人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE12.2.3直線的一般式方程課標要求素養要求1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會進行直線方程的五種形式間的轉化.通過學習直線的一般式方程，提升數學抽象及邏輯推理素養.新知探究同學們，前面我們學習了直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，可以發現它們都是二元一次方程.現在請同學們思考一下，在平面直角坐標系中的每一條直線是否都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示呢？問題任何直線方程都能表示為一般式嗎？〖提示〗能.因為平面上任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示.1.直線的一般式方程當B≠0時，k＝－eq\f(A,B)；當B＝0時，斜率不存在我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.2.二元一次方程與直線的關系在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線可以用一個確定的二元一次方程表示.拓展深化〖微判斷〗(1)直線x－y－3＝0的斜率為k＝1.(√)(2)當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(×)〖提示〗當A，B都同時為零時，若C＝0，則方程對任意的x，y都成立，故方程表示整個坐標平面；若C≠0，則方程無解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何圖形.(3)直線的一般式方程可以表示坐標平面內的任意一條直線.(√)〖微訓練〗1.與x軸平行且過點(0，6)的直線的一般式方程為()A.x－6＝0 B.y－6＝0C.x＋y＝6 D.x－y＝6〖答案〗B2.已知直線的方程為2x－y＋4＝0，則該直線的斜率為________.〖答案〗23.直線2x＋y＋3＝0在y軸上的截距是________.〖解析〗令x＝0，得y＝－3.〖答案〗－3〖微思考〗直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？〖提示〗直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)化成點斜式和斜截式需滿足條件B≠0，化成兩點式需滿足條件AB≠0，化成截距式需滿足條件ABC≠0.題型一求直線的一般式方程〖例1〗根據下列條件求直線的一般式方程.(1)直線的斜率為2，且經過點A(1，3)；(2)斜率為eq\r(3)，且在y軸上的截距為4；(3)經過兩點A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y軸上的截距分別為2，－4.解(1)因為k＝2，且經過點A(1，3)，由直線的點斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.(2)由直線的斜率k＝eq\r(3)，且在y軸上的截距為4，得直線的斜截式方程為y＝eq\r(3)x＋4.整理可得直線的一般式方程為eq\r(3)x－y＋4＝0.(3)由直線的兩點式方程可得eq\f(y－（－3）,－5－（－3）)＝eq\f(x－2,－1－2)，整理得直線的一般式方程為2x－3y－13＝0.(4)由直線的截距式方程可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，整理得直線的一般式方程為2x－y－4＝0.規律方法求直線的一般式方程的策略(1)當A≠0時，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值.因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程.(2)在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉化為一般式.〖訓練1〗(1)下列直線中，斜率為－eq\f(4,3)，且不經過第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0(2)直線eq\r(3)x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于()A.eq\r(3) B.－5C.eq\f(9,5) D.－3eq\r(3)〖解析〗(1)將一般式化為斜截式，斜率為－eq\f(4,3)的有B，C兩項，其中B.y＝－eq\f(4,3)x－eq\f(7,3)，C.y＝－eq\f(4,3)x＋14.又y＝－eq\f(4,3)x＋14過點(0，14)即直線過第一象限，所以只有B項滿足要求.(2)令y＝0，則x＝－3eq\r(3).〖答案〗(1)B(2)D題型二利用一般式解決直線的平行與垂直問題〖例2〗已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(－1，3)，且與l平行；(2)過點(－1，3)，且與l垂直.解法一l的方程可化為y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率為－eq\f(3,4).(1)∵l′與l平行，∴l′的斜率為－eq\f(3,4).又∵l′過點(－1，3)，∴由點斜式知方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′與l垂直，∴l′的斜率為eq\f(4,3)，又l′過點(－1，3)，∴由點斜式可得方程為y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.規律方法1.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0).(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2.過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程.(2)可利用如下待定系數法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.〖訓練2〗判斷下列各對直線是平行還是垂直，并說明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)；l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).則k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.法二∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.(2)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)；l2：y＝－2x＋2.則k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2.(3)因為l1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.