i重難題型?解題技巧攻略

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專題09楊輝三角與裴波那契數列

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01楊輝三角中的數列問題..................................................................1

題型02裴波那契數列..........................................................................4

艙-----------題型探析?明規律-----------令

題型01楊輝三角中的數列問題

【解題規律?提分快招】

1、第二層是自然數列

?n?nj?

?；?；?；?

I；I；I!I；I

，口心口。口:。丘?仙，

|1|6口5|20|15|6|1|

|i|1|21|35|35|2M7口|

|i|612al5117Al5%|2%|1口|

|1|9|36|84|126|126|84|36|9|1|

|i|10|45|120|2,0|252|210|120|45|10|i|

|i|11||165|330|4丁2|462|330|165|55|11|i|

[：口2|66|220|4最|762I9鼠|7^2|495|2之0|66|12|1|

I1口3I78I286I715|128717：6117：611287|715|286|78|13|1|

IiI141sl|364回01|2￡()2|3003|3432|3003|2002|荷1|3&4|91|14口|

IiI15I105I455|1365|3003片005|6435|6435|5005|3003|1365|455I105I15|i|

IiI16I1茄I560|1820|4368|8008|11440|12870|11440|8008|4368|1820|56011$0I16|i|

2、第三層是三角數列

,rri,

III

I;I;I;I

I;II;口I

口口口口口I

，口口□yI,口In,

I1I6I15I20I15I6I1I

II?I21I3gI3gI21I1口I

IiI6I2%I51I7^)15kl2%I6口I

I]I9I36I84I126I126I84I36I9|i|

IiI10I45I120I2ioI252|2：0|120|45口0口|

IiI11I55I165I330I462|462|330|165|55|11|i|

IiI12I66I2茄I4s5I7,2|9￡|712|495|220|66|12|j|

IJI13I78I286I|I2871l7】6117】61】287|715|28rl78]】3|1|

IiI14I91I3%4|1001|2002|3003|3432|3003|2002回01|364I91|14口|

IiI15I105]455|1365|3003|5005|6435|6435|5005|3003|1365|455[105I15|i|

IiI16I120I560回30|43%8|80%8|11：40|12670|1160|80力8|43%8|1820|510|12()I16|i|

這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形.

3、每一層的數字之和是一個2倍增長的數列

[:f中？+,+J

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【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮?三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數字之和構成的數列為等比數列且記該

數歹U前幾項和為Sn，設b,=J510g2（S“+1）+1,將數列也,｝中的整數項依次取出組成新的數列記為｛q｝,則G°

A.545B.51C.560D.48

二、填空題

2.（24-25高三上?天津?階段練習）南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成

果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列，以高階

等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某

個二階等差數列的前4項為1,3,7,13,則該數列的第15項為.

3.（23-24高三下.安徽合肥?階段練習）我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示

的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1,1,

1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,L,記作數列｛凡｝,貝1]%4=;若數列｛4｝的前〃項和

為5皿，貝！|$67=.

1

11

121

1331

14641

4.（2024.浙江紹興.模擬預測）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項

的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1,2：第二

行得到數列1,2,2：第三行得到數列1,2,2,4,2,…，則第5行從左數起第8個數的值為；4表示第〃

行所有項的乘積，設紇=1暇4,則與=.

122428482

1

5.（23-24高三下.重慶璧山.階段練習）將楊輝三角中的每一個數C；都換成分數而碇7,就得到一個如圖

111

所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：（4、一+/口…，

111111,、

令""=三歷+而+而+…+兩簿+（〃+2）C；JS“是｛%｝的前"項和,則---------

1

-

-

11

6-23-

111

4--4-

12

±11

203020

11111

-一

76

16060305

1111111

30一

---一-

71141O7

42051142

題型02裴波那契數列

【解題規律?提分快招】

一、斐波那契數列

1、斐波那契數列概念

把這個數列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...稱為斐波那契數列，一般記為｛6｝。

2、斐波那契數列的遞推公式

E=F2=1

遞推公式

F“_2+F,T=F”(〃23,neN*)

3、斐波那契數列的通項公式

、國幣八.如k1+君丫n一君丫]

通項公式：F=—5x\[—2—）---[-----2---）\

4、斐波那契數列的性質（通項公式斯，前〃項和S”）

⑴5?=ax+a2+a3+■..+??=an+2-1；

a

(2)fl,+a3+a5H----1-a2n-i=in；

⑶a2+aA+a6+---+a2n=a2n+l-1；

a+a+a+---+a=^(a?-1)；

(4)3693ii3+2

(5)an_2+an+2=3an-

a=aa

(6)m+n-lmn^。機一1。〃一1；

(7)a；t=an+lan-anan_l；

⑻a：+屋1=電”+1;

(9)a；+魅+a；H-----Fa~=d,fln+x；

(10)~=a,I+a?+i

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024.海南省直轄縣級單位.模擬預測）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那

契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數列”,其數值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……,在數學

