人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE12.5直線與圓、圓與圓的位置關系2.5.1直線與圓的位置關系第一課時直線與圓的位置關系課標要求素養要求1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系.2.會用代數法和幾何法來判定直線與圓的三種位置關系.通過直線與圓的位置關系的判斷，進一步提升數學抽象及數學運算素養.新知探究早晨的日出非常美麗，如果我們把海平面看成一條直線，而把太陽抽象成一個運動著的圓，觀察太陽緩緩升起的這樣一個過程，你能想象到什么幾何知識呢？沒錯，日出升起的過程可以體現直線與圓的三種位置關系，你發現了嗎？問題日出升起的過程體現的是直線與圓的哪三種位置關系？〖提示〗體現的是相交、相切、相離三種不同的位置關系.要搞清直線與圓的位置關系關鍵是搞清直線與圓的公共點的個數間的等價關系直線與圓的位置關系及判斷(直線：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)位置關系相交相切相離公共點個數2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形拓展深化〖微判斷〗1.若直線與圓有公共點，則直線與圓相交.(×)〖提示〗直線與圓有公共點，則直線與圓相交或相切.2.直線l：x＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是相交且過圓心.(√)3.若直線x－y＋a＝0與圓x2＋y2＝a(a>0)相切，則a等于4.(×)〖提示〗若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(a)，解之得a＝2.〖微訓練〗1.已知直線x＝a(a>0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是()A.5 B.4C.3 D.2〖解析〗由題意知圓心(1，0)到直線x＝a的距離為2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.〖答案〗C2.圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為________.〖解析〗由題意點P在圓上且P為切點.∵點P與圓心(2，0)連線的斜率為eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，∴切線的斜率為eq\f(\r(3),3)，∴切線方程為y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.〖答案〗x－eq\r(3)y＋2＝0〖微思考〗1.若直線與圓只有一個公共點，則直線與圓一定相切嗎？〖提示〗一定.由直線與圓的位置關系可得.2.若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離滿足什么條件？〖提示〗當直線與圓有公共點時，圓心到直線的距離小于或等于半徑.題型一直線與圓位置關系的判定〖例1〗已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當b為何值時，圓與直線相交、相切、相離？解法一直線與圓的位置關系問題可轉化為方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，①,y＝x＋b，②))有兩組不同實數解；有一組實數解；無實數解的問題.②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判別式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).當－2<b<2時，Δ>0，方程組有兩組不同實數解，因此直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；當b＝2或b＝－2時，Δ＝0，方程組有一組實數解，因此直線與圓只有一個公共點，直線與圓相切；當b<－2或b>2時，Δ<0，方程組沒有實數解，因此直線與圓沒有公共點，直線與圓相離.綜上，當－2<b<2時，直線與圓相交；當b＝－2或b＝2時，直線與圓相切；當b>2或b<－2時，直線與圓相離.法二圓心(0，0)到直線y＝x＋b的距離為d＝eq\f(|b|,\r(2))，圓的半徑r＝eq\r(2).當d<r，即eq\f(|b|,\r(2))<eq\r(2)時，直線與圓相交，∴－2<b<2.當d＝r，即eq\f(|b|,\r(2))＝eq\r(2)時，直線與圓相切，∴b＝±2.當d>r，即eq\f(|b|,\r(2))>eq\r(2)時，直線與圓相離，∴b>2或b<－2.綜上當－2<b<2時，直線與圓相交；當b＝－2或b＝2時，直線與圓相切；當b>2或b<－2時，直線與圓相離.規律方法判斷直線與圓的位置關系應注意的問題(1)利用幾何法比利用代數法能更簡捷地判斷出直線與圓的位置關系.(2)在解決直線與圓的位置關系問題時，應注意聯系圓的幾何性質，利用有關圖形的幾何特征，盡可能簡化運算.特別提醒利用幾何法來判定直線與圓的位置關系時，一定要明確圓心的坐標.〖訓練1〗a為何值時，直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100分別有如下關系：(1)相交；(2)相切；(3)相離？解法一(代數法)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100，))消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.(1)當直線和圓相交時，Δ＞0，即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；(2)當直線和圓相切時，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)當直線和圓相離時，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.法二(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0，0)，半徑r＝10，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|a|,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(|a|,5).