《實變函數》試題庫及參照答案（完整版）選擇題1,下列對象不能構成集合的是:（）A、所有自然數B、0,1之間的實數所有C、[0,1]上的實函數所有D、所有大個子二、下列對象不能構成集合的是:（）A、{所有實數}B、{所有整數}C、{所有小個子}D、{x：x>1}3、下列對象不能構成集合的是:（）A、{所有實數}B、{所有整數}C、{x：x>1}D、{所有胖子}4、下列對象不能構成集合的是:（）A、{所有實數}B、{所有整數}C、{x：x>1}D、{所有瘦子}五、下列對象不能構成集合的是:（）A、{所有小孩子}B、{所有整數}C、{x：x>1}D、{所有實數}六、下列對象不能構成集合的是:（）A、{所有實數}B、{所有大人}C、{x：x>1}D、{所有整數}7、設,I

為所有實數,則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)八、設,,則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]九、設,,則=()A、(0,1)B、[0,1]C、[0,1]D、(0,+)10、設,,則=()A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)1一、設,,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}1二、設,,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}13、設,,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]14、設,,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]1五、設,,則()A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)1六、設,,則()A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ17、設,,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1八、設,,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)1九、設A、B、C是三個集合,則A-(A-B)=()A、BB、AC、ABD、AB20、設A、B、C是三個集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2一、設A、B、C是三個集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC2二、設A、B、S是三個集合,且,,則=()A、B、C、D、23、設A、B、S是三個集合,且,,則=()A、B、C、D、24、設A、B、C是三個集合,則A-(B-C)=()A、AC-BB、A-B-CC、(A-B)(AC)D、C-(B-A)2五、集合E的所有內點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導集D、閉包2六、集合E的所有聚點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導集D、閉包27、集合E的所有邊界點和內點所成的集合是E的()A、開核B、邊界C、導集D、閉包2八、E-E＇所成的集合是()A、開核B、邊界C、外點D、{E的所有孤立點}2九、E的所有邊界點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導集D、閉包30、設點P是集合E的邊界點,則()A、P是E的聚點B、P是E的孤立點C、P是E的內點D、P是的邊界點3一、設,則下列那一種是G的構成區間:()A、(0,1)B、(,1)C、[0,1]D、(0,2)3二、設,,則下列那一種是G的構成區間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,)D、(-1,2)33、設,,則下列那一種是G的構成區間:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、設,,則下列那一種是G的構成區間:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)3五、設,,則下列那一種是G的構成區間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)3六、設,,則下列那一種是G的構成區間:()A、(,)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若，則下列命題錯誤的是：()A、B、A＇B＇C、D、3八、若,則下列命題對的的是：（）A、B、A＇B＇=C＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}3九、若,則下列命題錯誤的是：（）A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}40、設是A的余集，則下列命題對的的是：（）A、B、C、C(A＇)＝（CA）＇D、4一、設A－B=C,則下列命題對的的是：（）A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立點}－{B的孤立點}={C的孤立點}4二、(2-4-1-2)下列命題錯誤的是：（）A、是閉集B、A＇是閉集C、是閉集D、是閉集43、若A是閉集，B是開集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷44、若A是開集，B是閉集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4五、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4六、