第05講一次方程（組）［2大考點12大題型】

知識網(wǎng)絡

題型1等式的性質(zhì)及一元一次方程的概念

題型2—元一次方程的解法

題型3由一元一次方程的解求值

題型4-元一次方程與一次函數(shù)

題型5由實際問題*象出一元一次方程

題型6一元一次方程的應用

題型7三元一次方程（組）的解法

題型8由二元一次方程（組）的解求值

考點二二元一次方程題型9三元一次方程組與一次函數(shù)

（組）及其應用題型10由實際問題抽象出二元一次方程（組）

一次方程（組）題型11二元一次方程（組）的應用

題型12二元一次方程（組）的解法及其應用

新考向：新考法）

新考向：新趨勢j

特色專項練

新考向：新情境

新考向：跨學科

1.方程

定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2.方程的解

定義：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3.等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式。

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結果仍是等式。

4.一元一次方程

定義:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=O（x

為未知數(shù)，a/））叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。

典例分析

【題型1等式的性質(zhì)及一元一次方程的概念】

【例1】（2024?青海?中考真題）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若?=g則a=6B.若ac=be,則a=b

C.若。2=/,則a=6D.若一?|x=6,貝!]x=-2

【變式1-1]（2024?四川南充?中考真題）關于萬的一元一次方程2/-2+爪=4的解為％=1,貝必+6的值為

（）

A.9B.8C.5D.4

【變式1-2]（2024?貴州，中考真題）小紅學習了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入

▲"三種物體，如圖所示，天平都保持平衡.若設"?"與"?"的質(zhì)量分別為X,乃則下列關系式正確的

是（）

ZK~ZK~1

甲乙

A.x=yB.x—2yC.x=4yD.x—5y

【變式1-3]（2024?安徽?中考真題）已知實數(shù)a,b,c滿足a+b=ab=c,有下列結論：

①若80,則打，=1；

②若a=3,則b+c=9；

③若a=b=c,貝!Jabc=0；

④若a,b,c中只有兩個數(shù)相等，則a+b+c=8.

其中正確的是—.（把所有正確結論的序號都選上）

【題型2一元一次方程的解法】

【例2】（2024?浙江杭州?一模）某同學解方程%-獸x=1的過程如下框：

兩邊同時乘以10,得京-孑=10......①

合并同類項，得9=10……②

系數(shù)化1,得久=60……③

請寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程.

【變式2-1］（2024?江蘇徐州?中考真題）解方程亨-1=亨.

4o

【變式2-2］（2024?山東濟南?中考真題）代數(shù)式平與代數(shù)式3-2x的和為4,貝詠=—.

【變式2-3］（2024?山東煙臺?中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的"洛書".把洛書用今

天的數(shù)學符號翻譯出來，就是一個三階幻方.將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每

一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15,則a的值為.

【題型3由一元一次方程的解求值】

【例3】（2024?湖北?中考真題）對于實數(shù)碼九，定義運算m*九二（zn+2）2-2幾.若2*。=4*（-3）,則

a=____

【變式3-1］（2024?重慶?中考真題）若關于x的方程爰+a=4的解是x=2,則。的值為.

【變式3-2］（2024?河北邯鄲?三模）已知關于x的方程4%+26=3%+1的解比方程3刀+2爪=6刀+1的解

大5,求這兩個方程的解.

【變式3-3］（2024?云南曲靖?一模）若不論左取什么實數(shù)，關于x的方程竽-^=1（a、b是常數(shù)）的

3o

根總是x=L則a+b=（）

A“.-1B-.3-C_.—1—D-.3——

【題型4一元一次方程與一次函數(shù)】

【例4】（2024?山西大同?一模）"人說山西好風光，地肥水美五谷香”.山西復雜的地形、多樣的氣候、豐

富的雜糧品種資源，使山西成為“小雜糧王國"，某雜糧經(jīng)銷商對本地購買20袋以上雜糧的客戶有兩種銷售

方案（客戶只能選擇其中一種方案）：

方案出每袋30元，由經(jīng)銷商免費送貨；

方案8：每袋26元，客戶需支付運費200元.

