點到直線的距離

一、教材分析

1.教學內容

《點到直線的距離》是全日制普通高級中學教科書（必修?人民教育出版社）

第二冊（上），“§7.3兩條直線的位置關系”的第四節課，主要內容是點到直線

的距離公式的推導過程和公式應用.

2.地位與作用

本節對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了

高中解析幾何的定量計算，其學習平臺是學生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線

方程和兩條直線的位置關系等相關知識.對本節的研究，為以后直線與圓的位置

關系和圓錐曲線的進一步學習，奠定了基礎，具有承上啟下的重要作用.

二、目標分析

1.學情分析

我校高二年級學生已掌握了三角函數、平面向量等有關知識，具備了一定的

利用代數方法研究幾何問題的能力.我班學生基礎知識比較扎實、思維較活躍，

但處理抽象問題的能力還有待進一步提高.

2.教學目標

根據新課程標準的理念以及前面對教材、學情的分析，我制定了如下教學目

標.

【知識技能】

（1）理解點到直線的距離公式的推導過程;

⑵掌握點到直線的距離公式；

⑶掌握點到直線的距離公式的應用.

【數學思考】

⑴通過探索點到直線的距離公式的推導過程，滲透算法的思想；

⑵通過自學教材上利用直角三角形的面積公式的推導過程，培養學生的數學

閱讀能力；

⑶通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力.

【解決問題】

由探索點到直線的距離，推廣到探索點到直線的距離的過程中，使學生體會

由特殊到一般、從具體到抽象的數學研究方法，并使學生在經歷反饋練習的過程

中，進一步提高靈活運用公式，解決問題的能力.

【情感態度】

結合現實模型，將教材知識和實際生活聯系起來，使學生感受數學的實用性,

有效激發學習興趣.

3.教學重點、難點

為更好地完成教學目標，本課教學重點設置為：

【重點】

⑴點到直線的距離公式的推導思路分析；

⑵點到直線的距離公式的應用.

【難點】

點到直線的距離公式的推導思路和算法分析.

【難點突破】

本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略.利用類比歸

納的思想，由淺入深，讓學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同算法思路.同

時，借助于多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過逐步深入的課堂練習，師

生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點.

三、教學方法

根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，本課采用類比發現式教學模

式.從學生熟知的實際生活背景出發，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂

教學方式，引導學生探索點到直線的距離的求法.讓學生在合作交流、共同探討

的氛圍中，認識公式的推導過程及知識的運用，進一步提高學生幾何問題代數化

的數學能力.

四、過程設計

結合教材知識內容和教學目標，本課分為以下四個教學環節.

創設橫強

（2分鐘）

課堂小站

（2分鐘）

環節1創設情境

在教學環節1中，以學生熟知的地質勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全

距離等生活圖片的欣賞，以及一個具體實例：當火車在高速行駛時，如果旅客離

鐵軌中心的距離小于的安全距離時，就可能被吸入車輪下而發生危險.創設情景,

讓學生直觀感受幾何要素一一“點到直線的距離”，從而有效調動學生的學習興趣.

（設計意圖：以學生熟悉的實際生活為教學背景，引入新課，有效調動學生的

學習興趣.）

那么“應該如何求點到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學進入環節2.

環節2點到直線的距離公式的推導過程

首先，由學生回答，初中有關“點到直線的距離”的定義：過點作直線的垂

線，垂足為點，線段的長度叫做點到直線的距離.

（設計意圖：引導學生復習舊知，為新課的學習打下基礎.）

接著，師生共同探討如何求點到直線的距離.由于點和直線處在一般位置，

所以公式的推導過程含有字母運算，比較抽象.為幫助學生更好地理解，可以補

充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊.

問題1如何求點到直線的距離？

補充的問題1,由于點和直線的位置非常特殊，所以學生容易回答，應該鼓

勵學生利用多種解法解決本問.

方法①利用定義

由于本課之前，學生已掌握了兩條直線交點的求法等知識，所以容易通過定義,

將點到直線的距離，轉化為點、垂足兩點之間距離來解決.

解：過點作的垂線，設垂足為

方法②利用直角三角形的面積公式

結合圖形，學生也能利用面積構造法來解決，這一方法的難點是如何添作輔

助線.教學時給予提示：由垂直條件，可以聯想到三角形的高或直角三角形等相

關知識.

