高一必修第二冊數學練習3

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.如圖在梯形ABC。中，BC=2AD,DE=EC,設瓦5=

a,BC=b>則說=（）8

A.一+笆

B.2笆

C.la+^b

D.折+部

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查的是向量的運算以及平面向量基本定理的應用，屬于基礎題，難度不大.

本題利用三角形法則，將所求向量通過轉化最后用已知向量表示出來即可.

【解答】

解：取8C中點廣，連接FA,

因為在梯形44C。中，BC=2AD,所以四邊形AQC尸是平行四邊形，

所以尸A//CD,FA=CD,

則屁=BC+CE=BC+癖=BC+^FA

=JC+\（BA-BF）=BC+\（BA-^BC）

=-BA+-BC=-a-]--b,

2424

故選。.

2.設向量五=(0,2),『=(2,2)，則()

A.|a|=\b\B.(a-b)//5

C.N與了的夾角為gD.(a-b)La

【答案】D

【解析】

【分析】

木題考查向最的坐標運算.向晟的模以及向最平行與垂直的判斷，屬于基礎題.

根據題意，由向量的坐標，依次分析選項，即可判斷.

【解答】

解：根據題意向量4=(0,2),方=(2,2)，

對于A,v|a|=VO24-22=2?\b\=V22+22=2V2>

|五|制司,故A錯誤；

對于3，???五一B=(-2,0)，b=(2,2)，且(-2)x24Ox2,

??.W—方與方不平行，故4錯誤；

對于C,cos石>=品=表=￥，

v<a,b>G

-<a,b>=%故。錯誤：

4

對于。，va—S=(—2,0),(a—b)?a=(-2)x0+0x2=0>

(a-5)1故。正確.

故選：D.

3.如圖甲，在△ABC中，AB=BC=2,LABC=120°,。為AC的中點，E為A8上

一點，且滿足屁?通=0,將沿OE翻折得到宜二面角A-DE-氏連接

AC,產是4r的中點，連接區凡BD,OF(如圖乙所示)，則下列結論正確的是()

甲乙

A.AD1BD

B.8打//平面人QE

C.D4與平面AM所成角的正切值是四

D.三棱錐8-FDC的體積為出

8

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查簡單多面體及其結構特征，考查空間中直線與直線的位置關系，考查線面平行

的判定，考查棱錐的休積計算，考查空間思維能力，屬于較難題.

由題，利用多面體及其結構特征，分別對選項進行分析討論，求證其正確性，即可求解

得到答案.

【解答】

解：如圖甲，???A8=BC=2,/-ABC=120°,

在折疊前的團ABC中，取。。的中點G,連接BD,BG,

由余弦定理可得力C=2乃，^DAE=30

???。為AC的中點，

AD=DC=瓜.BD1AC,BD=1,

??瓦?彳5=0今DELAB，

在RtA/lOE中，0￡=老,力￡=三，故EB=：.

222

f1?瓜

在RtZkBDG中，DG63,

~2~

tanZ.ADEtan60=\/3,

：.￡BGD十乙;IDE今BG與OE不平行.

?；DELAB,將△/DE沿。石翻折，得到直二面角/-DE-氏如圖乙,

/.AE±DE.EBA.DE,

AEAEB=E,AE,￡8u平面AE8,

DE1平面AEB,Z.AEB=90

對于A選項，AB2=AE2+EB2=AD=V3,FD=1，

C.數據2,3,4,5；數據4,6,8,10是數據2,3,4,5的2倍?，

則前一組的方差是后一組的四分之一，故C錯誤；

。.頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，故。錯誤.

故選B

5.某校為了解高三年級學生在線學習情況，統計了2020年4月18日?27日（共10天

）學生在線學習人數及其增長比例數據，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合

圖.

