42第8章幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之多線段的最值

一、單選題

1.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2,AE=4,P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

2.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB

的最小值為（）

A.4B.2小C.472D.4G

3.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點(diǎn)E、P分別是邊BC、上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,連接8尸、DE,

則BF+DE的最小值為（）

A.V12B.V20c.V48D.V80

4.如圖，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,QA,03的半徑分別為2和1,P,E，R分別

是CD邊、0A和0B上的動(dòng)點(diǎn)，則尸E+PF的最小值是（）

c

B.2C.3D.3A/3

5.如圖，等邊△ABC中，于。，AO=3.5cm,點(diǎn)P、Q分別為A3、A。上的兩個(gè)定點(diǎn)且5尸=AQ=2cm,

在上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，貝UPE+QE的最小值為()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6.如圖，在銳角AABC中，AB=AC=10,S“BC=25,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別是A。

和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則8M+MN的最小值是()

C.5D.6

二、填空題

7.如圖所示，R3ABC中，AC=BC=4,A。平分/BAC,點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1,點(diǎn)尸是線段A。上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值等于

8.如圖，正方形ABCD的面積為16,E為AD的中點(diǎn)，R為對角線3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF、EF,

則線段”+石廠的最小值是

9.如圖，0加，0乂，已知邊長為2的正446。，兩頂點(diǎn)人,2分別在射線OM、ON上滑動(dòng)，當(dāng)NQ43=23°

時(shí)，ZNBC=,滑動(dòng)過程中，連結(jié)0C,則線段0C長度的取值范圍是.

10.如圖，在矩形A8C。中，AB=4,AO=5,連接AC,。是AC的中點(diǎn)，M是上一點(diǎn)，且〃。=1,P

是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM-P。的最大值為

11.如圖，等腰三角形ABC的底邊3c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線"分別交AC,A6邊

于E,尸點(diǎn).若點(diǎn)。為3c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段所上一動(dòng)點(diǎn)，則ACDG周長的最小值為

12.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是/BAC的平分線.若E是AC上一點(diǎn)且BEJ_AC,

P是AD的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PE的最小值是.

D

三、解答題

13.如下右圖所示.(1)作出AA3C關(guān)于丁軸對稱的圖形AA]4C；(2)在％軸上確定一點(diǎn)p,使得QA+PC

最小.

14.如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，

(1)AABC的面積為；

(2)在圖中畫出與AABC關(guān)于直線1成軸對稱的△AiBiCi；

(3)利用網(wǎng)格線在直線1上求作一點(diǎn)P,使得PA+PC最小.請?jiān)谥本€1上標(biāo)出點(diǎn)P位置,PA+PC最小為

個(gè)單位.

k

15.如圖，直角△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于無軸，A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=—(x

x

>0)的圖象上.延長CA交y軸于點(diǎn)D,AD=1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△出8的周長最小，若存在，直接寫出此時(shí)的周長；若不存在，說

明理由.

16.如圖，在邊長為2cm的正方形ABC。中，。為BC邊的中點(diǎn)，P為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PQ,求APB。周長的最小值.

17.如圖，一次函數(shù)y=-x+6的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像交于點(diǎn)A.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)B在直線y=-x+6上，且橫坐標(biāo)為5,在x軸上確定點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，求出此時(shí)

P點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出PA+PB的最小值.

18.如圖，在心A43C中，NACB=90°,BC=AC=2,。為AB中點(diǎn)，E,尸分別是AC,3c上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足N￡DF=90°.

（1）求證：DE=DF；

（2）求四邊形CEDE的面積;

（3）求ACM周長的最小值（結(jié)果保留根號）.

19.A3兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流/的同側(cè)，它們到河流的距離AC=4千米，5￡>=8千米，且CD=5千米，現(xiàn)要

在河邊修建一自來水廠，向A,8兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元.

B

cn1

（1）請你在河岸上選擇水廠的位置使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）最低費(fèi)用為多少？

20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上.

（1）作AABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△ABC".

（2）若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1,求AABC的面積.

