錄值娥型虎JL*族我型

最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查,逆等線模型主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類

考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應試題分

析，方便掌握。

目錄

例題講模型..............................................................................1

模型1.最值模型一逆等線模型（三角形邊上的逆等線）.....................................1

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）........................................3

模型3.景值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）........................................4

模型4.就值模型一逆等線模型（樸殊平行四邊形的逆等微）................................6

模型5.最值模型-小權逆等線模型.....................................................7

習題練模型..............................................................................9

例題講模型

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）

逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE,即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。

逆等線模型特點:動線段長度相等，并且位置錯開。

條件:如圖，在△ABC中，418。=a,及7=館，47=九,點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE,求

CD+BE的最小值。

n

a

證明思路:①A。在△A。。中，以CE為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點C作CF〃AB,且CF=AC。（構造一邊一角，得全等）;③構造出2ADC也/XCEF（SAS）；證出

=CD；

④CD+BE=EF+BE,根據兩點之間，線段最短，連接BF,則BF即為所求，此時,B、E、F三點共線;

⑤求BF。構造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。

1.（23-24九年級上?廣東廣州?期中）在等邊三角形△ABC中，邊AB上的點D從頂點A出發，向頂點B

運動，同時，邊8。上的點E從頂點B出發，向頂點。運動，兩點運動速度的大小相等，設

40,9=AE+CD,y與C的函數圖象如圖，圖象過點（0,4）,則圖象最低點的縱坐標是（）

2.（23—24九年級上.江蘇無錫.期末）如圖，在等腰△4BC中，=AC=5,6,點D、E分別是

AB.AC上兩動點，且AD=CE^^CD、BE,CD+BE最小值為.

3.（23—24九年級下?廣東廣州?階段練習）如圖，在電ZVLBC中，48=3,AC=4,ZBAC=90°,D,E

分別是邊AB,AC上的動點，且3。=AE,則CD+BE的最小值為

4.（24—25八年級上■四川成都?期中）如圖，在△4BC中，N4BC=45°,NR4C=75°,AC=2,點E與點

D分別在射線與射線4D上，且AD=8E,則AE+的最小值為,AE+ED的最小值

為.

模型2.最值模型一逆等線模型（非邊上的逆等線）

條件:已知三角形ABC中，4B=a,=6,CD為高，CE=BF,求AF+BE的最小值。

證明JB路:①CE在△BEC中，以BF為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點口作BG〃CE,且BG=BC=b。（構造一邊一角，得全等）;

③構造出△BECn/\GFB(SAS)；證出EB=FG；

@AF+BE^AF+FG,根據兩點之間，線段最短，連接AG,則AG即為所求，此時，4F、G三點共線;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

1.（2024?安徽合肥?一模）如圖，為等邊△ABC的高，E、斤分別為線段AC上的動點，且AE=

CF,當BF+CE取得最小值時，ZAFB=

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

2.（2023?四川成都?一模）如圖，在三角形△ABC中，ABAC=50°,AB=AC,8。，47于。，M,N分

別是線段上的動點，⑻W=CN,當⑷W+AN最小時，4MAD=

3.（2024.四川樂山.二模）如圖,等腰AABC中,ABAC=100°,BD平分/ABC,點N為BD上一點,點

M為上一點，且BN=MC,若當4W+4V的最小值為4時，AB的長度是

模型3.最值模型一逆等線模型（同邊上的逆等線）

條件：已知在Rt^ABC中,AACB=90°,AB=a，點E、。是線段4B上的動點,且滿足AD=BE,

求CD+CE的最小值。

c

證明思路:①BE在ABEC中，以人。為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點人作且AF=BC=b。（構造一邊一角，得全等）;

③構造出ABEC空/\ADF（SAS）；證出CE=FD；

④CD+CE=CD+即,根據兩點之間，線段最短，連接CF,則CF即為所求，此時，F、。、。三點共線;

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明FC=也可。

4.（23-24八年級上?北京朝陽?期末）如圖，Rt/XABC^,AACB=9Q°,AB=30°,D,E為AB邊上的兩

個動點，且4D=8E,連接CD,CE,若4。=2,則。0+0￡；的最小值為

5.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖,在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和F,連接

BE和BF,若AE=CF,AC-AB=9,AC—2,則BE+口尸的最小值是

模型4.最值模型-逆等線模型（糊稈行四邊形的逆等線）

特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。

條件：已知在矩形ABCD中，AD=a,AB=6,點E、F是邊BD上的動點,且滿足BE=DF,

求AF+AE的最小值。

證明思路:①跳;在△ABE中，以DF為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點A作ZFDG=/ABE=90°,且OG=AB=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出4ABE空△GDF（SAS）；證出力E=FG；

@AF+AE=AF+FG,根據兩點之間，線段最短,連接AG,則AG即為所求，此時，4F、G三點共線;

⑤求AG。先利用相似求出和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條

線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。

1.（2023?山東德州?校考一模）如圖,在菱形4BCD中，N4BC=60°,4B=4,E,F分別是邊和對角

線8D上的動點，且BE=。尸，則AE+AF的最小值為.