(1)當直線和圓相交時，d＜r，即eq\f(|a|,5)＜10，得－50＜a＜50；(2)當直線和圓相切時，d＝r，即eq\f(|a|,5)＝10，得a＝50或a＝－50；(3)當直線和圓相離時，d＞r，即eq\f(|a|,5)＞10，得a＜－50或a＞50.題型二直線與圓相切的有關問題〖例2〗過點M(2，4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程.解由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故點M在圓外.當切線斜率存在時，設切線方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故eq\f(|k＋3＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝1，解得k＝eq\f(24,7).所以切線方程為24x－7y－20＝0.又當切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切.綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.〖遷移1〗若將例2中的點M的坐標改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？解由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點M在圓上，設圓的圓心為C，則C(1，－3)，顯然CM的斜率不存在.∵圓的切線垂直于經過切點的半徑，∴所求切線的斜率k＝0，∴切線方程為y＝－2.〖遷移2〗若例2中的條件不變，如何求其切線長？解由題知，設切線長為d，d＝eq\r([\r(（2－1）2＋（4＋3）2)]2－1)＝eq\r(50－1)＝7.規律方法1.過圓外一點求圓的切線方程的兩種求解方法(1)幾何法：設出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出未知量的值.此種方法需要注意斜率不存在的情況，要單獨驗證，若符合題意，則直接寫出其切線方程.(2)代數法：設出直線的方程后與圓的方程聯立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在，可直接寫出其切線的方程.2.過一點求圓的切線方程時，若點在圓上，則切線只有一條；若點在圓外，則切線有兩條.〖訓練2〗(1)圓x2＋y2＝4在點P(eq\r(3)，－1)處的切線方程為()A.eq\r(3)x＋y－2＝0 B.eq\r(3)x＋y－4＝0C.eq\r(3)x－y－4＝0 D.eq\r(3)x－y＋2＝0(2)點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為________.〖解析〗(1)∵(eq\r(3))2＋(－1)2＝4，∴點P在圓上.∴P為切點.∵切點與圓心連線的斜率為－eq\f(\r(3),3)，∴切線的斜率為eq\r(3)，∴切線方程為y＋1＝eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x－y－4＝0.(2)如圖所示，因為S四邊形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四邊形PAOB＝2×eq\f(1,2)|OA|·|PA|＝2eq\r(|OP|2－|OA|2)＝2eq\r(|OP|2－4).為使四邊形PAOB面積最小，當且僅當|OP|達到最小，又|OP|的最小值為點O到直線2x＋y＋10＝0的距離，即|OP|min＝eq\f(10,\r(22＋12))＝2eq\r(5)，故所求最小值為2eq\r(（2\r(5)）2－4)＝8.〖答案〗(1)C(2)8題型三直線與圓相交的有關問題〖例3〗求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長.解法一直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0和圓x2＋y2＝4的公共點坐標就是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2\r(3)＝0，,x2＋y2＝4))的解.解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\r(3)，,y1＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2.))所以公共點的坐標為(－eq\r(3)，1)，(0，2)，所以直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為eq\r(（－\r(3)－0）2＋（1－2）2)＝2.法二如圖，設直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則OM⊥AB(O為坐標原點)，又|OM|＝eq\f(|0－0＋2\r(3)|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝eq\r(3)，所以|AB|＝2|AM|＝2eq\r(|OA|2－|OM|2)＝2eq\r(22－（\r(3)）2)＝2.規律方法求直線與圓相交時弦長的兩種方法：圖1(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖2則|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)，其中k為直線l的斜率.〖訓練3〗(1)過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________.(2)圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長為2eq\r(2)的圓的方程為_________________________________________________________________.