2025年高考數學押題預測卷01數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共小題，每小題分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】集合，又，所以.故選：B2.已知，，且與互相垂直，則向量與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題設，，，所以，即向量與的夾角為.故選：C3.若拋物線的準線為直線，則截圓所得的弦長為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】拋物線的準線方程為，圓的圓心為原點，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，截圓所得的弦長為，故選：A.4.某校四個植樹小隊，在植樹節這天種下柏樹的棵數分別為10，x，10，若這組數據的中位數和平均數相等，那么（）A.6B.8C.6或10D.8或12【答案】D【解析】當時，將數據進行排列，得到，因為這組數據的中位數和平均數相等，所以，解得，當時，將數據進行排列，得到，因為這組數據的中位數和平均數相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當時，將數據進行排列，得到，因為這組數據的中位數和平均數相等，所以，解得，經檢驗，和均符合題意.故選：D5.在復平面內，復數（i為虛數單位）與點對應，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，故選：C．6.從公比不為1的正項等比數列的前8項中任取三項，則這3項能構成等比數列的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】從公比不為1的正項等比數列的前8項中任取三項，共有種取法，其中能構成等比數列的有，，，，，，，，，，，，共12種取法，假設任取三項并能構成等比數列為事件A，所以．故選：B．7.已知正四棱臺的上、下底面積分別為2，8，當正四棱臺的外接球的體積最小時，該四棱臺的側面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設該正四棱臺上，下底面的中心分別為，設該正四棱臺的高為，外接球半徑為，連接，則該正四棱臺的外接球的球心在上，記為，因為上、下底面積分別為2，8，故上下底面的邊長分別為，故上下底面的對角線的分別為，因為，當且僅當與重合時，等號成立，所以，此時四棱臺的高，該四棱臺的側面的斜高，所以側面積．故選：D.8.已知定義在上的函數滿足：為奇函數，且，若，則正整數的最小值為（）A.17B.19C.21D.23【答案】B【解析】由，則，所以，即是周期為8的函數，由為奇函數，則，則，所以，即是偶函數，由，則，結合周期性，對于，依次為，所以是周期為4的函數，則，，，，，，綜上，易知時，，時，.所以正整數的最小值為19.故選：B二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯的得分．9.函數，則下列關于的說法中正確的是（）A.最小正周期是B.最大值是2C.是區間上的減函數D.圖象關于點中心對稱【答案】AC【解析】，則的最小正周期是，故選項A正確；由三角函數的性質可知，即的最大值是，故選項B錯誤；時，，因為在上單調遞減，故是區間上的減函數，故選項C正確；令，解得，故的圖象的對稱中心為，，令得，所以的圖象不關于點中心對稱，故選項D錯誤.故選：AC10.已知函數在上是增函數，在上是減函數，且方程有實數根，，，則（）A.B.C.D.的最小值為5【答案】ABD【解析】由得，因為在上是增函數，在上是減函數，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數根，它們分別是，，2，所以，所以，且，所以，則，所以，因為，所以，所以的最小值是5，故選：ABD11.設為數列的前n項的積，，則（）A.當時，B.若，則C.若，則為常數列D.若數列為等差數列，則或【答案】ACD【解析】對于選項A：當時，由，選項A正確；對于選項B:由時，，可得，可得時，，代入，有，可得，故B選項錯誤；對于選項C:當時，，所以，因為，所以，所以為常數列，故選項C正確；對于選項D：，若數列為等差數列，則為常數，①若，則恒成立，即恒成立，所以；②若，則，所以解得所以或，故選項D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共小題，每小題分，共分．12.設隨機變量，若，則__________.【答案】【解析】由題意，，所以，解得.故答案為：13.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.【答案】##【解析】設，則，設切點為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：14.已知點M是橢圓上的一點，，分別是C的左、右焦點，且，點N在的平分線上，O為原點，，，則C的離心率為__________.【答案】【解析】設，，延長ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點，∴點A為中點.又，點N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得：.又，所以，所以，即故答案為：四、解答題：本題共小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點，，，求的周長.【答案】（1）2（2）【解析】（1）由題意，得則所以因為在中，，所以.（2）在和分別利用余弦定理，可得.所以又由余弦定理，得，所以因此所以的周長為.16.投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分；獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分.（1）設投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；（2）設最終得分為的概率為，證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式.（提示：請結合數列的遞推關系求解）【答案】（1）分布列見答案，數學期望（2）證明見答案，.【解析】（1）由題意投擲1次骰子得分概率為，投擲1次骰子得分的概率為，由題意的可能取值為2，3，4，，，，故的分布列為：234數學期望.（2）由題意知，故，且，，，故是以為首項，為公比的等比數列，故，∴當時，，當時，上式也成立，綜上：.17.如圖，在五棱錐中，平面平面，．（1）證明：平面；（2）若四邊形為矩形，且，．當直線與平面所成的角最小時，求三棱錐體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）因為平面平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為，且平面，所以平面；（2）以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，設，則，可得與軸夾角為，所以，，，，平面的法向量記為，由，得，令，得，，即，當時，等號成立，此時，直線與平面的所成的角取得最小值，此時.18.已知雙曲線：（，）的右頂點，斜率為1的直線交于、兩點，且中點.（1）求雙曲線的方程；（2）證明：為直角三角形；（3）經過點且斜率不為零的直線與雙曲線的兩支分別交于點，.若點是點關于軸的對稱點，試問，不論直線的斜率如何變化，直線是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）過定點，坐標為.【解析】（1）設，，則，，∵，兩點在雙曲線上，∴，由①－②得，即，∴，∴，即，∴，又∵，∴，∴雙曲線的方程為：；（2）由已知可得，直線的方程為：，即，聯立，，則，，∵，∴，∴為直角三角形；（3）設方程為，，聯立直線與的方程，消去得，因為直線與的兩支分別交于點，，設，，所以，得，則，，，因為，所以直線的方程為，由對稱性可知，若直線過定點，則定點在軸上，在直線的方程中，令，得所以直線過定點，定點坐標為.19.已知函數.（1）當時，判斷函數的單調性；（2）對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍；（3）記，若，且，求證：.（參考公式：）【答案】（1）在上為增函數（2）（3）證明見解析【解析】（1）當時，，則，令，則，令，得到，當時，，即在區間上單調遞減，當時，，即在區間上單調遞增，所以，則，所以在上單調遞增.（