【半角模型】1、如圖，點(diǎn)M、N分別為正方形ABCD邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=45°，連接對(duì)角線BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F.初一：（1）BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系；（2）證明AN平分∠MND；（3）若AB=4，求△MNC周長(zhǎng)初二：（1）BE、DF、EF的數(shù)量關(guān)系；（2）證明；（3）若AB=5，，求BM的長(zhǎng)初三：（1）連接MF，證明AF=MF；（2）證明；（3）若，求的值2、如圖，△BCD為正三角形，△ABD為等腰三角形且∠BAD=120°，點(diǎn)M、N分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=60°，BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F.初一：（1）BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系；（2）證明AN平分∠MND；（3）若BD=4，求△MNC周長(zhǎng)初二：（1）若BE=2，DF=4，求EF的長(zhǎng)；（2）證明；（3）若AB=5，，求BM的長(zhǎng)初三：（1）連接MF，證明AF⊥MF；（2）證明；（3）若，求的值3、如圖，△ABD為正三角形，△CBD為等腰三角形且∠BCD=120°，點(diǎn)M、N分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=30°，BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F.初一：（1）BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系；（2）證明AN平分∠MND；（3）若BC=4，求△MNC周長(zhǎng)初二：（1）若BE=4，DF=2，求EF的長(zhǎng)；（2）證明；（3）若AB=9，BE=3，求BM的長(zhǎng)初三：（1）連接MF，證明AF⊥MF；（2）證明；（3）若，求的值【旋轉(zhuǎn)原理】1、如圖，等腰△ABC中，AB=AC.（1）如圖1，∠BDC=∠BAC=60°，猜測(cè)DA、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，∠BDC=∠BAC=90°，猜測(cè)DA、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖2，∠BDC=∠BAC，猜測(cè)DE、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；2、如圖，等腰△ABC中，AB=AC.（1）如圖1，∠BAC=60°，∠BDC=120°，猜測(cè)DA、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，∠BDC=∠BAC=90°，猜測(cè)DA、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖2，∠BAC=120°，∠BDC=60°，猜測(cè)DA、DB、DC數(shù)量關(guān)系并證明；（4）如圖4，∠BDC+∠BAC=180°，證明AD平分∠BDC.【對(duì)稱中心】1、如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E、F為直線BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CA上時(shí)，求直線AE、BF的夾角；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，直線AE、BF的夾角大小與否變化？（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CA上時(shí)，以AB為邊作等邊△ABD.①連接DG，直接寫出∠DGA的度數(shù)以及GA、GB、GD的數(shù)量關(guān)系；②作DH⊥AG于點(diǎn)H，猜測(cè)GA、GB、GH數(shù)量關(guān)系并證明；③在②的條件下且H在菱形ADBC內(nèi)部，若AG=8，，求菱形ADBC的面積.2、（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F、G分別為邊AD、BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BG、EF，若BG⊥EF，求證BG=EF；（2）如圖2，在菱形ABCD中，∠B＜90°，E、F分別為邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DF交于點(diǎn)G，若∠AGF=∠B，且DE：CF=2：3，試猜測(cè)AE與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別為邊CD、DE上的動(dòng)點(diǎn)，若CM=DN，求∠BGN的度數(shù)；（4）如圖4，在正六邊形ABCDEF中，M、N分別為邊CD、DE上的動(dòng)點(diǎn)，若CM=DN，求∠AGN的度數(shù)；【頭動(dòng)手拉手】1、如圖，四邊形ABCD為正方形.（1）如圖1，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分線于點(diǎn)F，求證AE=EF；（2）如圖2，E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，作EF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F，證明DE=EF；（3）如圖3，在（2）的條件下，作FM⊥AC于點(diǎn)M，證明AC=2EM.2、如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，E是BC邊上一點(diǎn)，CF//AB，連接AE、CF，∠AEF=∠BAC.（1）如圖1，若∠BAC=60°，證明AE=EF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，證明AE=EF；（3）如圖3，若EF平分∠AEC交AC于點(diǎn)G，連接AF，證明AF=AG并闡明CF、CG、CA的數(shù)量關(guān)系.【頭定手拉手】1、（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，D、M、N分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作等邊△DEF，頂點(diǎn)E恰好在CB延長(zhǎng)線上.①如圖1，連接MF，證明MF//AB；②如圖2，連接NF，證明NF通過點(diǎn)M，EM=NF.如圖3，△ABC為等腰直角三角形，D為邊AB上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)作等腰直角△DEF，頂點(diǎn)E恰好在邊BC上.①如圖3，若D為AB中點(diǎn)，連接AF，證明AF⊥BC，并闡明AF、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖4，若AB=8，BD=2，在E點(diǎn)從B到C的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段AF的最小值.2、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CE，直接寫出BP與CE的數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系；（2）如圖2，在（1）的條件下，延長(zhǎng)AP、AE