2024-2025學年第二學期高二年級第一次教學質量檢測數學時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設函數在上可導，且，則等于（）A.1 B. C. D.02.函數的單調遞增區間是A. B. C. D.3.化簡式子，得（）A. B. C. D.4.如圖，雪花形狀圖形作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形(圖①)的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則（）A. B. C. D.5.若函數在處有極大值，則實數的值為（）A.1 B.或C. D.6.已知函數是減函數，則正數（）A.9 B. C.3 D.7.已知數列滿足，，若為數列的前項和，則（）A.624 B.625 C.626 D.6508.記定義域為的函數的導函數為，且對任意的都有，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列函數的求導運算正確的是（）A. B.C. D.10.定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，以下命題正確的是（）A.函數最小值是B.在區間上單調C.是函數極值點D.曲線在附近比在附近上升得更緩慢11.已知函數定義域為R，且.當時，.若函數在上的零點從小到大恰好構成一個等差數列，則k的可能取值為（）A.0 B.1 C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等比數列滿足的等差中項為18，則_________13.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關，如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓弧），再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為_____________.14.已知函數，若函數恰有3個不同零點，則實數的取值范圍為________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在數列中，點在直線上；在等比數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.16.已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．17.已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列的前項的積為，且，求的最大值.18.若數列的首項，且滿足，令．（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）若，求的前n項和；（3）在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在互不相同的3項，，（m，k，，且）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．19.已知函數，.（1）討論函數單調區間；（2）若，證明：；（3）當時，恒成立，求取值范圍.

2024-2025學年第二學期高二年級第一次教學質量檢測數學時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設函數在上可導，且，則等于（）A.1 B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據題意結合導數的定義即得結果.【詳解】由導數定義可知：，所以.故選：A.2.函數的單調遞增區間是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數的定義域，求導，然后解不等式可得出所求的單調遞增區間．【詳解】函數的定義域為，，，解不等式，即，解得，所以，函數的單調遞增區間為，故選A．【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間，解題時注意導數符號與函數單調區間之間的關系，再者就是求出導數不等式的解集后必須與定義域取交集才行，考查計算能力，屬于中等題．3.化簡式子，得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據裂項相消求和即可.【詳解】.故選：D4.如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形(圖①)的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察圖形可得出為首項為，公比為的等比數列，即可求出.【詳解】觀察圖形發現，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎上多了其周長的，即，所以為首項為，公比為的等比數列，.故選：A5.若函數在處有極大值，則實數的值為（）A.1 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】借助極值點定義可得，即可得或，再分類進行討論排除極小值情況即可得.【詳解】，則有，解得或，當時，，則當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處有極小值，不符合題意；當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在處有極大值，符合題意．綜上可得，故選：D.6.已知函數是減函數，則正數（）A.9 B. C.3 D.【答案】C【解析】分析】根據的單調性，判斷出恒成立，利用的導函數研究的最大值，由此列方程求得的值.【詳解】由是減函數，得對任意的，都有恒成立.設.∵，，∴當時，；當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為，∴，解得.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.7.已知數列滿足，，若為數列的前項和，則（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根據給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.【詳解】數列中，，，當，時，，即數列的奇數項構成等差數列，其首項為1，公差為2，則，當，時，，即數列的偶數項構成等比數列，其首項為1，公比為，則，所以.故選：C8.記定義域為的函數的導函數為，且對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因為，可構造函數，利用導數可知，在單調遞增，即可得，化簡即可判斷出正確選項．