（1）請分別寫出按方案4方案2購買該雜糧的應付款》（元）與購買量x（箱）之間的函數(shù)表達式;

（2）某單位計劃購買該經(jīng)銷商的雜糧，選擇哪種方案更省錢？

【變式4-1］（2024?山西太原?二模）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是0或8時，輸出

的V值相等，貝化等于（）

A.-16B.-10C.-8D.-2

【變式4-2］（2024?湖北黃岡?中考真題）釣魚島自古就是中國領土，中國政府已對釣魚島開展常態(tài)化巡邏.

某天，為按計劃準點到達指定海域，某巡邏艇凌晨1：00出發(fā)，勻速行駛一段時間后，因中途出現(xiàn)故障耽

擱了一段時間，故障排除后，該艇加快速度仍勻速前進，結果恰好準點到達.如圖是該艇行駛的路程y（海

里）與所用時間1（小時）的函數(shù)圖象，則該巡邏艇原計劃準點到達的時刻是.

【變式4-3］（2024?江蘇連云港?中考真題）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎、年為

計算周期設定了如下表的三個氣量階梯：

銷售價

階梯年用氣量備注

格

第一0-400m3（含400）的2.67元/

階梯部分m3

若家庭人口超過4人的，每增加1人，第一、二階梯年用氣

量的上限分別增加100n?、200m3.

第二400-1200m3（含3.15元/

階梯1200）的部分m3

第三3.63元/

"OOn?以上的部分

階梯m3

⑴一戶家庭人口為3人，年用氣量為200m3,則該年此戶需繳納燃氣費用為元；

⑵一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為xm3（x>1200）,該年此戶需繳納燃氣費用為y元，求y與工的函數(shù)

表達式；

⑶甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3855元，求該年乙戶

比甲戶多用多少立方米的燃氣？（結果精確至Uln?）

【題型5由實際問題抽象出一元一次方程】

【例5】（2024?江蘇無錫?中考真題）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨）,大意如下：野

鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，

經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過x天相遇，則下列方程正確的是（）

1111

A.-x+-x=1B.y%--%=1C.9%+7%=1D.9x—7x=1

【變式5-1】（2024?福建?中考真題）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快,

第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%,求去年第一季度社會消費品零售總

額.若將去年第一季度社會消費品零售總額設為無億元，則符合題意的方程是（）

A.（1+4.7%）X=120327B.（1-4.7%）^^120327

1+4.7%=120327D.if、％=120327

【變式5-2］（2024?江蘇宿遷?中考真題）《孫子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車,

剩九人步，問人與車各幾何？設有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為（）

A.3（x+2）=2X-9B.3（x+2）=2x+9

C.3（X-2）=2x-9D.3（X-2）=2x+9

【變式5-3］（2024?廣東廣州?中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車

的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車X輛，根據(jù)題意，可列

方程為（）

A.1.2%+1100=35060B.1.2x-1100=35060

C.1.2（%+1100）=35060D.x-1100=35060X1.2

【題型6—元一次方程的應用】

【例6】（2024?遼寧?中考真題）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時排水，乙池的

排水速度是8m3/h.若排水3h,則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍.

⑴求甲池的排水速度.

⑵工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于24m3,那么最多可以排水幾小時？

【變式6-1］（2024?山東?中考真題）常言道：失之毫厘，謬以千里.當人們向太空發(fā)射火箭或者描述星際

位置時，需要非常準確的數(shù)據(jù).1"的角真的很小.把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度

數(shù)是1。.1。=60，=3600”.若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數(shù)就是

1".太陽到地球的平均距離大約為1.5X108千米.若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為1”的等腰三

角形底邊長為（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

【變式6-2］（2024?浙江?中考真題）古代中國的數(shù)學專著《九章算術》中有一題："今有生絲三十斤，干之,

耗三斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？"意思是："今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中

國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？"則原有生絲為斤.

【變式6-3］（2024?北京?中考真題）為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面

實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，"標準"要求4類物質(zhì)排放量不超過35mg

/km,A,B兩類物質(zhì)排放量之和不超過50mg/km.已知該型號某汽車的4B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/

km.經(jīng)過一次技術改進，該汽車的4類物質(zhì)排放量降低了50%,B類物質(zhì)排放量降低了75%,A,8兩類物質(zhì)

排放量之和為40mg/km,判斷這次技術改進后該汽車的4類物質(zhì)排放量是否符合"標準”，并說明理由.