上，這一數列以如下遞推的方法定義：/。）=1，尸⑺=尸（"-1）+尸何-2乂心3,〃wN*）,記此數列為｛%｝,

)

a

A.2023B.02024C.%025D.02026

2.（23-24高三上.陜西寶雞?期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：

1,1,2,3,...；該數列的特點是：前兩個數都是1,從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的

和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，若記此數列為｛怎｝,則以下結論中錯誤的是（）

A.%=5B.4=8

C.%為+1D.+a：H--------F=4；+]

3.（24-25高三上?甘肅甘南?期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：

1,1,2,3,5,....其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數

列｛%｝稱為“斐波那契數列”，記S“為數列｛q｝的前〃項和，則下列結論正確的為（）

A.%=21B.2an=a?_2+a,;+2（n>3）

C.4]+/。2024=。2025-]D.4+（72HF02024=02024^2025

二、填空題

4.（2024.四川?模擬預測）數列｛〃"｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34..........稱為斐波那契數列，該數列是

由意大利數學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，

｛。“｝滿足%=%=1，。”=。"-1+。"一2（"23,neN*）>貝1J1+%+%+。6+，，，+。2024是斐波那契數歹!J的第___

項.

5.（23-24高三下?云南昆明?期中）斐波那契數列（Fibonaccisequence）由數學家萊昂納多-斐波那契（Leonardo

Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，又稱為“兔子數列”.斐波那契數列｛%｝有如下遞推公式：

/l~\n（l~\n

%=1,卬=1,。，=a“T+a〃_2（"N3,"eN*）,通項公式為氏=二=-15，故又稱黃金分割數

“5R2JI2人

歹U.若4=｛%,%,%，…，%"｝（"eN*）,B=A且3r0,則3中所有元素之和為偶數的概率為.（結

果用含”的代數式表達）

o-----------題型通關?沖高考-----------?>

一、單選題

1.（23-24高三下?北京大興?期末）我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如圖所示

的“楊輝三角”.若將這些數字依次排列構成數列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

則此數列的第2024項為（）

A.「B.小

C.C：3D.<4

2.（23-24高三下?湖南邵陽?期中）如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所

指的數依次構成一個數列：1,2,3,3,6,4,10,5,則此數列的前20項的和為（）

：第1行11i

；第2行1211：

；第3行1大戶1;

；第4行14<—641;

；第5行15<-101051：

A.350B.295C.285D.230

3.（23-24高三下.河南信陽?期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數

歹U.數歹!]｛%｝滿足4=%=1，an+2=a?+。用.現從數列的前2024項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是

（）

253r505〃758一759

A.------B.------C.------D.------

2023202320232023

4.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子

數列”.這一數列如下定義：設｛%｝為斐波那契數列，4=1,g=1,%=a,i+%_2（"23,"wN*）,其通項公

式為4=[1甘5]一[上手]-設”是bgz[（l+君-番）4的正整數解，則”的最大值為

（）

A.5B.6C.7D.8

5.（23-24高三上.安徽合肥?階段練習）數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列｛4｝：

1,1,2,3,5,8...,其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即4=%=1,an+2=an+l+an,這

樣的數列稱為“斐波那契數列”.若%,=2（/+4+%+…+如4）+1，則利=（）

A.175B.176C.177D.178

二、多選題

6.（2024高三.全國.專題練習）（多選）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列

數：1,1,2,3,5,…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的

數列｛〃"｝稱為“斐波那契數列”，記冊為數列｛〃〃｝的前〃項和，則下列結論正確的是（）

A.。8=21B.力=32

n]2021

=

C.Z/i-1D.Z%CL2022

i=\。2021z=l

7.（2024.福建寧德.模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第〃行

從左至右的數字之和記為％,如4=1+1=2,%=1+2+1=4,-一,｛%｝的前〃項和記為3,依次去掉每一行中

所有的1構成的新數列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,記為｛2｝,｛么｝的前〃項和記為，，則下列

說法正確的有（）

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

第1331

4行

第

行14641

5

15101051

A.50=1022B.1J]1的前九項和1------二

l\-\+lJ2an+2~2

C.%=66D,T51=4150

8.（23-24高三上?安徽阜陽?階段練習）意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現了這樣一個數

列：1,1,2,3,5,8,這個數列的前兩項均是1,從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.人們把

這樣的一列數組成的數列｛凡｝稱為斐波那契數列，并將數列｛尺｝中的各項除以3所得余數按原順序構成的

數列記為｛GJ,則下列說法正確的是（）

20242024

A.E4=與026一1B.Z耳=^2023^2024

z=lz=l

2024

C.G2024=°D.￡6=2277

Z=1

9.（2024?山東?模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：1,

1,2,3,5,8,13,21,....該數列的特點如下：前兩個數均為1,從第三個數起，每一個數都等于它前面

兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用/（〃乂N*）表示斐波那契數列的第

〃項，則數列但（叫滿足：F（1）=F（2）=1,網"+2）=廠（”+1）+尸⑺.則下列說法正確的是（）

A.b（10）=34

B.3F（n）=F（w-2）+F（n+2）（n>3）

C.