BC的中點，∴BG=CG=1∴HC＝GC，∴△GHC是等腰直角三角形，又HC=∴∠CFG＝∠HGC＝45°；∴∠AFC＝135°，過點F作FM∥DC交BC于點M，在Rt△ABG中，AB=5，BG=5∴AG=AB2∵S△ABG∴BF=AB?BG∵FM∥DC，∴△BFM∽△BHC，∴FMHC=BF∴FM＝1，∴BM=5?1∴CM＝5﹣2＝3，在Rt△FMC中，FC=F故答案為：135°，10．【點睛】本題考查了本題考查了直角所對的弦是直徑，圓內接四邊形對角互補，方形的性質，全等三角形的性質，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．18．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，延長AD交⊙O于點E．（1）∠BOC的度數為；（2）若BD=3，CD=33，則AD的長是【答案】（1）120°；（2）13+【分析】（1）根據圓周角定理即可得到結論；（2）連接OA，過O點作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根據圓周角定理可得∠BOC＝120°，根據三角函數和勾股定理可得DG，AG，可求AD．【詳解】解：（1）∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°；（2）如圖，連接OA，過點O作OF⊥BC于點F，作OG⊥AE于點G，∴∠BFO＝∠OGD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形OFDG是矩形，∴OG＝DF，∴BC=BD+CD=3∴BF=12BC=2∵∠BOC＝120°，∴∠BOF＝60°，∴∠OBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣60°＝30°，∴OB＝2OF，∴BF=OB∴OF＝2，OA＝OB＝OC＝4，∴GD＝OF＝2，∴AG=O∴AD=AG+GD=13【點睛】本題是圓的綜合題，考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，三角函數的應用，解題的關鍵是添加適當輔助線，構造直角三角形利用勾股定理求解．三、解答題：（本大題共7小題，共66分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）19．解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2【答案】見試題解答內容【分析】由于在本題中，兩邊都是完全平方式，這兩個式子相等或互為相反數，據此即可求解．【詳解】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2∴3x﹣1＝±（2﹣5x），解得x=12或x【點睛】此題主要考查了直接開平方法，難易程度適中．20．一個不透明的袋子中共裝有3個球，其中2個白球、1個黃球，這些球除顏色外其他都相同，將袋子中的球搖勻．（1）隨機摸出1個球，摸到黃球的概率是；（2）隨機摸出1個球，記下顏色（不放回），再從中隨機摸出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法，求這2次摸出的球都是白球的概率．【答案】（1）13（2）13【分析】（1）由題意知，共有3種等可能的結果，其中摸到黃球的結果有1種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及這2次摸出的球都是白球的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：（1）由題意知，共有3種等可能的結果，其中摸到黃球的結果有1種，∴摸到黃球的概率為13故答案為：13（2）列表如下：白白黃白（白，白）（白，黃）白（白，白）（白，黃）黃（黃，白）（黃，白）共有6種等可能的結果，其中這2次摸出的球都是白球的結果有2種，∴這2次摸出的球都是白球的概率為26【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點D，E，過點C作∠BCF使得∠BCF=12∠BAC，交AB（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若BD=2，CE=5，求FB【答案】（1）見解析；（2）103【分析】（1）根據等腰三角形的三線合一得到∠CAE=12∠BAC，則有∠EAC＝（2）連接CD，根據三線合一得到BC=2CE=25，根據勾股定理先求出CD＝4，然后求出AB＝AC＝5，然后根據△ACD∽△AFC求出AF長，即可求出FB【詳解】（1）證明：∵AC為直徑的⊙O，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，又∵AB＝AC，∴∠CAE=1∵∠BCF=1∴∠EAC＝∠BCF，∴∠BCF+∠ECA＝90°，即∠ACF＝90°，∴CF是⊙O的切線；（2）解：連接CD，∵AB＝AC，∠AEC＝90°，∴BC=2CE=25∵AC為直徑的⊙O，∴∠ADC＝∠CDF＝90°，∴CD=B設AB＝AC＝x，則AD＝x﹣2，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝5，∴AB＝AC＝5，AD＝3，又∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∠FAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AFC，∴ADAC=AC解得：AF=25∴FB=AF?AB=25【點睛】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用相似三角形的線段成比例以及勾股定理求線段的長度．22．為保護青少年視力，某企業研發了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側面示意圖（如圖2），測得底座高AB為2cm，∠ABC＝150°，支架BC為18cm，面板長DE為24cm，CD為6cm．（厚度忽略不計）（1）求支點C離桌面l的高度；（結果保留根號）（2）當面板DE繞點C轉動時，面板與桌面的夾角α滿足30°≤α≤70°時，保護視力的效果較好．當α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度增加還是減少？