1400—60.0%

1200-----------------------------------------------------------------=-IT-

50.0%

40.0%

30.0%

20.0%

10.0%

0.0%

”18日19日20日21日22日23日24日25日26日27日

匚=）住線人數一在線人數增長比例

根據組合圖判斷，卜.列結論正確的是（）

A.這10天學生在線學習人數的增長比例在逐日減小

B.前5大在線學習人數的萬差大于后5大在線學習人數的方差

C.這10天學生在線學習人數在逐日增加

D.前5天在線學習人數增長比例的極差大于后5天在線學習人數增長比例的極差

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查統計圖表等基礎知識，屬基礎題.

直接根據統計圖表逐項分析即可得到結論.

【解答】

解：根據統計圖表可知.

對于A,由折線圖很明顯，23-24的增長比例在下降，故A錯誤；

對于從由柱狀圖可得前5天學習人數的變化幅度明顯比后5天的小，故方差也小，故

3錯誤;

對于C，由柱狀圖，可得學習人數在逐日增加，故C正確；

對于。，前5天增長比例的極差小于后5天增長比例的極差，故。錯誤，

故選C.

6.甲、乙、丙、丁四名同學在某次軍訓射擊測試中，各射擊10次.四人測試成績對

應的條形圖如圖：

10頻率1010頻率

O9O?9O?9

O8O?8O?8

OO?7O?7

7??

O6O?6O?6

O5O?5O?5

O4O?4O?4

O3O?3O?3

OO2

O2?2?

OO1O1

1??

O

012345678環數12345678環數

乙丙

以下關于這四名同學射擊成績的數字特征判斷不正確的是()

A.平均數相同B.中位數相同

C.眾數不完全相同D.方差最大的是丁

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查眾數、中位數、平均數，考查方差，考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.

根據條形統計圖的數據特征求解即可.

【解答】

解：由條形圖可知，四名同學測試成績對應的條形圖均關于5環對稱，

所以平均數均為5,中位數為5,故A,B正確,

甲的眾數為4和6,乙的眾數為5,閃的眾數為3和7,丁的眾數為4和6,故C正魂,

s2vx[(5-4尸x5+(6-5尸x5]=1,

s5=Zx[(5-4產x3+(5-5)2x4+(6—5)2x3]=0.6,

乙10

st=~X[(5-3)2x3+(5-4)2+(5—5)2x2+(6-5)2+(7-5)2x3]=2.6,

內10

Sj/X[(5-2)2+(5—4)2x3+(5—5)2x2+(6—5)2x3+(8-5)2]=2.4,

所以丙的射擊成績的方差最大，故。不正確,

故選D.

7.圍棋起源于中國，據先秦典籍世本》記載：“堯造圍棋，丹

朱善之”，至今已有四千多年歷史.圍棋不僅能抒發意境、陶

冶情操、修身養性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、

治國安邦等相關聯,蘊含著中華文化的豐富內涵在某次國際

圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽.比賽采取五局三勝制，即先勝三局的一方

獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為|,且各局比賽的勝負互

不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為()

AiB.白C.^D,^

9272781

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查互斥事件、相互獨立事件同時發生的概率以及〃次獨立重復試驗，屬于中檔題:

設甲以30獲勝為事件A,甲以3:1獲勝為事件件則A，B互斥,分別求出P(A)和P(8),

再由P(4+8)=P⑷+P(B)即可求解；

【解答】

解：設甲以3:0獲勝為事件A,甲以3:1獲勝為事件從則A,4互斥，

且。(4)=守=卷，。(8)=潞)2.*4

所以P(4+8)=卷+盤=果

故選C.

8.拋擲兩顆骰子，所得點數之和X是一個隨機變量，則P(XW4)等于()

A.；B.；C.；D.；

63N3

【答案】A

【解^析】

【分析】

本題考查古典概型的計算，解本題時注意理解尸(XW4)的意義，其次注意結合互斥事件

概率的加法公式，進行解題.根據題意，首先分析P(XW4),其意義為拋擲兩顆骰子，

所得的點數之和小于等于4的概率;進而分為3個互斥事件,即X=2,X=3,(2,1),X=4,

由古典概型的公式可得其各自的概率，進而由互斥事件概率的加法公式，計算可得答案.