1.一元二次方程定義:

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0（a^0）,它的特征是：等式左邊十一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax?

叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

典例分析

【題型7二元一次方程（組）的解法】

【例7】（2024?浙江?中考真題）解方程組：｛?￡7,1?10

【變式7-1］（2024?浙江衢州?中考真題）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y=8的是（）

A.｛；口B.限：C.｛--1D./

【變式7-2]（2024?江蘇南通?中考真題）若實數(shù)％,y,租滿足％+y+m=6,3x-y+m=4,則代數(shù)式-2%y+1

的值可以是（）

A.3B.—5C.2D.—3

【變式7-3]（2024?山東濱州?中考真題）若關于x、y的二元一次方程組｛蒙附；鼠的解是｛；；；,則關

于a、b的二元一次方程組｛需端；嚅瑞士的解是一.

【題型8由二元一次方程（組）的解求值】

【例8】（2024?甘肅天水?中考真題）已知a+2匕=3，3a+4b=3,貝必+6的值為.

【變式8-1]（2024?四川眉山?中考真題）已知關于x,y的二元一次方程組｛%；；：盥的解滿足x—y=4,

則m的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【變式8-2】（2024?四川瀘州?中考真題）關于x,y的二元一次方程組。的解滿足久+y>2

近,寫出a的一個整數(shù)值________.

【變式8-3】（2024?山東濟寧?一模）已知k為整數(shù)，關于x,y的二元一次方程組二道3的解滿足

2023〈久-y<2025,則整數(shù)k值為（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【題型9二元一次方程組與一次函數(shù)】

【例9】（2024?黑龍江綏化?中考真題）某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準備租用4、B兩型客車（每種型

號的客車至少租用一輛）.4型車每輛租金500元，B型車每輛租金600元.若5輛4型和2輛8型車坐滿后共

載客310人；3輛力型和4輛B型車坐滿后共載客340人.

產(chǎn)（千米）

300z/

00.53.5f（小時）

（1）每輛4型車、B型車坐滿后各載客多少人？

（2）若該校計劃租用4型和B型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人載至目的地.該校有

幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

⑶在這次活動中，學校除租用4B兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運輸車.已知從學校到夏令營目的

地的路程為300千米，甲車從學校出發(fā)0.5小時后，乙車才從學校出發(fā)，卻比甲車早0.5小時到達目的地.下

圖是兩車離開學校的路程s（千米）與甲車行駛的時間t（小時）之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象信息，求甲乙兩

車第一次相遇后，t為何值時兩車相距25千米.

【變式9-1］（2024?浙江寧波?一模）小聰和小慧去某風景區(qū)游覽，約好在飛瀑見面.上午9：00,小聰從塔

林出發(fā)，沿景區(qū)公路（如圖1）步行15分鐘至草甸，休息若干分鐘后搭乘景區(qū)班車趕往飛瀑，車速為36

km/h.小慧也于上午9：00從古剎出發(fā)，騎自行車前往飛瀑.兩人離古剎的路程y（米）與時間支（分）的

函數(shù)關系如圖2所示.已知古剎與塔林的路程為1500m.

（1）求小聰步行時離古剎的路程y（米）與時間x（分）的函數(shù)表達式.

（2）求小聰乘坐景區(qū)班車的時間.

（3）若小慧比小聰早到2分鐘，求兩人幾時幾分相遇.

【變式9-2］（2024?山東濟寧?中考真題）某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內(nèi)，銷售量

J（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數(shù)關系，其部分圖象如圖所示.

⑴求這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式;

(2)在這段時間內(nèi)，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多

少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【變式9-3](2024?湖北鄂州?中考真題)已知直線尸9+2與函數(shù)尸卷二?的圖象交于/，3兩

點(點/在點3的左邊).

(1)點N的坐標是；

(2)已知。是坐標原點，現(xiàn)把兩個函數(shù)圖象水平向右平移加個單位，點a8平移后的對應點分別為4,

B',連結OW,OB'.當加=時，104-02'|取最大值.

【題型10由實際問題抽象出二元一次方程(組)】

【例10](2024?天津?中考真題)我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠"問題："今有雞兔同籠，

上有三十五頭，下有九十四足.問雞兔各幾何."設有x只雞，y只兔，根據(jù)題意，可列方程組為.