面板上端E離桌面l的高度增加或減少了多少？（結果精確到0.1cm，參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】（1）支點C離桌面l的高度為（93+2）cm（2）當α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約7.9cm．【分析】（1）過點C作CF⊥l于點F，過點B作BM⊥CF于點M，易得四邊形ABMF為矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函數值可得CM長，加上MF長即為支點C離桌面l的高度；（2）過點C作CN∥l，過點E作EH⊥CN于點H，分別得到CE與CN所成的角為30°和70°時EH的值，相減即可得到面板上端E離桌面l的高度增加或減少了．【詳解】解：（1）過點C作CF⊥l于點F，過點B作BM⊥CF于點M，∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．由題意得：∠BAF＝90°，∴四邊形ABMF為矩形，∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠MBC＝60°．∵BC＝18cm，∴CM＝BC?sin60°＝18×32=93∴CF＝CM+MF＝（93+2）cm答：支點C離桌面l的高度為（93+2）cm（2）過點C作CN∥l，過點E作EH⊥CN于點H，∴∠EHC＝90°．∵DE＝24cm，CD＝6cm，∴CE＝18cm．當∠ECH＝30°時，EH＝CE?sin30°＝18×12=當∠ECH＝70°時，EH＝CE?sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）∴當α從30°變化到70°的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約7.9cm．【點睛】本題考查解直角三角形的應用．把所求線段和所給角放在合適的直角三角形中是解決本題的關鍵．用到的知識點為：sinA=∠A的對邊23．某網店專門銷售江西特色產品——贛南臍橙，已知每千克臍橙的成本為8元．根據銷售大數據分析得出：當每千克臍橙的售價為10元時，平均月銷售量為600千克；若每千克臍橙的售價每上漲1元，月銷售量就會減少100千克．設每千克臍橙的售價為x元，月銷售量為y千克，月銷售利潤為w元．（1）求y與x的函數解析式；（2）月銷售利潤w是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．【答案】（1）y＝﹣100x+1600；（2）月銷售利潤w存在最大值，最大值為1600元，此時x的值為12．【分析】（1）設每千克臍橙的售價為x元，那么相比10元上漲了（x﹣10）元，則月銷售量減少100（x﹣10）千克，列出函數關系式即可；（2）根據“利潤＝（售價﹣成本）×銷售量”，則月銷售利潤w為w＝（x﹣8）（﹣100x+1600）＝﹣100x2+2400x﹣12800，然后利用二次函數的性質即可求解．【詳解】解：（1）設每千克臍橙的售價為x元，那么相比10元上漲了（x﹣10）元，則月銷售量減少100（x﹣10）千克，∴y＝600﹣100（x﹣10）＝﹣100x+1600；（2）由每千克臍橙的成本為8元，售價為x元，月銷售量為y＝﹣100x+1600件，月銷售利潤w為w＝（x﹣8）（﹣100x+1600）＝﹣100x2+2400x﹣12800，∵a＝﹣100＜0，∴該函數圖象開口向下，存在最大值，當x=?b2a=12，可得最大利潤，最大利潤為w答：月銷售利潤w存在最大值，最大值為1600元，此時x的值為12．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的應用，掌握知識點的應用是解題的關鍵．24．在矩形ABCD中，點E為射線BC上一動點，連接AE．（1）當點E在BC邊上時，將△ABE沿AE翻折，使點B恰好落在對角線BD上點F處，AE交BD于點G．①如圖1，若BC=3AB，求∠AFD②如圖2，當AB＝4，且EF＝EC時，求BC的長．（2）在②所得矩形ABCD中，將矩形ABCD沿AE進行翻折，點C的對應點為C'，當點E，C'，D三點共線時，求BE的長．【答案】（1）①120°；②42；（2）42+4或42?4或4【分析】（1）①由矩形的性質和銳角三角函數定義得∠ABD＝60°，再由折疊的性質得AF＝AB，則△ABF是等邊三角形，即可得出結論；②由折疊的性質得BF⊥AE，EF＝EB，則BC＝2BE，再證△ABE∽△BCD，即可解決問題；（2）分三種情況，a、證△CDE≌△B'AD（AAS），得DE＝AD＝42，再由勾股定理得CE＝4，即可解決問題；b、證∠DAE＝∠AED，得DE＝AD＝42，再由勾股定理等CE＝4，即可得出結論；c、E與C重合時，BE＝BC＝42．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC=3AB∴AD=3AB∴tan∠ABD=AD∴∠ABD＝60°，由折疊的性質得：AF＝AB，∴△ABF是等邊三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折疊的性質得：BF⊥AE，EF＝EB，∴∠BGE＝90°，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE＝∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴ABBC=BE解得：BC＝42（負值已舍去），即BC的長為42；（2）當點E，C'，D三點共線時，分三種情況：a、如圖3，由②可知，BC＝42，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝42，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折疊的性質得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝42，∴CE=D∴BE＝BC+CE＝42+b、如圖4，由折疊的性質得：∠AEC'＝∠AEC，∵∠BEC'＝∠DEC，∴∠AEB＝∠AED，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，∴∠DAE＝∠AED，∴DE＝AD＝42，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=