【解答】

解：根據題意，有P(XW4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).

拋擲兩顆骰子，按所得的點數共36個基本事件，

而X=2對應(1,1),X=3對應(1,2),(2,1),X=4對應(1,3),(3,1),(2,2),

故P(X=2)=\P(X=3)=2=MP(X=4)=^=\

所以P(X<4)=》十專十

oolo14o

故選A.

二、多選題(本大題共8小題，共40.0分)

9.已知，■為虛數單位，復數z滿足z(2-i)=i202。，則下列說法錯誤的是()

A.包:數z的模為:

B.復數z的共飩復數為一,一9

55

C.復數Z的虛部為9

D.復數z在復平面內對應的點在第一象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查虛數單位i的察運算的周期性，復數的四則運算，涉及復數的概念，復數的模,

共規復數，復數的代數表示及其幾何意義，屬于基礎題.

先由Z(2—i)=[2。2。計算出z=：+9,再根據選項判斷即可.

【解答】

解：z(2一…叫則怎=g=詔版1

???爪歷修邛故'錯'

復數Z的共規復數為：一3,故8錯；

復數Z的虛部為，，故C錯；

復數z在復平面內對應的點為在第一象限，故。止確.

故選ABC.

10.在四棱錐中，底面A8CD是正方形，P41.

底面ABC。,PA=AB,截面BOE與直線尸。平行，卜V\

與PA交于點、E,則下列判斷正確的是（）//‘"''lx.

A.￡為。4的中點；4二.....\?二；）|加

與所成的角為？

B.COJD於一二Q

C.BD1平面PAC

D.三棱錐C-BDE與四棱錐P-力BCD的體積之比等于1:4

【答案】ACD

【解^析】

【分析】

本題考查棱錐及其結構特征，考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關系，異面直

線所成角的求法，線面垂直的判定，棱錐體積的求法，屬于中檔題.

連接AC,交BD于點、O,可知。為8。，AC的中點，連接OE,根據線面平行的判定定

理判定4根據。8與C。所成的角即燈3與A/3所成的角，判定B;根據線面垂直的判定

定理判定C；根據三棱錐和四棱錐的體積計算公式分別求出其體積判定D.

【解答】

解：連接AC,交BD于點、O,則。為BD,AC的中點，連接OE,

因為截面BDE與直線尸C平行，

PCu平面PAC,平面P4Cn平面8DE=E。，

???PC//EO,。為4c中點，

即E為24的中點，故A正確；

因為底面ABC。是正方形，所以48〃C0,所以PB與CO所成的角即P8與A8所成的

角，又因為PAJ■底面48CQ,所以PAJ.4B,而PA=AB,所以P8與AB所成的角為￡

4

即PB與CD所成的角為一故B錯誤，

因為產力_L底面ABC。，BDcffiABCD,所以24_L80,乂因為底面A8CO是正方形，

所以4C_LB。，而4CnP4=/l,AC,PAu平面PAC,所以8。_L平面PAC,故C正確；

設24=>45=2,由題可知EA的距離即為三棱錐C-BDE的高，則三棱錐C-BDE的體

積為%-BDE=VE-BDC=^X1X2x2xl=p而四棱雛"—48。。的體積Vp-ABCD=gX

2x2x2=",

3

所以三棱錐C-BOE與四棱錐P-/1BCD的體積之比等于1:4,故D正確.

故選ACD.

11.如圖，在菱形A4CD中，AB=2,/.ABC=60°,M為4c的中點，將團ABM沿

直線4M翻折成回481M,連接8傳和8山，N為瓦。的中點，則在翻折過程中，下

列說法正確的是（）

A.AM1B、C

B.C7V的長不為定值

C.力名與CN的夾角為g

D.當三棱錐々-MM。的體積最大時，三楂錐&-力MO的外接球的表面積是127r

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查幾何體的翻折,可題，考行線面垂直的判定與性質，異面直線所成的角，空間中

的距離，球的表面積計算，考查空間想象能力，屬于中檔題.

