數學每周好題精選

1.已知集合A={(x,y)|2%+y=。},5={(%,y)|x+my+1=O},若AIB=0,則實數

m=()

A.-2B.--C.-D.2

22

2.已知i為虛數單位，則二±^-=（

)

（l-2i）i

74.74.「47.47

AA.——i——inB.-------1D.---i

55555555

3.設xeR,則“爐一2工＜0”是“|x-1|＜2"的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

J］。

4.已知sina+2cosa-,則tan2a=（）

4334

A.-B.-C.--D.--

3443

_uuuuunumuum

5.已知￡＞是445。所在平面內一點，且滿足40）=0,則△^。是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

6.已知三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZABC=-,SB=4,SC=2屈,AB=2,BC=6,

2

則三棱錐S-ABC的體積是（）

A.4B.6C.4A/3D.6上

7.一車間為規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得

的數據如下：

加工零件數x/個2345

加工時長y/min26a4954

根據上表可得回歸方程$=9.4x+9.1,則實數，為（）

A.37.3B.38C.39D.39.5

8.如圖是函數4%）的圖象，/（%）的解析式可能是（）

D-/W=--7---

9.如圖，四棱柱ABCD-AB]G2中，四邊形A3CE)為平行四邊形，E,尸分別在線段DB,

10.已知函數〃x)=lnx+上的定義域與值域均為[a,切，且a>0,則左的取值范圍是()

A.(0,1)B.(l,+oo)cUD.^-,+00^

11.已知雙曲線尤2-度2=1(根>0)的兩條漸近線分別與拋物線丁=?的準線交于點

A,8,0為坐標原點，若△AO3的面積為1,則m的值為()

A.lB.A/2C.2D.2A/2

12.若函數/(x)=6sin(2x+e)+cos(2x+e)是偶函數，則。的最小正實數值是()

A.-B.-C.—D.—

6336

13.(3%-1)-”的展開式中的常數項為.

14.若函數〃尤)=lnx-2a尤的圖象上存在與直線2x+y=0垂直的切線，則實數a的取值范

圍是.

15.在A4BC中，內角A,3,C所對的邊分別為a",c,ZB=30°,c=2』,b=2,貝!J

△ABC的面積是.

16.已知直線工-7^+8=0和圓熊+y=/&>0)相交于48兩點.若?明=6,則廠的值

為.

17.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交

通，一組分發宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為

18.若數列｛%｝的前"項和為名,4Sn=5an-5,數列也｝滿足2=。5%.

⑴求數列｛6｝,也｝的通項公式;

(2)設％=^—,數列｛g｝的前〃項和為7；,證明：Tn<l.

她+i

19.已知函數/(x)=2\/3sinxcosx—2cos2x+l(xeR).

(1)求函數/(X)的最小正周期及在區間0,y上的最大值和最小值;

(2)若=t，xoG0,y,求cos2%。的值.

22

20.已知橢圓E:二+1=l(a>6>0)的右焦點(2,0),且E經過點(0,2).

ab

⑴求橢圓E的方程及離心率.

(2)若直線y=Ax+m與橢圓E相切于點P，與直線x=T相交于點。.問x軸上是否存在定

點使若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

答案以及解析

1.答案：c

解析：因為412=0,所以直線2x+y=0與直線尤+〃9+1=0平行，所以=故選C.

2.答案：A

2+3i2+3i<2+3i)(2-i)_74.

解析:(l-2i)i-2+i(2+i)(2-i)-5不.故選A.

3.答案：A

解析：解不等式f_2x<0得0<x<2,解不等式|尤-1|<2得所以

是“卜-1|<2"的充分不必要條件.故選A.

4.答案：C

解析：因為sina+2cos0,所以sir?a+4cos2a+4sinacosa+COS。a),

3

整理得3sirj2a-3cos2a-8sinacosa=0,則—3cos2a=4sin2a，故tan2a=——.故選C.

4

5.答案：A

LUJUUUULHUULUUUUUULIUUULH1UUULIUUL

解析：(8C—G4)—(2。-AO)=(j3C—G4>5A=0,所以BC-3A=CA-BA.設BC=a,

AC=b,所以acos3=6cosA,利用余弦定理化簡得〃=廿，即.=萬，所以△ABC是等

腰三角形.故選A.