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷47、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4八、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷4九、若，則（）A、0B、1C、2D、350、下述結論（）對的.A、B、C、D、5一、下列說法對的的是（）A、在（0，1）有限B、在無界C、，在[0，1]有限D、，在[0，1]有界5二、函數列在[0，1]上（）于0.A、a，e一致收斂B、收斂C、一致收斂D、大體上一致收斂53、設E是[0，1]中的不可測集，則下列函數在[0，1]上可測的是（）.A、B、C、D、54、若可測，則它必是（）.A、持續函數B、單調函數C、簡樸函數D、簡樸函數列的極限5五、若，則（）A、0B、1C、2D、35六、下列說法不對的的是（）A、E的測度有限，則E必有界B、E的測度無窮，則E必無界C、有界點集的測度有限D、的測度無窮57、（4-4-2-1）下述論斷對的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限5八、函數列在[0,2]上（）于0.A、收斂B、一致收斂C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂5九、設其中E是[0,1]的不可測集，則下列函數在[0,1]可測的是（）.A、B、C、D、60、一種函數在其概念域中的（）點處都是持續的.A、邊界點B、內點C、聚點D、孤立點.6一、是康托爾（cantor）集，則（）A、0B、1C、2D、36二、設A是B的真子集，則（）A、B、C、D、63、下列說法對的的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限64、函數列在上（）于0.A、收斂B、一致收斂、C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂6五、設E是[0,1]上的不可測集，則下列函數在[0,1]可測的是（）.A、B、C、D、6六、設E為可測集，則下列結論中對的的是（）A、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測函數，則一致收斂于B、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測函數，則大體上一致收斂于C、若在E上a,e收斂于一種a,e有限的可測函數，則D、若在E上大體上一致收斂于，則a,e收斂于67、G表達康托爾（cantor）集在[0,1]中的余集，則mG=（）A、0B、1C、2D、36八、設都可測，則（）A、可測B、不可測C、也許可測也也許不可測D、以上都不對6九、下列說法對的的是（）A、在上無界B、在上有限C、在上有限D、在上有界70、函數列在上（）于0A、收斂B、一致收斂C、大體上一致收斂D、a.e.一致收斂7一、設，其中E是[0,1]上的不可測集，則（）在[0,1]可測.A、、B、C、D、7二、有關持續函數與可測函數，下列論述中對的的是（）A、它們是同一概念B、a,e有限的可測函數是持續函數C、a,e有限的可測函數是大體上持續的函數D、a,e有限的可測函數是a,e持續的函數73、()A、一、B、2C、3D、474、A可測，B是A的真子集，則（）A、B、C、D、以上都不對7五、下列說法對的的是（）A、在(0,1)有限、B、在無界C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界7六、函數列在上（）于0.A、收斂B、大體上一致收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂77、設其中E是[0,1]上的不可測集，則（）在[0,1]上是可測的.A、B、C、D、7八、有關簡樸函數與可測函數下述結論不對的的是（）A、簡樸函數必然是可測函數B、簡樸函數列的極限是可測函數C、簡樸函數與可測函數是同一概念D、簡樸函數列的極限與可測函數是同一概念7九、（）A、1B、2C、3D、480、L可測集類，對運算（）不封鎖.A、可數和B、有限交C、單集結列的極限D、任意和.8一、下列說法對的的是（）A、在無界B、在有限C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界8二、函數列在上（）于0.A、大體一致收斂B、收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂83、設E是中的不可測集，則下列函數在上可測的是（）.A、B、C、D、84、有關依測度收斂，下列說法中不對的的是（）A、依測度收斂不必然一致收斂B、依測度收斂不必然收斂C、若在E上a.e.收斂于a.e.有限的可測函數，則D、若，則存在子列a.e.收斂于8五、設是可測集上的非負可測函數，則（）A、必可積B、必幾乎到處有限C、必積分肯定D、不必然積分肯定8六、設在可測集上可積，則在上（）A、與只有一種可積B、與皆可積C、與不必然可積D、與至少有一種不可積87、設（），是上的實函數，則下面論述對的的是（）A、在上不必然可測B、在上可測但不必然可積C、在上可積且積分值為0D、在上不可積8八、在可測集上可積的必要條件是，為（）A、持續函數B、幾乎到處持續函數C、單調函數D、幾乎到處有限的可測函數8九、設為狄立克雷函數，則（）A、0B、1C、1/2D、不存在90、設為Cantor集的特性函數，則（）A、0B、1/3C、2/3D、1填空題一、設A為一集合，B是A的所有子集構成的集合；若=n,則=二、設A為一集合，B是A的所有子集構成的集合；若A是一可數集,則=3、若,,則4、若,B是一可數集,則五、若,,則六、若是一集合列,且,7、若是任意集族,其中I是指標集,則=八、若是任意集族,其中I是指標集,則=九、若是任意集族,其中I是指標集,S是一集合,則=10、若是任意集族,其中I是指標集,S是一集合,則=1一、若是任意一種集合列,則1二、若是任意一種集合列,則13、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