對于A,由4Ml8C,且將△A8M沿直線AM翻折過程中力M1Bi”殉IM1CM的關系

不變即可判定；對于B，由面面平行的判定定理及AMlBi”可得EC1NF,運用勾股

定理計算即可判定；對于C,由NE〃/1當即可判定線線角，由此計算即可判定；由翻折

過程中，面力為M1面AMCO時三楂錐為-AM。的體積最大,可證明三角形為力。,81Mo

為直角三角形，利用N為當。的中點，可得N為三棱錐公-AMD的外接球的球心，可

求得半徑，即可求解.

【解答】

解:對于A,因為菱形ABC。中，|AB|=2,乙4"=60。，”為AC的中點，所以力M1BC,

將4ABM沿直線4M翻折成△AB.M,

則AM181MMM1CM,

因為&MnCM=M,

且BiMu面B、MC,CMc面B/C,

所以力M1面B'MC,又因為aCc而B\MC,

所以力MlBiC,故A正確；

圖1

取AD的中點為E,連接CE交MD于點片

因為N為回。的中點,則NE〃/叢，又NEC平面平面4BM,

所以NE〃平面.，1“小/,

又CE"AM,1-7?C平面U平面」1為“，則CE〃平面小壇”，

且NEC平面ENC.CEC平面EN「，NEcCE=E,

由面面平行的判定定理可得平面481M〃平面ENC,

乂平面/々Mn平面/乂。=B]M,平面ENCC平面/MO=NF,

所以N/7/BiM,

由4可得AMlBiM,所以ECINF,

又因為|N/|==%尸C|=g|4M|==’

所以|NC|=y/\NF\24-|FC|2=J：+：=1為定值，故B錯誤；

對于C,由4可得NE/"Bi，

所以/ENC或其補角即為力名與CN的夾角，

在AENC中，\EN\=^\ABV\=1,|EC|=|4M|=V5,\NC\=1,

所以cos/ENC="1一畫=

2X1X12

7T

所以AB1與CN的夾角為Q,故C正確：

對于。，因為在翻折過程中，△AM。始終不變，

又由A可得4M1B]M,所以將△48M沿直線AM翻折過程中，

當面力BiM1面AWCO時，三棱錐當-AMD的體積最大.

此時由面/4&Ml[gAMCD,

面ABiMn面AMCZ）=AM,AM1B}M,①"/C平面八e.1/

可得81M_1_面AMCD,又MOu面AMCD,

則々M1MD,即三角形&M。為直角三角形，又N為當0的中點，

貝ijNBi=ND=NM,

81Ml面AMCO,又AQu面人MC。，

則AD1B]M,

又因為MC〃4），所以4DJ.AM,

又AAfC平面BiMC平面.A歷M?AMn31M=M,

則AO1平,AB.C平面八氏M,

則ADJ.4/,即三角形8遇0為直角三角形，又N為反。的中點，

貝UN/=ND=NAf故NBi=ND=NA=NM,

故N為三棱錐Bi-力M。的外接球的球心，

所以反。即為三棱錐叢-4MD的外接球的直徑，

由|MD|=+|/Df=V3T4=V7，

可得|BiD|=J|BiM|2+|MD『=JIT7=2VL

所以三棱錐。L/IM。的外接球的半徑為近，表面積是8冗，故。錯誤.

故選AC.

12.某高中調查該校3000名學生每周平均參加體育鍛煉時間的情況，從高一、高二、

高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300名學生每周平均體育運

動時間的樣本數據〔單位：小時），整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列說

法正確的是（）

A.估計該校學生每周平均體育運動時間為5.8小時

B.仙計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數約為300人

C.估計該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分比為10%

D.估計該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數約為600人

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了分層拍樣以及用樣本估計總體和樣本平

均數的求法，屬于中檔題.