〖解析〗(1)設點A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當弦過點A(3，1)且與CA垂直時為最短弦，∵|CA|＝eq\r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，∴半弦長為eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦的長為2eq\r(2).(2)設圓的半徑為r，由條件，得圓心到直線y＝x－1的距離d＝eq\f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq\r(2).又由題意知，半弦長為eq\r(2)，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.〖答案〗(1)2eq\r(2)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4一、素養落地1.通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數學運算素養.2.一般地，在解決圓和直線相交問題時，應首先考慮圓心到直線的距離、弦長的一半、圓的半徑構成的直角三角形.還可以聯立方程組，消去y(或x)，得到一個一元二次方程，利用方程根與系數的關系表達出弦長l＝eq\r(k2＋1)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|（k≠0）)).3.研究圓的切線問題時要注意切線的斜率是否存在.過一點求圓的切線方程時，要考慮該點是否在圓上.當點在圓上時，切線只有一條；當點在圓外時，切線有兩條.二、素養訓練1.直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是()A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離〖解析〗圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)<1，又∵直線y＝x＋1不過圓心(0，0)，∴選B.〖答案〗B2.對任意的實數k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關系一定是()A.相離 B.相切C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心〖解析〗法一圓心(0，0)到直線kx－y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))≤1<eq\r(2)＝r，∴直線與圓相交，且圓心(0，0)不在該直線上.法二直線kx－y＋1＝0恒過定點(0，1)，而該點在圓內，故直線與圓相交，且圓心不在該直線上.〖答案〗C3.(多選題)過點P(－eq\r(3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1相切，則直線l的傾斜角可以是()A.0° B.45°C45° D60°〖解析〗設過點P的直線方程為y＝k(x＋eq\r(3))－1，則由直線與圓相切知eq\f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3).故直線l的傾斜角為0°或60°.〖答案〗AD4.過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________.〖解析〗由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圓心為(1，2)，半徑r＝1.∵弦長為2，故弦為直徑，即弦所在直線過圓心(1，2)，又直線過原點，因此所求直線方程是2x－y＝0.〖答案〗2x－y＝05.(1)求圓x2＋y2＝10的切線方程，使得它經過點M(2，eq\r(6))；(2)求圓x2＋y2＝4的切線方程，使得它經過點Q(3，0).解(1)∵點M的坐標適合圓的方程，∴點M在圓x2＋y2＝10上，由題可知圓心為O(0，0)，則直線OM的斜率kOM＝eq\f(\r(6),2).∵圓的切線垂直于經過切點的半徑，∴所求切線的斜率為k＝－eq\f(2,\r(6)).故經過點M的切線方程為y－eq\r(6)＝－eq\f(2,\r(6))·(x－2)，整理得：2x＋eq\r(6)y－10＝0.(2)容易判斷點Q(3，0)在圓外.設切線的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圓的圓心為(0，0)，半徑為2，所以eq\f(|－3k|,\r(1＋k2))＝2.解得：k＝±eq\f(2\r(5),5).∴所求切線方程為：y＝±eq\f(2\r(5),5)(x－3)，即2eq\r(5)x＋5y－6eq\r(5)＝0或2eq\r(5)x－5y－6eq\r(5)＝0.2.5直線與圓、圓與圓的位置關系2.5.1直線與圓的位置關系第一課時直線與圓的位置關系課標要求素養要求1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系.2.會用代數法和幾何法來判定直線與圓的三種位置關系.通過直線與圓的位置關系的判斷，進一步提升數學抽象及數學運算素養.新知探究早晨的日出非常美麗，如果我們把海平面看成一條直線，而把太陽抽象成一個運動著的圓，觀察太陽緩緩升起的這樣一個過程，你能想象到什么幾何知識呢？沒錯，日出升起的過程可以體現直線與圓的三種位置關系，你發現了嗎？問題日出升起的過程體現的是直線與圓的哪三種位置關系？〖提示〗體現的是相交、相切、相離三種不同的位置關系.要搞清直線與圓的位置關系關鍵是搞清直線與圓的公共點的個數間的等價關系直線與圓的位置關系及判斷(直線：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)位置關系相交相切相離公共點個數2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形拓展深化〖微判斷〗1.若直線與圓有公共點，則直線與圓相交.(×)〖提示〗直線與圓有公共點，則直線與圓相交或相切.2.直線l：x＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是相交且過圓心.(√)3.