解：過點作的垂線，交點為點在Rt

方法③利用三角函數

根據定義作出圖象后，由于涉及到Rt和直線傾斜角，學生容易聯想利用三角

函數知識解決問題.

解：過點作的垂線，垂足為

方法④利用函數的思想

在初中，學生已初步認識了點到直線的距離的幾何特征：連接直線外一點與

直線上任意點，所得線段中垂線段最短.以此為背景，學生可能通過函數的思想

來解決.

解：設直線上的點，則

.?明=+劣；=J1-4/+4+/=&%-1尸+22-J2.

當時，取得等號，即此時點

對于問題1,學生可能提供的解法不完全，我要引導學生補充完整.改變點和

直線的位置，引出補充問題2.

問題2如何求點到直線的距離？

組織學生類比問題1,獨立思考本問的解決方法.在課堂上只要求學生說明解

法思路，而不要求解題過程.

(設計意圖：為了推導點到直線的距離公式，學生會面臨比較抽象的字母運

算.通過補充兩個由淺入深的具體問題，使學生能夠類比思考，解決當點和直線

處在一般位置時，點到直線的距離的求法.)

在解決問題1、2的基礎上，將點和直線的位置推廣到一般情況，進一步提出

問題3.

問題3如何求點到直線()的距離？

方法①利用定義的推導方法

通過前面兩個補充問題，學生已經積累了一些求點到直線距離的經驗和方法,

學生可能會類比考慮利用定義，將點到直線的距離轉化為點與垂足，兩點之間距

離來處理.這種方法雖然思路自然，但運算較繁瑣，所以只要求學生結合教材，

說明算法步驟、明確算法框圖，而不要求推導過程.盡管在前面的學習中，學生

已掌握了兩條直線垂直的充要條件，但學生仍然可能忽略，這一前提條件，而直

接得到與垂直直線的斜率為.我要加以糾正，并強調對于的特殊情況，可以結合

圖象直接得出結論，所以在算法中暫不考慮.

方法②利用直角三角形的面積公式的的推導方法

學生也可能類比補充問題1、2中，添作輔助線的方式，構造直角三角形，通

過面積構造法解決問題.對于這種方法，由于教材已經給出了推導過程，所以學

生代表可以只說明算法步驟.與傳統教材相比，新教材更關注學生思維能力的培

養，淡化形式、注重實質.由于新教材刪減了一些同角三角函數的基本關系式，

所以舊教材利用三角函數的方法推導公式就顯得繁雜，教科書選擇的借助直角三

角形的面積公式推導公式的方法，簡潔、明了.所以，可以讓學生根據算法框圖，

自學教材的推導過程，培養學生的數學閱讀能力.在此過程中，應該提醒學生注

意Rt三邊邊長的求法.

方法③利用平面向量的推導方法

由于在前面直線方程的學習中，教材引入了直線方向向量的概念，并運用了

向量的有關知識討論直線的一些問題.所以我班部分思維能力較強的學生，可能

會提出利用向量知識推導公式，我要給予肯定.盡管這種方法具有一定難度，但

根據我班學生思維能力較強的特點，可以先引導學生復習向量有關知識，使學生

明確向量數量積的兩種表示方式及其幾何意義，再結合圖象，師生互動，共同討

論得出，利用向量數量積推導公式的算法步驟、算法框圖.在這一過程中，學生

可能會遇到，無法表示與直線垂直的向量的坐標的困難，我給予提示：可以借助

于，向量與直線的方向向量互相垂直的充要條件來解決.對于這種方法的具體推

導過程，要求學生課后，在自學教材閱讀材料“向量與直線”的基礎上，作為思

考作業完成.這種利用向量的算法，為今后在立體幾何中，利用這種方法得到點

到平面的距離公式奠定了基礎.

（設計意圖：在點到直線的距離公式的推導過程中，通過問題獲得知識，讓

學生經歷”發現問題一一提出問題一一解決問題”的過程，使學生感受到用坐標

的方法研究幾何問題是一種重要的數學方法.由于點和直線處在一般位置，所以

公式的推導中會涉及字母運算，比較抽象.為幫助學生理清思路，在教學中強調

了算法的思想，讓學生在明確算法步驟和算法框圖的前提下，再進行有效的公式

證明和自學閱讀.）

點到直線的距離公式

點到直線（其中）的距離

在學生通過多種方法推導得出公式后，引導學生根據公式的形式特點，記憶

公式.同時強調：當時，公式仍然適用，也可以結合圖象直接求出結論.