根據頻率分布直方圖中的數據，注意是按照4：3：3的比例分層抽樣，對選項逐一計算

并判斷即可.

【解答】

解?：4選項，由頻率分布直方圖可知，該校學生每周平均體育運動時間為：

x=(1x0.025+3x0.1+5x0.15+7x0.125+9x0.075+11x0.025)x2=5.8(

小時)，

所以A正確；

8選項，由頻率分布直方圖以及分層抽樣可知，

高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數約為：y=3000x^x(0.025+

0.1)x2=300(70，

所以8正確；

。選項，由頻率分布百方圖可知，該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的百分

比為：

(0.025+0.075)x2X100%=20%

所以C錯誤；

。選項,由卜述可知.該校學牛每周平均體育運動時間不少干8小時的百分比為20%

所以該校學生每周平均體育運動時間不少于8小時的人數約為3000x20%=600(人)，

所以。正確.

故選ABD.

三、單空題(本大題共6小題，共30.0分)

13.設復數z滿足|z|二l,且使得關于x的方程2*2+2d+3=0有實根，則這樣的復

數Z的和為.

【答案】4

【解析】解：設2=。+從，9/￡冗且。2+62=1),

則原方程z/+2zx+3=0變為(ax2+2ax+3)+(bx2—2bx)i=0,

所以a/+2a%+3=o,①且b/-2bx=0,@；

(1)若b=0,則Q2=I解得Q=±I,當Q=1時①無實數解，舍去；

從而Q=-l,%2+2%-3=0此時X=1或一3,故z=-1滿足條件；

(2)若b￥0,由②知，x=0或％=2,顯然％=0不滿足，故久=2,代入①得a=-也

匕二+運，所以z=—3+運i

-88-8

綜上滿足條件的所有復數的和為

_1十(_。十叵：)+(4_運')=，，

、887V8874

故答案為：一：.

4

設2=a+bi(a,bWR,。？+〃=1),得至ijax?+2。％+3=0①，hx2-2bx=0@,通

過討論求出小b的值，求出滿足條件的所有z,相加即可.

本題考查了復數的運算,考查分類討論思想，是一道常規題.

14.甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8

個紅球、2個白球。擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2,從甲箱子隨

機摸出一個球；如果點數為3,4,5,6,從乙箱子隨機摸出一個球。則摸出紅球

的概率為o

【答案】0.7

【解析】

【分析】

本題主要考查了獨立事件和互斥事件的概率知識，屬于基礎題.

事件“摸出紅球”可以分成“從甲中摸紅球”和“從乙中摸到紅球”兩個互斥事件之

和，而每個事件又是獨立事件同時發生，按照乘法即可計算.

【解答】

解：：

擲到I或2的概率為:=再從甲中摸到紅球的概率為。=

63102

故從甲中摸到紅球的概率為P1=2X?=g

OZO

*

擲到3,4,5,6的概率為:則再從乙中摸到紅球的概率為白

o31U□

故從乙中摸到紅球的概率為尸2=9X：=白

JDXO

綜上所述摸到紅球的概率為：

P=P1+P2=1+±=^=0.7.

故答案為0.7.

15.甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球顏色外

完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，則一次游戲摸出的白球不

少于2個的概率為.

【答案嗎

【解析】

【分析】

本題主要考查對立事件以及占典概型問題，屬于基礎題.

根據對立事件的概率公式進行求解即可.

【解答】

解：一次游戲摸出1個白球的概率為：警喀+樂要==9

一次游戲摸出。個白球的概率為：稱口=白'2=白

因此一次游戲摸出。個白球或1個白球的概率為：2+9二小

所以一次游戲摸出的白球不少于2個的概率為：1一（=*

故答案為:七

16.已知甲、乙兩組數可分別用圖(1)(2)表示，估計這兩組數的平均數的相對大小是

國甲______1乙,方差的相對大小是片,S%(填或"V"或“=”).