（3）點(diǎn)P在直線MN上，當(dāng)PA+PC最小時(shí)，P點(diǎn)在什么位置，在圖中標(biāo)出P點(diǎn).

（4）求出第三問中PA+PC的最小值

21.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（4,0）,B（0,3）,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

（1）在圖（1）中，求點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）在圖（2）中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t,APAC的面積為S,求S與t的關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

（3）在（2）問條件下，若PB+PC的值最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及t的值.

22.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB關(guān)于y軸對稱的圖形為△4021.

(1)畫出△4。修并寫出點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為；

(2)寫出△AOS的面積為；

(3)點(diǎn)P在x軸上，使B4+P2的值最小，畫出p點(diǎn)

(4)在(3)的條件下，求出+P8的的最小值.

23.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=2,AD=1,ZB=6Q°,將平行四邊形A3CD沿過點(diǎn)A的直線/

折疊，使點(diǎn)。落到AB邊上的點(diǎn)O'處，折痕交CD邊于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形3CE。'是菱形；

(2)若點(diǎn)尸是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請作出使尸ZT+P3為最小值的點(diǎn)尸，并計(jì)算PD4PB.

24.如圖，在AA3C中，已知=AB的垂直平分線交A3于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)四，連接MB

(2)若=AMBC的周長是18cm

①求3C的長度；

②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出AP5C周長的最小值

42第8章幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之多線段的最值

一、單選題

1.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2,AE=4,P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，貝|PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

【答案】D

【分析】由正方形的性質(zhì)得出B、D關(guān)于AC對稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE,交AC于P,

連接BP,則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可.

【解答】解：如圖，連接DE,交AC于P,連接BP,則此時(shí)PB+PE的值最小，

:四邊形ABCD是正方形，

；.B、D關(guān)于AC對稱，

；.PB=PD,

PB+PE=PD+PE=DE.

VBE=2,AE=4,

；.AD=AB=6,

；.DE="+62=25,

故PB+PE的最小值是2岳.

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱一最短路線問題，其中涉及正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度

較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵

2.如圖，正方形ABCD中，A3=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB

的最小值為（）

D

A.4B.275C.472D.4G

【答案】B

【分析】由正方形的中心對稱性質(zhì)，可得PE+PB的最小值即是DE的值，再由勾股定理解題計(jì)算即可.

【解答】連接DE,交AC于點(diǎn)P,連接BD,

???點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，

DE的長即為？E+PB的最小值，

-,-AB=4,E是BC的中點(diǎn)，

CE=2，

在Rt^CDE中，

DE=slCD2+CE2=742+22=2A/5

PE+PB的最小值是2石.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查兩點(diǎn)對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)

知識是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別是邊BC、C。上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CR連接2尸、

DE,則BE+OE的最小值為（）

A.V12B.720C.V48D.780

【答案】D

【分析】連接AE,利用△ABE0dBCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF+DE=AE+DE,則通過作A點(diǎn)關(guān)于BC對

稱點(diǎn)H,連接DH交BC于E點(diǎn)，利用勾股定理求出DH長即可.

【解答】解：解：連接AE,如圖1,

四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.

又BE=CF,

AABE^ABCF(SAS).

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.

作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2,

連接BH,則A、B、H三點(diǎn)共線，

連接DH,DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn).

根據(jù)對稱性可知AE=HE,

所以AE+DE=DH.

在RtAADH中，DH2=AH2+AD2=82+42=80

，DH=4逐

.?.BF+DE最小值為4班

【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段最短

距離問題，都轉(zhuǎn)化為一條線段.

4.如圖，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,?A,的半徑分別為2和1,P,E，F(xiàn)分

別是C￡＞邊、0A和上的動(dòng)點(diǎn)，則尸石+尸尸的最小值是()

A.3方-3B.2C.3D.373

【答案】C

【分析】利用菱形的性質(zhì)及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時(shí)PE+尸尸的最小值，進(jìn)而求解即可.