在此基礎上，要求學生利用公式計算補充問題1、2,并與前面的計算結果進

行比較，前后呼應，使學生體會運用公式計算的簡便性.點到直線的距離公式的

應用是本課的一個重點，為了強化學生對公式的記憶和運用，教學進入環節3.

環節3點到直線的距離公式的應用

在本環節，我安排了三個典型例題.其中例1是引用教材，由于例題中所給

直線的方程已經是一般式，所以學生容易忽略運用公式的前提：首先應將直線方

程化為一般式，在確定了系數的值之后，再代入公式進行計算.這一點對于直線

方程中含參數的問題尤為重要.為了強調運用公式的這一前提條件，我在例1中

補充設置了⑶、⑷兩個小問.

例1求點到下列直線的距離：

⑴⑵

⑶(4)

（設計意圖：通過例題練習，強化學生對公式的記憶和應用.同時，“代入公式

計算前，首先應將直線方程化為一般式，以便確定系數的值”是學生在應用公式

中，容易忽略的環節.將這一薄弱環節設置在補充例題中，使學生在“錯誤體驗”

加深記憶，以期達到強化訓練的目的.）

在解決了例1的基礎上，由淺入深，補充了直線方程含有參數的例2,進一步

提高學生靈活運用公式的能力.

例2⑴已知點到直線的距離為，求的值；

⑵已知點到直線的距離為，求的值.

由于例2的兩個問題中，直線方程所含參數都具有明顯的幾何意義：一個表

示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距.所以解出參數的值后，在“幾何

畫板”中，以數學實驗的形式，通過度量進行操作確認.其中⑴隨直線的不斷變

化，學生可觀察點到直線距離的度量值、直線斜率的度量值的變化趨勢.當時，

可發現此時兩條直線的斜率的度量值，與計算結果吻合.同時，度量出，說明點

落在兩條直線所成角的角平分線上（如圖1）;在⑵中，學生可觀察點到直線距離

的度量值、直線在軸上截距的變化趨勢.當時，直線在軸上的截距的度量值，也

與計算結果吻合（如圖2）.本例既考察了學生對公式的掌握情況，又為下節課對

稱問題和直線系的研究設下伏筆，并由問題⑵中兩平行線間距離為，引出教材的

例題.

圖圖2

（設計意圖：點到直線距離公式的應用，是本課的一個重點內容.在例1的

基礎上，增補直線方程含有參數的例2,進一步提高學生靈活運用公式的能力.在

幾何畫板的軟件平臺中，通過數學實驗，讓學生感受在利用代數方法研究幾何問

題后，再回歸幾何本身的重要性.）

例3求平行線和的距離.

教材上采用了類比化歸的思想，將兩平行直線之間的距離，轉化為點到直線

的距離來解決問題.由于兩平行線間的距離處處相等，所以教材選擇了一條直線

上的特殊點，便于簡化計算.學生可能會提出如果在直線上任選一點能否得到這

兩條平行線之間的距離的問題，由此引出了教材的習題15.根據課堂剩余時間，

此題作為機動練習.

此時，本課教學任務已基本完成，為進一步鞏固知識，教學進入環節4.

（設計意圖：緊扣教材，讓學生體會類比化歸的思想方法，同時，為課后作業

中推導兩平行線之間的距離公式，設下伏筆.）

環節4課堂總結

由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明.

⑴點到直線的距離公式的推導中不同的算法思路；

⑵點到直線的距離公式；

⑶點到直線的距離公式的應用前提條件.

（設計意圖：通過小結，使學生本節所學的知識系統化、條理化，進一步鞏固

知識，明確方法.）

課后作業

①在自學教材閱讀材料“向量與直線”后，利用向量的方法證明點到直線的距

離公式;

②教材13、14、16

板書設計

課麴；點到直姨的距禺㈠公式推導過程

1.同邕1如何求點尸⑵。）到直線x->=0的柜離？

到仁立的延恭盤

2.問航工如何求點尸（42）到直線2x-_y+2=°的距離？

?運用公式的注意點

3.問題3如何求點尸（而?。┑街本€—+的+C=°

的距離（<+爐工0）?

?保堂小結

方法①利用定義的算法框圖

方法②利用直角三角形的面積公式的璋法椎圖

方法③利用平面向量的算法椎圖

仁）典型例壽

例1例2例3