［頻數［頻數

66

55

33

22

1()203040"10203040”

(1)(2)

【答案】=

<

【解析】

【分析】本題考查平均數和方差的計算，屬于基礎題.

根據題中所給的數據，分別計算甲乙兩組數據的平均數和方差，再比較大小，即可得到

答案.

【解答】

解：=-(10x2+20x6+30x64-40x2)=25,

16

±(iox3+20x5+30x5+40x3)=25,

z2

s\=[[(10-25)2x2+(20-25)2x6+(30-25)x6+(40-25)x2]=75,

sl=^~[(10-25/x3+(20-25fx5+(30-25)2x5+(40-25)2x31=100,

乙16

腿甲=1乙，s甲<s乙.

五、解答題(本大題共12小題，共144.0分)

17.某產品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形，其可看作是由正方形S4DE和等腰梯

形48CQ拼成，已知AD〃BC,AD=2BC=2CD=2,在包裝的過程中，沿著AQ

將正方形SAQE折迅，直至SB1BD,得到多面體S/WCOEM,N分別為BD,SB

(1)證明：MN〃平面MOE；

(2)求四棱錐M-SADE的體積.

【答案】解：(1)證明：如圖，連接S。,

因為M,N分別為BO,SB中點,

所以MN為aSBO中位線，

所以MN//SD,

因為SDu平面加。￡,MN(t5??SADE,

所以MN〃平面SADE.

(2)如圖，取A。的中點G,連接BG,

因為71O//BC,AD=2BC=2DG,

所以BC〃0G,

所以四邊形BCDG為平行四邊形,

可知BG=)D,在△ABD中，有4

所以AB1BD,

又SBIB。，ABCSB=B,AB,SBu平面SAB,

所以BD_L平面SA6,

因為S/u平面SAB,所以90±SA,

四邊形SADE為正方形，所以S4J.AD,

ADQBD=D,AD,BDu平面ABCD,

所以S41平面ABCD,

因為S4u平面SADE,所以平面S40E1平面ABCD,

如圖，過點M作MH_LAD于點”，

因為平面S/WEn平面ABC。=AD,

所以MH_L平面SAOE,

且MH=￥，M”即為四棱錐M-SADE的高，

所以初SME=9s正方膾ADE，河”=gx4xf=冬

BC

【解析】本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質，棱錐的體積計算，熟練掌握空

間線面關系是解題關鍵.

(1)連接5。，由中位線性質證明MN//S。，便不難證明結論：

(2)取AD的中點G,連接3G,由已知條件得四邊形BCDG為平行四邊形，又乙』“。=彳,

得力B1BD,再根據線面垂直的判定定理得BD1平面SAB,再證得541平面ABCD,

從而得平面S4DE1平面A3CO,過點M作M"14。于點〃，由面面垂直的性質定理得

MH1平面S/1OE,M〃即為四棱錐M-S/DE的高，計算出四邊形SAOE的面積，結合

棱錐體積公式進行計算即可\

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，是等邊三角形，平面PAD1平面人8c。，底面

A8CO是直角梯形，ADHBC,已知4。=28。=4,Z,BAD=60°.

(1)若E為期的中點，求證：BE〃平面尸C。；

(2)求四棱錐P-4BC。的表面積.

【答案】解：(1)證明：取A。中點F,連結ERBF,PF,

因為E為PA中點，AD=4,所以EF〃P。，DF=^AD=2.

又因為BC///。，BC=2,所以DF〃BC,DF=BC,

所以四邊形。心。為平行四邊形.所以皿/BF.

又因為EFU平面PCD,POu平面PCD,所以"7/平面PCQ,

"C平面PC。，CDu平面PC。，所以8/7/平面PCD,

因為EF,BFu平面BEE

所以平面8EF〃平面PCD,

因為BEu平面BEF,眇以BE〃平面PCD.