題型三直線一般式方程的應用〖例3〗設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解(1)當直線在x軸上的截距為－3時，有eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0解得m＝－eq\f(5,3).(2)當斜率為－1時，有－eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0解得m＝－2.規律方法已知含參的直線的一般式方程求參數的值或范圍的步驟〖訓練3〗直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解(1)①當a＝－1時，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當a≠－1時，令x＝0，則y＝a－2，令y＝0，則x＝eq\f(a－2,a＋1).∵l在兩坐標軸上的截距相等，∴a－2＝eq\f(a－2,a＋1)，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不經過第二象限，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.∴a的取值范圍為(－∞，－1〗.一、素養落地1.通過本節課的學習，提升數學抽象及邏輯推理素養.2.二元一次方程與直線的關系二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點的坐標，這個方程的全體解組成的集合，就是坐標滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點就組成了一條直線，二元一次方程與平面直角坐標系中的直線是一一對應的，因此直線的一般式方程可以表示坐標平面內的任意一條直線.3.直線的一般式方程的結構特征(1)方程是關于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號的左側自左向右一般按x，y，常數的先后順序排列.(3)x的系數一般不為分數和負數.(4)雖然一般式直線方程有三個系數，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.二、素養訓練1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應滿足的條件為()A.A≠0 B.B≠0C.AB≠0 D.A2＋B2≠0〖解析〗方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時為0，即A2＋B2≠0.〖答案〗D2.已知直線l經過點P(2，1)，且與直線2x－y＋2＝0平行，那么直線l的方程是()A.2x－y－3＝0 B.x＋2y－4＝0C.2x－y－4＝0 D.x－2y－4＝0〖解析〗由題意可設所求的方程為2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知點(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直線的方程為2x－y－3＝0，故選A.〖答案〗A3.過點A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0〖解析〗過點A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線的斜率為eq\f(1,2)，由點斜式求得直線的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，化簡可得x－2y＋4＝0，故選A.〖答案〗A4.(多填題)設直線l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直線l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，則a＝________；若l1⊥l2，則a＝________.〖解析〗直線l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直線l2：x＋2y＋1＝0，分別化為：y＝－eq\f(a＋1,3)x－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).若l1∥l2，則－eq\f(a＋1,3)＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).若l1⊥l2，則－eq\f(a＋1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－7.〖答案〗eq\f(1,2)－75.設直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據下列條件分別確定k的值：(1)直線l的斜率為－1；(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.解(1)因為直線l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq\f(2,k－3)x＋2，由題意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.(2)直線l的方程可化為eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1，由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.2.2.3直線的一般式方程課標要求素養要求1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會進行直線方程的五種形式間的轉化.通過學習直線的一般式方程，提升數學抽象及邏輯推理素養.新知探究同學們，前面我們學習了直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，可以發現它們都是二元一次方程.現在請同學們思考一下，在平面直角坐標系中的每一條直線是否都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示呢？問題任何直線方程都能表示為一般式嗎？〖提示〗能.因為平面上任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示.1.直線的一般式方程當B≠0時，k＝－eq\f(A,B)；當B＝0時，斜率不存在我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.2.二元一次方程與直線的關系在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線可以用一個確定的二元一次方程表示.拓展深化〖微判斷〗(1)直線x－y－3＝0的斜率為k＝1.(√)(2)當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(×)〖提示〗當A，B都同時為零時，若C＝0，則方程對任意的x，y都成立，故方程表示整個坐標平面；若C≠0，則方程無解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何圖形.(3)直線的一般式方程可以表示坐標平面內的任意一條直線.(√)〖微訓練〗1.與x軸平行且過點(0，6)的直線的一般式方程為()A.x－6＝0 B.y－6＝0C.x＋y＝6 D.x－y＝6〖答案〗B2.