2.（2023?陜西西安?模擬預測）如圖，矩形4BCD中，4B=6,AD=8,點E、F分別是邊及7和對角線

口。上的例2.動點，且=則AE+4F1的最小值是

3.（2024?福建南平?一模）如圖,在菱形ABCD中，4B=2,AABC=120°，點瓦尸分別在48,CD上，且

=連接小，人尸，則OE+AF1的最小值為.

模型5.量值模型一加權逆等線模型

條件：已知在/\ABC中，/ACB=a,AB=a,AC=b,點、E、D是線段AB,BC上的動點,且滿足BE=k-

AD,

求+的最小值。

證明思路:①AD在XADC中，以跳;為一邊構造另一個三角形與之相似，這個也叫做一邊一角造相似；

②即過點8作2EBF=ADAC=90°,且BF=%?4。=筋。（構造一邊一角，得相似）；

③構造出AEBF^ADAC（SAS）；證出EF=k-DC-,

④40+上。。=40+的,根據兩點之間,線段最短,連接人干,則AF即為所求，此時，A、F、E三點共線;

⑤求AF。先確定/GBF=/4CB=a,再利用三角函數求出BG和FG,最后利用勾股定理求出AF即可。

1.（24—25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在等邊△ABC中，BC=6,分別是邊AB、AC上

的動點,且滿足CF=2BE,則BF+2CE的最小值為

2.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，4B=5,BC=6,E、F分別為BC、

CD上的動點，且6E=2DF，則DE+2AF的最小值為.

3.（2024?四川成都?校考一模）如圖，平行四邊形ABCD,AB>AD,AD=4：,AADB=60°,點E、F為對

角線3。上的動點，￡?=2BF,連接AE、CF,則AB+2CF的最小值為.

4.（2024?吉林?模擬預測）如圖，在菱形4BCD中，AB=4,ZABC=60°,斤分別是80,CD上的

點，若BE=2CF，則[斤+]AE的最小值是.

E

BC

習題練模型

1.（23—24九年級上?河南安陽?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線人。上有兩動點E和F,連接

BE和若AE=CF,AC—AB=4,AC—BC=2,則+B尸的最小值是（）

C.6D.20

2.（2024.河南商丘.八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為邊上的高,點M、N分別在AD.AC1.,

且4W=CN,連BAl'BN,當BM+8N最小時，的度數為（）

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

3.（23-24八年級下?安徽安慶?期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,尸分別是BC,CD邊上的動

點，且BE=CF.（1）若BE=CF=1,則人石+人夕=；（2）AE+A尸的最小值為.

4.（2024.四川綿陽.三模）在Rt/\ABC中,ABAC=90°,AB=AC,點。，E分別為48,上的動點,

且AD=BE,AB=3四.當AB+CD的值最小時，CE的長為.

E

5.（23-24八年級下?江蘇宿遷?期末）如圖，邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,E,尸分別是4D,

BD上的動點，DE=連4F,CE,則人尸+CE的最小值為.

6.（23-24八年級上?四川成都?期末）在△4BC中，ABAC=90°,AB=5,AC=^~,D,E分別為射線

O

與射線AC上的兩動點，且=連接入。，點,則人。+跳；最小值為；\AD-BE\的

最大值為

7.（2024.陜西西安.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E、F分別是對角線人。和邊CD上的動點，滿

足AE=DF.當BE+8尸=2通時，線段CF的長度為.

8.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，48=2,40=4,E、斤分別是邊CD、AD

上的動點，且CE=。尸.當+CF的值最小時，則CE=.

9.（2024.湖北武漢.二模）如圖，M為矩形4BCD中邊中點，E、尸分別為反入CD上的動點，且BE

=2。尸,若AB=1,口。=2,則知石+2人尸的最小值為

10

M

AD

F

BEC

10.（23—24九年級上.福建福州?期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，46=2四，8c=6,NADC=

120°,點E,尸分別在邊AD,AB上運動，且滿足連接BE,CF,則。尸+四班的最小值

是.

11.（2024.黑龍江綏化.模擬預測）如圖：等邊三角形/及7中，1,E、尸分別是邊48、47上的動點,

且CF=28E,則BF+2CE的最小值為.

12.（2024.山東濟南?二模）如圖，在正方形ABCD中，夙斤分別是BC、CD邊上的動點，且BE=2CF,若

4B=1,則DE+2BF的最小值是.

13.（23—24九年級上?陜西咸陽?階段練習）如圖，在△ABC中，48=4,AC=6,以點8為直角頂點、

為直角邊向下作直角"CD,且8C=2皿,連接40,則AD的最大值是.

A

D

14.（23—24九年級上.四川成都.期末）如圖所示，在矩形4BCD中，4B=4,8C=3,E,尸分別是AC,

CD上的動點，且然=已連接8后,8斤，當E為入。中點時，則BE+瓦』；在整個運動過程

CJT0

中9的最小值為

O

15.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖,在菱形ABCD中，乙4=22B,AB=2,點E和點尸分別在邊48和

邊上運動，且滿足AE=CR，則。尸+CE的最小值為（）

A.4B.V3+V7C.2V3D.6

16.（23—24九年級上?四川成都?開學考試）如圖，在矩形4BCD中，AB=2,ZACB=3Q°,P,O分別為

對角線AC邊CD上的兩點，且4P=CQ,BP+的最小值為.

17.（2024?江蘇連云港?中考真題）【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形

面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