【變式10-1】(2024?四川成都?中考真題)中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了這樣一個題目：今有共

買璉，人出半，盈四；人出少半，不足三.問人數(shù)，現(xiàn)價各幾何？其大意是：今有人合伙買班石，每人出

錢，會多出4錢；每人出?錢，又差了3錢.問人數(shù)，璉價各是多少？設人數(shù)為X,現(xiàn)價為y,則可列方程組

為()

Cy=-x+4(y=-%—4(y=-x-4fy--x+4

A.?B.i2C.?D.2i

(y=-x+3(y=-x+3[y=-x-3(y=-x-3

【變式10-2](2024?遼寧營口?中考真題)2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公

頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃.1臺大收割機和1臺小收割機每小時

各收割小麥多少公頃？設1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥x公頃和y公頃，根據(jù)題意，可列

方程組為()

A]2(5x+2y)=3.6(2(3x+2y)=8

I5(2x+3y)=815(2%+5y)=3.6

「12(2久+5y)=3.6r2(2%+5y)=8

,I5(3%+2y)=8,15(3%+2y)=3.6

【變式10-3】(2024?山東泰安?中考真題)我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價"問題，其內(nèi)容大致如下：

用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若…，…，試問買甜苦果各幾個？若設買甜果x個，買苦果y

個，列出符合題意的二元一次方程組：^x+iy=999-根據(jù)已有信息，題中用"…，…"表示的缺失的條件

應為()

A.甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢

B.甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢

C.甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢

D.甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢

【題型11二元一次方程（組）的應用】

【例11】（2024?貴州?中考真題）為增強學生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習慣和品質(zhì)，某校組織學生參加勞動

實踐.經(jīng)學校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學生參加種植甲、乙兩種作物.如果種植3畝甲作物和2畝乙作

物需要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學生.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？

⑵種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？

【變式11-1】（2024?四川宜賓?中考真題）某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4

千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝.該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，

則所裝的箱數(shù)最多為（）

A.8箱B.9箱C.10箱D.11箱

【變式11-2］（2024?浙江溫州?中考真題）一瓶牛奶的營養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，碳

水化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g.設蛋白質(zhì)、脂肪的含量分別為x（g）,y（g）,可列出方程為（）

5533

A.-%+y=30B.x+-y=30C.-x+y=30D.%+-y=30

【變式11-3】（2024?山西?中考真題）健康中國，營養(yǎng)先行.今年5月12日-18日是第十屆全民營養(yǎng)周，社

區(qū)食堂在全民營養(yǎng)周到來之際，推出系列營養(yǎng)套餐，其中營養(yǎng)套餐/的菜品如下圖所示.

菜品：清蒸魚塊滑炒雞丁素炒時蔬主食水果

主要食材：草魚雞胸肉芹菜、西蘭花粳米蘋果

⑴該套餐中的蛋白質(zhì)和脂肪這兩類營養(yǎng)素主要來自清蒸魚塊和滑炒雞丁，每100克清蒸魚塊和滑炒雞丁中

的蛋白質(zhì)和脂肪含量如下表所示.按配餐要求，每份套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品提供的蛋白質(zhì)、

脂肪量應分別為34克、24.8克、求每份該種套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品各有多少克；

清蒸魚塊（每100克）滑炒雞丁（每100克）

蛋白質(zhì)（克）1615

脂肪（克）814

⑵按配餐要求，每份素炒時蔬中芹菜與西蘭花共260克，已知每100克芹菜與每100克西蘭花分別含有1.5

克、2.5克的膳食纖維，若要使每份素炒時蔬中所含的膳食纖維不少于5克，則每份素炒時蔬中西蘭花至少

有多少克？

【題型12三元一次方程（組）的解法及其應用】

【例12】（2024?浙江溫州?中考真題）【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程

相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等.

【素材2】設游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘.小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時

25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間f的關系（部分數(shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處,

他到出口還要走10分鐘.

