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第五章定積分【定積分定義與性質】假如函數在區間上持續，用分點等提成n個小區間，在每個小區間上任取一點（i=1，2，...，n），作和式當時，上述和式無限靠近某個常數，這個常數叫做函數在區間上的定積分（definite

integral），記作，即這裏，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間叫做積分區間，函數叫做被積函數，x叫做積分變量，叫做被積式．從幾何上看，假如在區間上函數持續且恒有，那么定積分

表達由直線x=a，，y=0和曲線所圍成的曲邊梯形（如下圖）的面積．這就是定積分的幾何意義．定積分的性質1．規定：，。2．線形：（、為常數）。3．可加性：。4．。5．廣義保號性：。6．不等式：。7．絕對值不等式：。8．估值不等式：，其中，。9．定積分中值定理：設，，使。函數可積的條件必要條件設在上可積一定是上的有界函數反之不一定。例：在上不可積。充足條件1．若，則在上可積。2．若在上有界且只有有限個間斷點，則在上可積。3．上的單調有界函數，在上可積。形如上式的積分，叫做變限積分。三、微積分基本公式定理1、變上限函數：推論1推論2推論3<變上限積分變化上下限，變號。><上限是復合函數的狀況求導。><上下限都是變的時候，用上限的減去下限的。>2．（原函數存在定理）設，則就是上的一種原函數。3．牛頓萊布尼茲公式（微積分基本公式）：設是在上的一種原函數，即，則它給出了持續函數求定積分的一般措施，把求定積分的問題轉化為求原函數的問題四、積分措施：換元法設，滿足①，②在或上有持續導數，其值域不超過，則分部積分法設、在上有持續導數，則推論1．，則2．，認為周期，則五、無窮限的廣義積分定義注1．設被積函數在對應區間上持續，其中2．若各式右邊的極限存在，則稱左邊的廣義積分收斂，否則稱為發散。3．，當時收斂，當時發散。六、無界函數的廣義積分定義注；1．設被積函數在對應區間上持續，且依次在點的右鄰域、的左鄰域、或的鄰域內無界，且。2．若各式右邊的極限存在，則稱左邊的廣

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