【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A、連接BD,DAS

???四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD,

,/ZBAD=60°,

AABD是等邊三角形，

ZADB=60°,

VZBDC=ZADB=60°,

ZADN=60°,

ZA,DN=60°,

AZADB+ZADA=180°,

AASD,B在一條直線上，

由此可得：當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在BD上，此時(shí)尸E+PF最小，

:在菱形ABCD中，ZA=60°,

；.AB=AD,

則AABD為等邊三角形，

；.BD=AB=AD=3,

OA,OB的半徑分別為2和1,

.*.PE=1,DF=2,

，PE+PF的最小值為3.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識.根據(jù)題意得出點(diǎn)P位置

是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，等邊AABC中，BZUAC于。，AD=3.5cm,點(diǎn)P、。分別為A3、上的兩個(gè)定點(diǎn)且8P=AQ=2cm,

在3。上有一動(dòng)點(diǎn)E使尸E+QE最短，則尸E+QE的最小值為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】C

【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，，連接PQ咬BD于E,連接QE,此時(shí)PE+EQ的值最小.最小值

PE+PQ=PE+EQ，=PQ'

【解答】解：如圖，???△ABC是等邊三角形，

ABA=BC,

VBD1AC,

AD=DC=3.5cm,

作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q\連接PQ，交BD于E,連接QE,此時(shí)PE+EQ的值最小.最小值為

PE+PQ=PE+EQ'=PQ',

*.*AQ=2cm,AD=DC=3.5cm,

???QD=DQ，=1.5(cm),

CQ—BP=2(cm),

???AP=AQ，=5(cm),

ZA=60°,

.?.△APQ，是等邊三角形，

；.PQ'=PA=5(cm),

-,.PE+QE的最小值為5cm.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解

決最短問題.

6.如圖，在銳角△ABC中，AB=AC=1Q,S^ABC=25,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)N分別是

和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則8M+MN的最小值是()

24

A.4B.——C.5D.6

5

【答案】C

【分析】根據(jù)AD是NBAC的平分線，AB=AC可得出確定出點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,根據(jù)垂線段最

短，過點(diǎn)C作CNXAB于N交AD于M,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM+MN最小的點(diǎn)，

CN=BM+MN,利用三角形的面積求出CN,從而得解.

【解答】解：如圖，：AD是NBAC的平分線，AB=AC,

點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,

過點(diǎn)C作CN±AB于N交AD于M,

由軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM+MN最小的點(diǎn)，CN=BM+MN,

VAB=10,SAABC=25,

1

二—xlO?CN=25,

2

解得CN=5,

即BM+MN的最小值是5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距

離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).

二、填空題

7.如圖所示，RtZ\ABC中，AC=BC=4,AD平分NA4C,點(diǎn)E在邊A8上，且AE=1,點(diǎn)P是線段4。上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+P8的最小值等于.

【答案】5

【分析】作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E,連接2E'交于尸，于是得至UPE+PB的最小值=BE,根據(jù)勾股定理即

可得到結(jié)論.

【解答】解：作E關(guān)于的對稱點(diǎn)￡,連接交AO于尸，

則此時(shí)PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=8￡,

：.AE'=AE=1,

'：AC=BC=4,

:.CE'=3,

:出e73?BC?=5,

：.PE+PB的最小值=5,

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)P位置是

解題關(guān)鍵.

8.如圖，正方形ABC。的面積為16,￡為AZ）的中點(diǎn)，F(xiàn)為對角線8￡＞上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A/、EF,

則線段AR+石廠的最小值是.

【答案】2乖

【分析】連接CF,當(dāng)點(diǎn)E,F,C在同一直線上時(shí)，AF+FE的最小值為CE長，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：：四邊形ABCD為正方形，

.?.A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為C,

貝ljAF=CF,

，線段AF+石廠的最小值為線段CF+EF的最小值，

當(dāng)點(diǎn)E,F,C在同一直線上時(shí)，AF+FE的最小值為CE長，

正方形ABCD的面積為16,

；.AD=CD=4,

?；E為AD中點(diǎn)，

；.DE=2,

二在RtZ\CED中，

CE=VDE2+CD2=275，

則線段AF+EF的最小值是2行，

故答案為：2?

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)正方形的性質(zhì)作得出A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C是解答此

題的關(guān)鍵.