=14、C[a,b]空間中,任意兩元素x(t),y(t)的距離d(x,y)=1五、空間中,任意兩元素,的距離d(x,y)=1六、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=17、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=1八、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=1九、設,,則=20、設,,則=2一、設,,則=2二、設,,則＇=23、設,,則=24、設,,則＇=2五、設A=[0,1],B=[3,4],則d(A,B)=2六、設C是康托完備集,G=[0,1]－C,則d(C,G)=27、設C是康托完備集,則C的半徑=2八、兩個非空集合A,B距離的概念為d(A,B)=2九、一種非空集合A的直徑的概念為=30、設A=[0,1]Q,則=3一、，對每一列覆蓋E的開區間，概念________。3二、設是一列遞增的可測集合，則________。33、設是概念在可測集上的實函數，若，有_______，則稱在E上可測。34、的概念為_________________________。3五、設A=“開集類”，B=“波雷爾集類”，C=“可測集類”，D=“型集類”。那么A，B，C，D的關系是__________。3六、I是區間，則mI=________37、[a,b]上的持續函數及單調函數都是________。3八、葉果洛夫定理反應了_______與________的關系。3九、設，E有界，I為任一包括E的開區間，則____40、稱為測度的________4一、可測集上的持續函數都是________。4二、可測函數列的極限是_________。43、若，則，這稱為外測度的________。44、若集合G能表到達________則稱G為集。4五、實變函數中的函數持續性是數學分析中函數持續性的______。4六、幾乎到處是與_______有關的概念。47、設，若對均有________則稱E是L可測的。4八、若集合F能表到達_______則稱F為集。4九、E上的簡樸函數，指的是對E進行有限不變可測分解後，每一種可測子集上都取_______的函數。50、魯金定理反應了______與______的關系。5一、設是一列遞減可測集合，且，，則_________。5二、L可測集和波雷爾集相差一種________。53、兩個可測函數的四則運算（假定它們都成心義）成果______。54、函數列在不一致收斂于1，且不______收斂于1。5五、設在可測集上可積，則（）5六、（論述積分的絕對持續性）設在上可積，則對任何可測集，有（）57、設為Cantor集，則（）5八、設為Cantor集，則（）5九、設為有理數集，則（）60、設為自然數集，則（）簡答題一、構造{自然數所有}到{偶數所有}的一一映射.二、構造(0,1)到R的一一映射.3、構造(0,1)到[0,]的一一映射.4、構造{能被3整數整除的正整數}到{正整數所有}的一一映射.五、構造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、構造{奇數所有}到{偶數所有}的一一映射.7、（請闡明：在上的函數列，，意外度收斂于八、請論述L測度的可列可加性。九、若在可測集E上可測，則，在E上也可測。10、請指出L可測集和集的關系。1一、用可測函數的概念闡明狄裏克雷函數在[0,1]可測。1二、從基數的角度請舉出三種零測集的例子。計算題一、設，計算。二、設，計算。3、設，計算。4、設為Cantor集，，計算。五、設為Cantor集，，計算。六、設為Cantor集，，計算。7、求。八、求。九、求。10、求。1一、求。1二、求。判斷題一、{0,1}={1,0}()理由：二、任意兩個集合A、B,均有,或()理由：3、任意集合均有子集。（）理由：4、（）理由：五、Φ={Φ}()理由：六、Φ={0}()理由：7、若一種點不是E的聚點,則必然也不是

E的內點.()理由：八、{E的外點所有}和E的余集是相似的.()理由：九、E的內點必然屬于E.()理由：10、E的孤立點必然屬于E()理由：1一、E的邊界點必然不屬于E()理由：1二、E的聚點必然屬于E()理由：13、若可測，則E和F都可測。（）理由：14、若，a.e.于E，在可測集E上可測，則也在E上可測（）。理由：1五、兩個集合的基數相等，則它們的外測度相等。（）理由：1六、若在可測集E上可測，則也可測。（）理由：17、若，且，a,e于E（）理由：1八、設都可測，則也可測，且。（）理由：1九、若在可測集E上可測，則在E的任意可測子集上也可測（）。理由：20、無窮集的外測度必然不為零。（）理由：2一、若在可測集E上可測，則在E的任意子集上可測（）理由：2二、若可測集A是可測集B的子集，且，則（）理由：23、若都可測，則f在可測集E上也可測（）理由：24、若E可測，A可測，且，則。（）理由：證明題一、任意無窮集合包括一可數子集.二、若A是一種可數集合,B是一種有限集合,則是可數集.3、若A和B都是可數集合,則是可數集.4、有理數所有成一可數集。五、證明由直線上互不相交的開區間作為集A的元素，則A最多為可數集。六、空間中,{}是一種可數集合.7、證明：集合E可測的充要條件是對于任意，，總有八、設是上a.e.有限的可測函數，則對于任何及，存在持續函數，使九、證明：對，E可測的充要條件是可測。10、設函數列在E上依測度收斂于，且，a.e.于E，n=1,2,…，則在E上a.e.成立。1一、證明：可數點集的外測度為零。1二、（設函數列在有界集E上大體上一致收斂于，證明在E上a.e.收斂于13、設是n個互不相交的可測集合，，。證明：14、證明：若，，則在E上a.e.成立。1五、若，則E可測。1六、設，，，，試證。17、設A可測，B為任意集合，證明：1八、設，證明：1九、設是上的可積函數，則20、設，是上的有界可積函數，則對任何可測集，有2一、設由中掏出個可測子集，假定中任一點至少屬于這個集中的個，試證必有一集，它的測度不小于或等于。2二、試從，求證：。23、設{}為上的可積函數列，a.e.于，且，為常數，則可積。24、設在上可積，且，則a.e.于。