(2)解：由〃為A。的中點，△尸力。是等邊三角形，43=4,

22

所以PA=PD=4,SAPAD=^AD-PF=^x4xV4-2=4A/3,

由于四邊形。尸8c為平行四邊形，且乙/WC=90°,

所以四邊形。F8C為矩形，^AFB=90°,

由于乙BAD=60°,AF=^AD=2,

所以/IB=4,BF=2遮，CD=BF=2代,

所以$腕4“力=十"*'‘瓜=6《，

由于平面PAD1平面ABCD,PFLAD,平面PADn平面4BCD=AD,PFu平面PAD,

所以P~1平面48cO,BCc^FiMABCD,

所以P/IBC,又BCLBF,BFCPF=F,BF,PFu平面PAG

所以平面PBF,PBu平面尸BF,所以BC1PB,

所以0B=尸2+。尸2=J(20)2+(2百/=2遍，

所以S4P8。=，8C?PB=3x2x2后=2V6,

由于PF1CD,AD1CD,PFC\AD=F,PF,ADu平面E4O,

所以CD1平面PA。，PDu平面尸A。，所以CDJLPZ),

所以ZPCD=I--CD=ix4x2V3=4百，

由于/IB=PA=4,PB=2瓜,

22

所以S/P.=：X2在xJ4-(V6)=2V15*

所以四棱錐P-A3C。的表面積為

4A/3+6V3+4V3+2A/6+2任

=14V34-2A/6+2/15.

【解析】本題考查線面平行的證明，考查線面、面面垂直的判定定理以及性質定理，考

查三棱錐的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

(1)耳乂AD中點尸，連結F尸，BF,PF,證明E77/P。，匚0//8F從而證明平面8Eb//平面

PCD,從而得到"〃平面PCD

(2)分別求出S/PAO，S摘S/P8C，SAPCD，SAPAB，求和得到四棱錐P—4BCD的表

面積.

19.如圖，在三棱臺ABC-DEF中，BC=2E凡G,“分別為AC,8c上的點，平面G〃F〃

平面/WEQ,CF1BC,AB1BC.

(1)證明：平面/?CFE_L平面EG”；

(2)若AZLLCF,AB=BC=2CF=2,求二面角8-A。-C的大小.

【答案】（1）證明：因為平面GHF〃平面/W￡7）,平面BCFECI平面48ED=BE,

平面n平面GHF=HF,所以BE//”?.

因為BC//EF,所以四邊形8HFE為平行四邊形，所以BH=EF,

因為8C=2E凡所以8C=2BH,”為8c的中點.

同理G為AC的中點，所以67〃///?,因為/17LL/7C,所以

乂HC//EF電HC=EF,所以四邊形EPC”是平行四邊形，所以CF〃HE,

又。所以”E_L8C.

又HE,GHu平面EG從HECGH=H,所以用工L平面EG〃，

又BCu平面BCFE,所以平面I3CFE1平面EGH

（2）解：,AB1CF,CF//HE,GH//AB,

二HE1HG.

分別以HG,HB,所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

H-xyz,

則4(2,1,0),8(0,1,0),D(l,0,1)，C(0,-1,0).

設平面AB。的一個法向量為沅=（M，%,Zi）,因為同=（一2,0,0）,BD=（1,-1,1）

則得m=(0,1,1).

膘二0晨…取…

設平面ADC的一個法向量為五=（%2，、2/2），因為同=（一1,一1,1），AC=（-2,-2,0）

n?AD=-x-y2+z2=0

則2取M=1,得五=(1,-1,0).

,n-AC=-2X2—2y2=0

所以|cos〈沆，涇)|=I韶;I=3則二面角B—40-C的大小為日.

|7T?|'|T11/.，

【解析】本題考查了兩直線之間的位置關系，面面平行的性質，線面垂直的判定，而面

垂直的判定，平面向量的法向量，二面角等有關知識.