9.如圖，，ON,已知邊長為2的正AABC,兩頂點(diǎn)A,B分別在射線OM、ON上滑動(dòng)，當(dāng)ZOAB=23°

時(shí)，NNBC=,滑動(dòng)過程中，連結(jié)OC,則線段OC長度的取值范圍是.

【答案】53。2<OC<l+73

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，等邊三角形各內(nèi)角為60。，根據(jù)NOAB=23。，即可求得NNBC的度數(shù)；

取AB的中點(diǎn)D,連接OD及DC,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC,只有當(dāng)0、D及C

共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD,由等邊三角形的邊長為2,根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1,

根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB

中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由

AB的長求出OD的長，進(jìn)而求出DC+OD,即為OC的最大值，當(dāng)4ABC的邊與OM和ON共線時(shí)，OD

最小，且為2,即可得出OC的長度范圍.

【解答】解：等邊三角形各內(nèi)角為60。，

VZNBC=180°-ZABC-ZABO,ZABO=90°-ZOAB,NOAB=23°,

ZNBC=53°；

取AB中點(diǎn)D,連OD,DC,有OCWOD+DC,

當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD.

ABC為等邊三角形，D為中點(diǎn)，

，BD=1,BC=2,根據(jù)勾股定理得：CD=G，

又AAOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，

1

.?.OD=-AB=1,

2

.,.OD+CD=l+73，即OC的最大值為1+石，

當(dāng)AABC的邊與OM和ON共線時(shí)，OD最小，且為2,

二線段OC的取值范圍是：2<OC<1+百，

故答案為：53°；2<OC<1+V3.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中

找出OC最大時(shí)的長為CD+OD是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,連接AC,。是AC的中點(diǎn)，/是上一點(diǎn)，且P

是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM-PO的最大值為.

3/D

0\k

BPC

【答案】-

2

【分析】連接MO并延長交BC于P,則此時(shí)，PM-PO的值最大，且PM-PO的最大值=OM,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到AM=CP=4,OM=OP,求得PB=1,過M作MNLBC于N,得到四邊形MNCD是矩形,

得到MN=CD,CN=DM,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】?..在矩形A8C。中，AO=5,MD=1,

：.AM=AD-DM=5-1=4,

連接MO并延長交BC于P,

則此時(shí)，尸河-尸0的值最大，且尸尸。的最大值=OM,

VAM//CP.

：.ZMAO=ZPCOf

VZAOM=ZCOPfAO=CO,

：.AAOM^^COP(ASA),

???AM=C尸=4,OM=OPf

:.PB=5-4=1,

過M作MALLBC于N,

???四邊形MNCO是矩形，

:?MN=CD=AB=4,CN=DM=\,

：.PN=5-1-1=3,

???MP=7M^2+/W2=^42+32=5,

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，等腰三角形ABC的底邊3c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線跖分別交AC,A5邊

于區(qū)廠點(diǎn).若點(diǎn)。為3C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段所上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDG周長的最小值為.

c,

B

【答案】11

【分析】連接AD,AG,由于^ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故ADLBC,再根據(jù)三角形的

面積公式求出AD的長,再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,GA=GC,

推出GC+DG=GA+DG>AD,故AD的長為BG+GD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接AD,AG.

「△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

.".ADXBC,

SAABC=—BC-AD=—x4xAD=18,解得AD=9,

22

VEF是線段AC的垂直平分線，

...點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,GA=GC,

GC+DG=GA+DG>AD,

AAD的長為CG+GD的最小值，

.?.△CDM的周長最短=(CG+GD)+CD=AD+—BC=9+—x4=9+2=l1.

22

故答案為：11.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是NBAC的平分線.若E是AC上一點(diǎn)且BE

±AC,P是AD的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PE的最小值是.

一小48

【答案】y

【分析】連接PB,根據(jù)三線合一得出PB=PC,將求PC+PE的值最小，轉(zhuǎn)化為PB+PE的值最小，易知BE

的長即為所求，再根據(jù)面積相等即可求出BE的值，從而得出答案.