【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（）

【變式12-1]（2024?四川成都?中考真題）在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，稱小正方形的頂點為“格

點"，頂點全在格點上的多邊形為“格點多邊形格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上

的格點數(shù)記為L例如，圖中的三角形2BC是格點三角形，其中S=2,N=0,L=6；圖中格點多邊形DEFG"/

所對應的S,N,工分別是.經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，任意格點多邊形的面積S可表示為5=。可+4+的其中

a,b,c為常數(shù)，則當N=5,L=14時，S=.（用數(shù)值作答）

【變式12-2］（2024?黑龍江?中考真題）某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃

出資500元全部用于采購4B,C三種圖書，/種每本30元，3種每本25元，C種每本20元，其中/種

圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【變式12-3】（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別

命名為甲槽、乙槽、丙槽.有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，

且每個小球所標數(shù)字互不相同.作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入

不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽

小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作.再重復以上操作兩次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和

分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從

"甲槽"、"乙槽"、"丙槽"中選填）.

特色專項練

【新考向：新考法】

1.（2024?浙江紹興?中考真題）若關于x,y的二元一次方程組的解為則多項式N可以

是—（寫出一個即可）.

2.（2024?陜西?中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任

務量，若小峰單獨完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h.當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃

球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務.小峰和爸爸這次一共打掃了3h,求這次小峰打掃了多長時

間.

3.（2024?重慶沙坪壩,模擬預測）若一個四位正整數(shù)赤3滿足：a+c=b+d,我們就稱該數(shù)是"交替數(shù)"，

則最小的"交替數(shù)”是;若一個"交替數(shù)""滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15,且十位數(shù)字與個

位數(shù)的和能被5整除.則滿足條件的"交替數(shù)”加的最大值為.

4.（2024?山西大同?模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結果之后，返回去求原變量的結果，

換元法是數(shù)學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學問題，若能根據(jù)問題的特點進行巧妙的換元，

則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明.

例1：計算：20163-2015X2016x2017.

解：設2016=久，貝!J原式=，一（久一1）?%（x+1）=%3—%（久2一1）=%=2016.

請你利用上述方法解答下列問題:

⑴計算：123456789X123456786-123456788X123456787；

（2）已知方程組出院空熱的解是｛kbl,則方程組舄儲））二焉的解是

【新考向：新趨勢】

1.（2024?浙江,中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉.小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑

步時中間休息了兩次.跑步機上C檔比8檔快40米/分、3檔比/檔快40米/分.小明與小麗的跑步相關

信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間/（分）的函數(shù)關系如圖所示.

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00?16:50不分段/檔4000米

第一段3檔1800米

第一次休息

小麗16:10?16:50第二段3檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

⑴求A,B,C各檔速度（單位：米/分）；

（2）求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；

⑶小麗第二次休息后，在。分鐘時兩人跑步累計里程相等，求。的值.

2.（2024?湖北孝感?模擬預測）低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深."低

碳環(huán)保，綠色出行“成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行.陽光公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，

其中甲型自行車進貨價格為每臺500元，乙型自行車進貨價格為每臺800元.該公司銷售3臺甲型自行車和1

臺乙型自行車，可獲利550元，銷售2臺甲型自行車和1臺乙型自行車，可獲利400元.

⑴該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？

（2）為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共20臺，且資金不超過12400元，最多可以

購買乙型自行車臺.

3.（2024?廣東珠海?三模）閱讀下面材料，并完成相應的學習任務.

"整體思想"是數(shù)學解題中的一種重要思想方法，數(shù)學課上，張老師給出了一個問題：已知實數(shù)〃2,〃滿足

{4（m+nHn=1（2）-求爪+n和"f的值.

小真：利用消元法解方程組，分別求出小，"的值后，再代入爪+n和即可.

小善：由①，得租+九=2,③

將③代入②，得4x2+71=5,解得幾=一3,

把71=-3代入③,解得m=5,

所以原方程組的解為{7:3、

張老師對兩位同學的講解進行點評，指出小善同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中的"整體思想”的運用，請你參考小善

同學的做法，完成以下兩個任務.

f2a-3b-5=0

（1）任務一：解方程組fa-3b+2+6=0

（2）任務二：在（1）的前提下取a,6的值，若拋物線y=a久2+b久+C與X軸有唯一的交點，求此拋物線的

解析式.

【新考向：新情境】

1.（2024?陜西咸陽?三模）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》，如圖所示的程序框

圖，當輸入尤的值為4時，根據(jù)程序計算，輸出的結果為5；當輸入x的值為3時，根據(jù)程序計算，輸出的結

果為7,請你計算該程序框圖中a力的值.