【詳解】不妨設，因為，設，則,所以在單調遞增，所以，即，從而．故選：A．【點睛】本題主要考查利用導數解決函數的單調性問題，解題關鍵是構造出合適的函數模型，意在考查學生的數學建模能力，屬于中檔題．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列函數的求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用導數的運算法則與基本初等函數的導函數逐一求解得答案.【詳解】對于A,，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC10.定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，以下命題正確的是（）A.函數的最小值是B.在區間上單調C.是函數的極值點D.曲線在附近比在附近上升得更緩慢【答案】BD【解析】【分析】由圖形，根據導數在研究函數單調性的應用，結合極值點的概念即可判斷ABC；根據導數的幾何意義即可判斷D.【詳解】對于A：由圖可知，單調遞減，單調遞增，所以，故A錯誤；對于B：由圖可知，單調遞增，故B正確；對于C：由圖可知單調遞增，單調遞增，所以不是函數的極值點，故C錯誤；對于D：由導數的幾何意義知，，且，所以在處的切線的斜率小于處的切線的斜率，即曲線在附近比在附近上升得更加緩慢，故D正確.故選：BD11.已知函數定義域為R，且.當時，.若函數在上的零點從小到大恰好構成一個等差數列，則k的可能取值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，得到.作出的圖像，利用圖像法討論零點，分類討論求出k的值.【詳解】令，得到.由已知，，則的周期為2.其大致圖像如圖所示，由圖可知，令，得到.①當時，零點為1?3?5?7?…，滿足題意；②當時，零點為0?2?4?6?…，滿足題意；③當時，若零點從小到大構成等差數列，公差只能為1.由，得，此時；④當時，函數無零點，不符合題意.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等比數列滿足的等差中項為18，則_________【答案】【解析】【分析】先利用等比數列的性質通過求出，再根據條件可得，進而根據等比數列的性質可得.【詳解】，得所以，，得因為，故答案為：.13.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關，如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓弧），再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為_____________.【答案】【解析】【分析】根據題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結合等差數列的通項公式和求和公式分析運算.【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設第段圓弧的半徑為，則可得，故數列是以首項，公差的等差數列，則，則“蚊香”的長度為.故答案為：.14.已知函數，若函數恰有3個不同零點，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據，為開口向下的二次函數，而時，利用導數求解單調性，進而可得極值，結合三個零點即可得，進而可求解.【詳解】當時，函數，在上單調遞增，在上單調遞減；此時最大值為，當時，，則當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減,此時函數極大值為，且當時，fx=xex>0由于，所以函數恰有3個不同零點，則，所以．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在數列中，點在直線上；在等比數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題可得通項公式，然后由題目條件結合等比數列知識可得通項公式；（2）由分組求和法可得答案.【小問1詳解】易知故求數列的通項公式分別為.【小問2詳解】由（1）知：設數列的前項和為，數列的前項和為，則則數列的前n項和.16.已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求單調區間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）應用導數的幾何意義求切線方程；（2）根據極值點求得，再應用導數研究函數的單調區間和最值即可.【小問1詳解】當時，，則，∴，則在點處的切線方程為；【小問2詳解】因為，由題意，解得，檢驗符合，故，列表如下：400增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，減區間為．由解析式易知，當時；當時，且，所以．綜上，的增區間為、，減區間為，.17.已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列的前項的積為，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據，求出為首項為2，公比為2的等比數列，求出通項公式；（2），求出，由函數單調性知，只需求出的最大值，配方得到其最大值，得到答案.【小問1詳解】①，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，即，故為首項為2，公比為2的等比數列，所以；【小問2詳解】，所以，因為在R上單調遞增，所以只需求出的最大值，其中，又，所以當或時，取得最大值，最大值為，所以的最大值為.18.若數列的首項，且滿足，令．（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）若，求的前n項和；（3）在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在互不相同的3項，，（m，k，，且）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據給定的條件，結合等比數列定義推理得證，進而求出通項公式.（2）由（1）的信息求出，再利用錯位相減法，結合等比數列前n項和公式求解.（3）根據給定條件，結合（1）的結論求出數列的通項，再利用等差中項以及等比中項的性質推理得證.【小問1詳解】由，得，而，則，又，所以數列是等比數列，，.【小問2詳解】由（1）知，，，則，兩式相減得，所以【小問3詳解】依題意，，即，解得，假設在數列中存在不相同的3項（其中成等差數列）成等比數列，則，即，則，由成等差數列，得，因此，整理得，則，與互不相等矛盾，所以在數列中不存在三項（其中成等差數列）成等比數列【點睛】方法點睛：錯位相減求和適用于數列是等差數列，是等比數列，求數列的前n項和的問題，一般是和