《實變函數》試題題庫參照答案一、選擇題一、D二、C3、D4、D五、A六、B7、C八、A九、B10、C1一、C1二、D13、C14、B1五、C1六、D17、A1八、D1九、C20、A2一、B2二、C23、B24、C2五、A2六、C27、D2八、D2九、B30、D3一、A3二、B33、C34、A3五、B3六、D37、C3八、B3九、C40、B4一、B4二、D43、B44、A4五、A4六、D47、D4八、B4九、A50、B5一、A5二、D53、C54、D5五、B5六、A57、D5八、C5九、A60、D6一、A6二、B63、D64、C6五、C6六、D67、B6八、A6九、B70、C7一、D7二、C73、C74、B7五、A7六、B77、A7八、C7九、C80、D8一、B8二、A83、B84、C8五、C8六、B87、C8八、D8九、A90、A二、填空題一、；二、c；3、c；4、c；五、c；六、c；7、{x:對于任意的,有}；八、{x:存在,使得}；九、；10、；1一、；1二、；13、；14、；1五、；1六、；17、；1八、；1九、；20、；2一、；2二、；23、；24、；2五、2；2六、0；27、1；2八、；2九、；30、1；3一、；3二、；33、可測；34、有；3五、；3六、；37、可測函數；3八、點態收斂與一致收斂；3九、；40、次可數可加性；4一、可測函數；4二、可測函數；43、單調性；44、（開）；4五、推行；4六、測度；47、；4八、，（閉集）；4九、常數；50、可測函數，持續函數；5一、；5二、零測集；53、可測函數；54、依測度；5五、0；5六、0；57、0；5八、0；5九、0；60、0三、判斷題一、(√)理由:集合具有無序性二、(×)理由:舉一反例,例如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符號表達集合間的關系,不能表達元素和集合的關系.五、(×)理由:Φ表達沒有任何元素的集合,而{Φ}表達單元素集合,這個元素是Φ六、(×)理由:Φ表達沒有任何元素的集合,而{0}表達單元素集合,這個元素是07、(√)理由:按照內點的概念,內點必然是聚點八、(×)理由:舉一反例,例如:E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分九、(√)理由:有內點的概念可得.10、(√)理由:有內點的概念可得.1一、(×)理由:舉例闡明,例如:E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E.1二、(×)理由:舉一反例,例如:E=(0,1),元素1是E的內點,但不屬于E13、（×）理由:因有若，E不可測，而可測14、（√）理由:因兩可測集的并可測。1五、（×）理由:因，但1六、（√）理由:因分17、（×）理由:反例：，把是按n後按j的次序形成的函數列1八、（×）理由:因的測度也許無窮1九、（√）理由:因若（可測），則20、（×）理由:反例：自然數集外測度為零。2一、（×）理由:若是E的不可測集就不行。2二、（×）理由:反例：，23、（√）理由:因，存在單調下降趨于c的有理數列，則有，故可測。24、（√）理由:因四、簡答題一、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面驗證f是{自然數所有}到{偶數所有}的一一映射.設m{自然數所有},n{自然數所有}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)>0,則m、n為偶數，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,則m、n為奇數，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是單射。對于任意的m{偶數所有}若m=0,則有f(1)=0;若m>0,則有f(m)=m;若m<0,則有f(1－m)=m故而f是滿射。有（1）（2）得f是一一映射。二、答：令f(x)=tg((x－))，下證f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函數的性質可知f(x)是(0,1)上的嚴格單增持續函數，且f((0,1))=R因此f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg((１－x))，下證f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函數的性質可知f(x)是(0,1)上的嚴格單減持續函數，且f((0,1))=[0,]因此f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下證f是{能被3整數整除的正整數}到{正整數所有}的一一映射對于任意的3m,3n{能被3整數整除的正整數}若f(3m)=f(3n)則有m=n,因此f是單射(2)對于任意的n{正整數所有}顯然有3n{能被3整數整除的正整數}且f(3n)=n即f是滿射由（1）（2）得f是{能被3整數整除的正整數}到{正整數所有}的一一映射.五、答:令f(x)=2x當x(0,);f(x)=2x+1當x(,1).由f(x)的單調性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.六、答:令f(x)=x+1,顯然，f(x)是{奇數所有}到{偶數所有}的一一映射.7、答：因對。有這樣，故。八、答：，可測九、答：因1°分2°時3°時故cf在E上可測。10、答：設E是L可測的，F是集，則存在零測集N，使E=F+N1一、答：因而[0,1]，，都可測，故可測。1二、答：有限集，可列集，康脫爾集。分五、計算題一、解：由于有理數集的測度為0，故在上幾乎到處有這樣運用積分的性質得：=。二、解：由于有理數集的測度為0，故在上幾乎到處有這樣運用積分的性質得：=。3、解：由于有理數集的測度為0，故在上幾乎到處有。這樣運用積分的性質得：=。4、解：由于，故在上幾乎到處有這樣運用積分的性質得：=。五、解：由于，故在上幾乎到處有這樣運用積分的性質得：=。六、解：由于，故在上幾乎到處有。這樣運用積分的性質得：=。7、解：令