若直線x－y＋a＝0與圓x2＋y2＝a(a>0)相切，則a等于4.(×)〖提示〗若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(a)，解之得a＝2.〖微訓練〗1.已知直線x＝a(a>0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是()A.5 B.4C.3 D.2〖解析〗由題意知圓心(1，0)到直線x＝a的距離為2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.〖答案〗C2.圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為________.〖解析〗由題意點P在圓上且P為切點.∵點P與圓心(2，0)連線的斜率為eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，∴切線的斜率為eq\f(\r(3),3)，∴切線方程為y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.〖答案〗x－eq\r(3)y＋2＝0〖微思考〗1.若直線與圓只有一個公共點，則直線與圓一定相切嗎？〖提示〗一定.由直線與圓的位置關系可得.2.若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離滿足什么條件？〖提示〗當直線與圓有公共點時，圓心到直線的距離小于或等于半徑.題型一直線與圓位置關系的判定〖例1〗已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當b為何值時，圓與直線相交、相切、相離？解法一直線與圓的位置關系問題可轉化為方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，①,y＝x＋b，②))有兩組不同實數解；有一組實數解；無實數解的問題.②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判別式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).當－2<b<2時，Δ>0，方程組有兩組不同實數解，因此直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；當b＝2或b＝－2時，Δ＝0，方程組有一組實數解，因此直線與圓只有一個公共點，直線與圓相切；當b<－2或b>2時，Δ<0，方程組沒有實數解，因此直線與圓沒有公共點，直線與圓相離.綜上，當－2<b<2時，直線與圓相交；當b＝－2或b＝2時，直線與圓相切；當b>2或b<－2時，直線與圓相離.法二圓心(0，0)到直線y＝x＋b的距離為d＝eq\f(|b|,\r(2))，圓的半徑r＝eq\r(2).當d<r，即eq\f(|b|,\r(2))<eq\r(2)時，直線與圓相交，∴－2<b<2.當d＝r，即eq\f(|b|,\r(2))＝eq\r(2)時，直線與圓相切，∴b＝±2.當d>r，即eq\f(|b|,\r(2))>eq\r(2)時，直線與圓相離，∴b>2或b<－2.綜上當－2<b<2時，直線與圓相交；當b＝－2或b＝2時，直線與圓相切；當b>2或b<－2時，直線與圓相離.規律方法判斷直線與圓的位置關系應注意的問題(1)利用幾何法比利用代數法能更簡捷地判斷出直線與圓的位置關系.(2)在解決直線與圓的位置關系問題時，應注意聯系圓的幾何性質，利用有關圖形的幾何特征，盡可能簡化運算.特別提醒利用幾何法來判定直線與圓的位置關系時，一定要明確圓心的坐標.〖訓練1〗a為何值時，直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100分別有如下關系：(1)相交；(2)相切；(3)相離？解法一(代數法)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100，))消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.(1)當直線和圓相交時，Δ＞0，即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；(2)當直線和圓相切時，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)當直線和圓相離時，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.法二(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0，0)，半徑r＝10，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|a|,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(|a|,5).(1)當直線和圓相交時，d＜r，即eq\f(|a|,5)＜10，得－50＜a＜50；(2)當直線和圓相切時，d＝r，即eq\f(|a|,5)＝10，得a＝50或a＝－50；(3)當直線和圓相離時，d＞r，即eq\f(|a|,5)＞10，得a＜－50或a＞50.題型二直線與圓相切的有關問題〖例2〗過點M(2，4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程.解由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故點M在圓外.當切線斜率存在時，設切線方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故eq\f(|k＋3＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝1，解得k＝eq\f(24,7).所以切線方程為24x－7y－20＝0.又當切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切.綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.〖遷移1〗若將例2中的點M的坐標改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？