已知直線的方程為2x－y＋4＝0，則該直線的斜率為________.〖答案〗23.直線2x＋y＋3＝0在y軸上的截距是________.〖解析〗令x＝0，得y＝－3.〖答案〗－3〖微思考〗直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？〖提示〗直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)化成點斜式和斜截式需滿足條件B≠0，化成兩點式需滿足條件AB≠0，化成截距式需滿足條件ABC≠0.題型一求直線的一般式方程〖例1〗根據下列條件求直線的一般式方程.(1)直線的斜率為2，且經過點A(1，3)；(2)斜率為eq\r(3)，且在y軸上的截距為4；(3)經過兩點A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y軸上的截距分別為2，－4.解(1)因為k＝2，且經過點A(1，3)，由直線的點斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.(2)由直線的斜率k＝eq\r(3)，且在y軸上的截距為4，得直線的斜截式方程為y＝eq\r(3)x＋4.整理可得直線的一般式方程為eq\r(3)x－y＋4＝0.(3)由直線的兩點式方程可得eq\f(y－（－3）,－5－（－3）)＝eq\f(x－2,－1－2)，整理得直線的一般式方程為2x－3y－13＝0.(4)由直線的截距式方程可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，整理得直線的一般式方程為2x－y－4＝0.規律方法求直線的一般式方程的策略(1)當A≠0時，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值.因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程.(2)在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉化為一般式.〖訓練1〗(1)下列直線中，斜率為－eq\f(4,3)，且不經過第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0(2)直線eq\r(3)x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于()A.eq\r(3) B.－5C.eq\f(9,5) D.－3eq\r(3)〖解析〗(1)將一般式化為斜截式，斜率為－eq\f(4,3)的有B，C兩項，其中B.y＝－eq\f(4,3)x－eq\f(7,3)，C.y＝－eq\f(4,3)x＋14.又y＝－eq\f(4,3)x＋14過點(0，14)即直線過第一象限，所以只有B項滿足要求.(2)令y＝0，則x＝－3eq\r(3).〖答案〗(1)B(2)D題型二利用一般式解決直線的平行與垂直問題〖例2〗已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(－1，3)，且與l平行；(2)過點(－1，3)，且與l垂直.解法一l的方程可化為y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率為－eq\f(3,4).(1)∵l′與l平行，∴l′的斜率為－eq\f(3,4).又∵l′過點(－1，3)，∴由點斜式知方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′與l垂直，∴l′的斜率為eq\f(4,3)，又l′過點(－1，3)，∴由點斜式可得方程為y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.規律方法1.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0).(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2.過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程.(2)可利用如下待定系數法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.〖訓練2〗判斷下列各對直線是平行還是垂直，并說明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)；l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).則k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.法二∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.(2)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)；l2：y＝－2x＋2.則k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2.(3)因為l1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.題型三直線一般式方程的應用〖例3〗設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解(1)當直線在x軸上的截距為－3時，有eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0解得m＝－eq\f(5,3).(2)當斜率為－1時，有－eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0解得m＝－2.規律方法已知含參的直線的一般式方程求參數的值或范圍的步驟〖訓練3〗直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解(1)①當a＝－1時，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當a≠－1時，令x＝0，則y＝a－2，令y＝0，則x＝eq\f(a－2,a＋1).∵l在兩坐標軸上的截距相等，∴a－2＝eq\f(a－2,a＋1)，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不經過第二象限，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.∴a的取值范圍為(－∞，－1〗.一、素養落地1.通過本節課的學習，提升數學抽象及邏輯推理素養.2.二元一次方程與直線的關系二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點的坐標，這個方程的全體解組成的集合，就是坐標滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點就組成了一條直線，二元一次方程與平面直角坐標系中的直線是一一對應的，因此直線的一般式方程可以表示坐標平面內的任意一條直線.3.直線的一般式方程的結構特征(1)方程是關于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號的左側自左向右一般按x，y，常數的先后順序排列.(3)x的系數一般不為分數和負數.(4)雖然一般式直線方程有三個系數，但只需兩個獨立的條件即可