2.（2024?重慶?模擬預測）定義：如果一個三位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且滿足百位上的數(shù)

字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)等于十位上的數(shù)字，則稱這個三位數(shù)為開合數(shù).設/為一個開合數(shù)，將/的百

位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后得到的新數(shù)再與N相加的和記為e（4）.例如：852是"開合數(shù)"，貝腫

(852)=852+258=1110.

已知開合數(shù)m=103+10萬（。＜久W9,且為x整數(shù)），貝I］巾（m）=：

若三位數(shù)/是一個開合數(shù)，若百位數(shù)字小于個位數(shù)字,,且中（4）能被個位數(shù)字與百位數(shù)字

的差整除，則力=.

【新考向：跨學科】

1.（2024?四川成都?一模）待定系數(shù)法是確定函數(shù)表達式的常用方法，也可用于化學方程式配平.石青［xCuC

△

。3-yCu（OH）2］加熱分解的化學方程式為：xCuCO3-yCu（OH）2^^3CuO+H2O+%CO2T,其中x,y為正整

數(shù)，則yr=

2.（2024,江蘇鎮(zhèn)江?模擬預測）古秤是一種人類智慧的產(chǎn)物，也是華夏文明的瑰寶之一.如圖，我們可以

用秤蛇到秤紐（秤桿上手提的部分）的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量，稱重時，若秤鉤所掛物重為工

（斤），秤坨到秤紐的水平距離為y（cm＞下表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù):

3.（2024?四川南充?中考真題）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m,當

動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力.（杠桿原理：阻力X阻力臂=動力X

動力臂）

中考真題練

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）把方程含-岑薩=1中的分母化為整數(shù)，正確的是（）

x17-2%,10%17-2%Y-10%17-20%,八10%17-20%〃

A?丁丁=1B.〒一—=1C.————=10D.——--=1

2.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）一商店以每件150元的價格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%,

另一件虧損25%,則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是（）

A.虧損20元B.盈利30元C.虧損50元D.不盈不虧

3.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）點尸?y）在直線y=-.x+4上，坐標?y）是二元一次方程5x-6y=33

的解，則點P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024?山東?中考真題）根據(jù)以下對話，

1班所有人的身高2班所有人的身高

均不超過180cm.均超過140cm.

哦，我發(fā)現(xiàn)，1班夕?

我發(fā)現(xiàn)，1班同學的

最高身高與2班同學的最同學的最低身高與2班（一

同學的最低身高之和為班班長

1班班長高身高之和為350cm.2

290cm.

給出下列三個結論：

①1班學生的最高身高為180cm；

②1班學生的最低身高小于150cm；

③2班學生的最高身高大于或等于170cm.

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.（2024?浙江溫州?中考真題）【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等,

⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等.

【素材2】設游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘.小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時

25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間z的關系（部分數(shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處,

他到出口還要走10分鐘.

【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（）

6.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在口48CD中，ZB=60°,AB=6cm,8C=12cm./點尸從點/出

發(fā)、以lcm/s的速度沿ArD運動，同時點0從點C出發(fā)，以3cm/s的速度沿C-B-CT…往復運動，當點尸

到達端點。時，點。隨之停止運動.在此運動過程中，線段PQ=C。出現(xiàn)的次數(shù)是（）

7.（2024?湖北隨州?中考真題）幻方是相當古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一

九宮圖.將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對角線上的數(shù)字之

8.（2024?湖北孝感?中考真題）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列成g-1，3,-9,27,-81，.…若其中某

三個相鄰數(shù)的和是-567,則這三個數(shù)中第一個數(shù)是.

9.（2024?湖南湘西?中考真題）若關于x的方程3x-kx+2=0的解為2,則k的值為.

10.（2024?黑龍江綏化?中考真題）某班為獎勵在數(shù)學競賽中成績優(yōu)異的同學，花費48元錢購買了甲、乙

兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元，則有種購買方案.

11.（2024,內(nèi)蒙古呼倫貝爾,中考真題）《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，其中一次

方程組是用算籌布置而成，如圖（1）所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組表示出來，就是

{%：有二雪，類似的，圖（2）所示的算籌圖用方程組表示出來，就是.

IllII-TIII-II

IHU=wHU川二T

圖(1)