6.答案：C

解析：由ZA5C=P,AB=2,BC=6,得AC=2瓦.由NSA5=巴，AB=2,SB=4,

22

得&4=20，貝S4?+AC?=sc?,得&4_LAC,又&4_LAB,所以SA_L平面ABC.所以三

棱錐S—ABC的體積為!54.廠54=3'；、2X6、26=4』.故選C.

7.答案：C

解析：根據題意可得；=出產=3.5'肥26+^49+54=中,又回歸直線過

129+a

中心點所以=9.4x35+9.1,解得a=39.故選C.

4

8.答案：C

解析：由圖象可知，/(0)=0,排除D；當x=2時，/⑵>0,排除B；又x=-g時,

若…言,則小｝&<0,

排除A.故選C.

9.答案：B

解析：由題知EFPBR,平面AD2A尸平面BCGU?因為G在CG上且平面AEFP平面

BD.G,所以A尸尸BG,所以竺=里=」.故選B.

'eqDDt3

10.答案：B

解析：〃x)=lnx+k在(0,+oo)上單調遞增，故[[：)=：，所以〃元)=》在(。，+00)上有

[f(b)=b

1V—1

兩個不同的解，左二九-ln九.令g(%)=x-lnx,則7(%)=1——=------，所以g(x)在(0,1)上

XX

單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，所以左＞g6=l,故選B.

11.答案：A

解析：雙曲線爐—切2=1(加＞0)的漸近線方程為％±詬＞=0,拋物線丁=4%的準線方程

x=-1

%+而y=°,可得./

為％=-1.聯立方程得y/m，不妨令AT，,同理

x=-ly=—

m

B—1,—,則|^^由ZAOS=1|AB|xl=l,即Y^=l,求得%=1.故選A.

、m)m2m

12.答案：B

解析：/(%)=/sin(2x+6)+cos(2x+6)=2sin]2%+6+6).因為/(%)為偶函數，所以

^+―=fai+—(Z:GZ),解得6=E+4(％GZ).當k=0時，。取得最小正實數值二.故選B.

6233

13.答案：31

解析：的展開式的通項刀+I=(T)「251C5T,則(3x-1)(：-1]的展開式中的

常數項為3x(-1)4x2]xC；-(-1)，x2。xC；=31.

14.答案：(―5+8)

解析：f(x)=]nx-2ax=＞f\x)=--2a，因為/(%)的圖象上存在與直線2%+y=。垂直的

x

切線，所以切線的斜率為工，所以尸(x)=L-2a=工在(0,+8)上有解，即2a=L-工在

2x2x2

(0,+8)上有解.因為工一工＞—工，所以2〃＞一!，得

v7x2224

15.答案：石或2拓

解析：根據正弦定理得上=^,得sinC=^2='三■=走，.?.NC=60。或

sinBsinCb22

120°,二NA=90。或30。，則的面積S=』6csinA=V5或2指.

2

16.答案：5

解析：依題意得，圓心(0,0)到直線x-也y+8=0的距離d=|=4,因此

r2=d2+fA；1=25,Xr>0,所以廠=5.

17.答案：—

20

解析：將6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣

傳資料的基本事件總數為C：=20(種)，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組

的基本事件有C；C；+C；C；+C；=9(種)，故所求概率尸=總.

18.解析：⑴Q4szi=54-5,.?.44=54—5,at=5.

當〃…2時，4S〃_i=5an_x—5,/.4an=5an-5an_］,

=5〃“_i?

｛凡｝是以5為首項，5為公比的等比數歹U,

n

/.bn=log55=n.

1j___1_

(2)由(1)知c〃=

n(n+1)nn+1

1

=1一------<1.

n+\

19.解析：⑴由/(%)=2Gsin%cos%-2cos之尤+1,

得/(%)=^3(2sin%cos%)-(2cos2x-1)=百sin2x-cos2x=2sin,

所以函數/(%)的最小正周期為兀.

易知/(x)=2sin-烏］在區間Jo,0上單調遞增，在區間仁，@］上單調遞減,

又/（0）=-1，噌b2,/lyU-1，

4314石-3

=-x—x—

552