(1)根據平面G〃/7/平面ABED,平面8CFEn平面=BE,

平面BCTEn平面GHF=HF,得到8E〃〃凡然后判斷出四邊形8印石為平行四邊形，四

邊形EFCH是平行四邊形，進而得到CF〃”E,再根據OF_L/?。，得到，E_L8C,最后

求證出3「_L平面EGH,再結合BCu平面8c尸石進行求解即可；

(2)分別以HG,HB,HE所在的直線為x粕］,)，軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系H-xyz,設平面ABD的一個法向量為沅=(%i，yi，Zi),設平面4。。的一個法向量為

n=(x2,y2,z2),分別求出沅二(0,1,1).n=再求解二面角即可.

20.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模

式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據

想考取的高校及專業要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、

物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科滿分100分，2020年

初受疫情影響，全國各地推遲開學，開展線上教學.為了了解高一學生的選科意向，

某學校對學生所選科目進行線上檢測，下面是100名學生的物理、化學、生物三科

總分成績，以組距20分成7組：

[160,180),[180,200),[200,220)[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],畫出頻

率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中〃的值；

(2)由頻率分布直方圖；

⑴求物理、化學、生物三科總分成績的中位數；

3)估計這100名學生.的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(同一組中的數據

用該組區間的中點道作代表)；

(3)為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學、生物三科總分

成績在［220,240)和［260,280)的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學生，再

從這7名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生來自不同組

的概率.

【答案】解：⑴由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)x20=l,

解得a=0.005.

(2)⑴因為(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,

(0.002+0.0095+0.011+0.0125)X20=0.7>0.5,

所以三科總分成績的中位數在［220,240)內，

設中位數為羽

則(0.002+0.0095+0.011)X20+0.0125x(%-22C)=0.5,

解得#=224,即中位數為224.

(ii)三科總分成績的平均數為

170x0.04+190x0.19+210x0.22+230x0.25+250x0.15+270x0.1+290x

0.05=225.6.

（3）三科總分成績在［220,240）,［260,280）兩組內的學生分別為25人，10人,

故抽樣比為募建，

所以從三科總分成績為［220,240）和［260,280）的兩組中抽取的學生人數分別為25x合

5（人），10xg=2（人），

記事件“抽取的這2人來自不同組”為A,

由題意,三科總分成績在［220,240）內的有5人，分別記為由,。2,。3,的，在［260,280）

內的有2人，分別記為瓦，⑦?現從這7人中抽取2人，

則試驗的樣本空間：

Q=

｛31，瓦），31，■）,（。2,瓦）,（。2,匕2），（的，瓦），（。3,匕2），（。4,瓦）,（。4,匕2），（%瓦）,（a5,b2）,（%,。2），（。1，。3），（%，。4），（。

,共有21個樣本點.

4=｛（%，b）（%,H）,@，瓦）,（a2,壇）,@，4）,Q，H）,@也）,Q，尻），（。5,瓦）,Q，瓦）｝

所以nG4）=10.

所以PG4）=繇/

所以抽取的這2人來自不同組的概率為三.

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查平均數，中位數求法，考查古典概型概率計算

公式的運用，考查分層抽樣，屬于中檔題.

（1）利用頻率分布直方圖所有小長方形的面積之和為L列方程求解即可；

（2）（i）利用中位數求法求解即可；

（〃）利用平均數求法求解即可；

（3）利用分層抽樣和占典概型概率計算公式求解即可.

21.最新高考改革方案已在上海和浙江實施，某教育機構為了解我省廣大師生對新高考

改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調查，統計結果如下：

贊成改革不贊成改革無所謂

教師120y40

學生XZ130

在全體師生中隨機抽取I名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3,且z=2y.

①現從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查，則應抽取“不

贊成改革”的教師和學生人數各是多少？

②在①中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機選出3人進行座談，求至少有1

名教師被選出的概率.

【答案】解：①由題意裔=0.3,解得％=150,

所以yIz=60；

又因為z=2y,所以y=20,z=40；

則應抽取的教師人數為啜x20=2,

應抽取的學生人數為孤