解由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點M在圓上，設圓的圓心為C，則C(1，－3)，顯然CM的斜率不存在.∵圓的切線垂直于經過切點的半徑，∴所求切線的斜率k＝0，∴切線方程為y＝－2.〖遷移2〗若例2中的條件不變，如何求其切線長？解由題知，設切線長為d，d＝eq\r([\r(（2－1）2＋（4＋3）2)]2－1)＝eq\r(50－1)＝7.規律方法1.過圓外一點求圓的切線方程的兩種求解方法(1)幾何法：設出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出未知量的值.此種方法需要注意斜率不存在的情況，要單獨驗證，若符合題意，則直接寫出其切線方程.(2)代數法：設出直線的方程后與圓的方程聯立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在，可直接寫出其切線的方程.2.過一點求圓的切線方程時，若點在圓上，則切線只有一條；若點在圓外，則切線有兩條.〖訓練2〗(1)圓x2＋y2＝4在點P(eq\r(3)，－1)處的切線方程為()A.eq\r(3)x＋y－2＝0 B.eq\r(3)x＋y－4＝0C.eq\r(3)x－y－4＝0 D.eq\r(3)x－y＋2＝0(2)點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為________.〖解析〗(1)∵(eq\r(3))2＋(－1)2＝4，∴點P在圓上.∴P為切點.∵切點與圓心連線的斜率為－eq\f(\r(3),3)，∴切線的斜率為eq\r(3)，∴切線方程為y＋1＝eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x－y－4＝0.(2)如圖所示，因為S四邊形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四邊形PAOB＝2×eq\f(1,2)|OA|·|PA|＝2eq\r(|OP|2－|OA|2)＝2eq\r(|OP|2－4).為使四邊形PAOB面積最小，當且僅當|OP|達到最小，又|OP|的最小值為點O到直線2x＋y＋10＝0的距離，即|OP|min＝eq\f(10,\r(22＋12))＝2eq\r(5)，故所求最小值為2eq\r(（2\r(5)）2－4)＝8.〖答案〗(1)C(2)8題型三直線與圓相交的有關問題〖例3〗求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長.解法一直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0和圓x2＋y2＝4的公共點坐標就是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2\r(3)＝0，,x2＋y2＝4))的解.解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\r(3)，,y1＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2.))所以公共點的坐標為(－eq\r(3)，1)，(0，2)，所以直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為eq\r(（－\r(3)－0）2＋（1－2）2)＝2.法二如圖，設直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則OM⊥AB(O為坐標原點)，又|OM|＝eq\f(|0－0＋2\r(3)|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝eq\r(3)，所以|AB|＝2|AM|＝2eq\r(|OA|2－|OM|2)＝2eq\r(22－（\r(3)）2)＝2.規律方法求直線與圓相交時弦長的兩種方法：圖1(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖2則|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)，其中k為直線l的斜率.〖訓練3〗(1)過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________.(2)圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長為2eq\r(2)的圓的方程為_________________________________________________________________.〖解析〗(1)設點A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當弦過點A(3，1)且與CA垂直時為最短弦，∵|CA|＝eq\r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，∴半弦長為eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦的長為2eq\r(2).(2)設圓的半徑為r，由條件，得圓心到直線y＝x－1的距離d＝eq\f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq\r(2).又由題意知，半弦長為eq\r(2)，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.〖答案〗(1)2eq\r(2)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4一、素養落地1.通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數學運算素養.2.一般地，在解決圓和直線相交問題時，應首先考慮圓心到直線的距離、弦長的一半、圓的半徑構成的直角三角形.還可以聯立方程組，消去y(或x)，得到一個一元二次方程，利用方程根與系數的關系表達出弦長l＝eq\r(k2＋1)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(k2＋