【解答】解：連接PB,

AB=AC=10,AD是/BAC的平分線，

.?.AD為BC的垂直平分線，

.,.PB=PC.

要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有點(diǎn)P、B、E在一條直線上時(shí)，PB+PE的值，即BE的長

即為所求.

AB=AC=10,BC=12,AD=8,BE±AC,

xBCxAD=—xACxBE,

22

gp-xl2x8=-xlOxBE,

22

48

解得：BE=《.

48

「.PC+PE的最小值是

48

故答案為：—■

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，將求PC+PE的值轉(zhuǎn)化為求BE的值是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

13.如下右圖所示.（1）作出AA3C關(guān)于V軸對稱的圖形兒4,與。1；（2）在x軸上確定一點(diǎn)P,使得QA+PC

最小.

【答案】（1）如圖所示△A4G；（2）如圖所示點(diǎn)P.

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；

（2）最短路徑問題，找其中一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)，和另一個(gè)點(diǎn)連接起來即可.

【解答】（1）如圖所不；

（2）如圖所示，過A點(diǎn)作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A2,連接A2c與x軸交于點(diǎn)P,此時(shí)P4+PC最小.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的作法，最短路徑問題，熟練掌握對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在長度為1個(gè)單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，

（1）AABC的面積為:

(2)在圖中畫出與4ABC關(guān)于直線1成軸對稱的△AiBiCi；

(3)利用網(wǎng)格線在直線1上求作一點(diǎn)P,使得PA+PC最小.請?jiān)谥本€1上標(biāo)出點(diǎn)P位置,PA+PC最小為

個(gè)單位.

【答案】(1)4；(2)見解析；(3)734;

【分析】①根據(jù)割補(bǔ)法求解可得；

②分別作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)，再順次連接即可得；

③連接ACi,與直線1的交點(diǎn)即為所求.

【解答】解：(1)ZXABC的面積為3x3—工X1X3-LX2X2.LX1X3=4,

222

故答案為：4.

(2)如圖，△AiBiCi即為所求.

(3)點(diǎn)P如圖所示，

PA+PC=PA+PCi=CiA

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短原理可得PA+PC最小為CiA的長

根據(jù)勾股定理得CIA=752+32=用■

【點(diǎn)評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)

的位置，熟記軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

k

15.如圖，直角△A3C中，ZC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于x軸，A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=—(%

x

>0)的圖象上.延長CA交y軸于點(diǎn)。，AD=l.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使的周長最小，若存在，直接寫出此時(shí)的周長；若不存在，說

明理由.

A

【答案】(1)y=—(x>0);(2)存在.AR4B的周長的最小值為2逐+4起.

x

【分析】(1)設(shè)A(1,k),則B(3,k-4),利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到3(k-4)=k,解得

k=6,從而得到反比例函數(shù)的解析式；

(2)先計(jì)算出AB=2百，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A，，連接BA，交y軸于P點(diǎn)，連接PA,如圖，則A，

(-1,6),PA=PA\利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)PA+PB的值最小，^PAB的周長最小，然后計(jì)算出

BA\從而得到APAB的周長的最小值.

【解答】(1)VZC=90°,AC平行于X軸，

軸，

VAD=1,AC=2,BC=4,

二設(shè)A(1,k),則B(3,k-4),

點(diǎn)在反比例函數(shù)y=月(x>0)的圖象上，

x

.*.3(4-4)=k,解得。=6,

，反比例函數(shù)的解析式為y=9(x>0)；

(2)存在.

VA(1,6),B(3,2),

-'-AB=J(l—3、+(6-2>=2后,

作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4，連接54'交y軸于P點(diǎn)，連接力，如圖，4(-1,6),

則PA=PA',

：.PA+PB=PA'+PB=BA',

此時(shí)B4+P2的值最小，的周長最小,

BA'=J(3+If+(2-6)2=472

△B4B的周長的最小值=AB+BA'=2逐+4e?

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，做此類題，先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解

析式>=幺（k為常數(shù)，原0）,然后把一組對應(yīng)值代入求出k,從而得到反比例函數(shù)解析式.也考查了最短

x

路徑問題.

16.如圖，在邊長為2cm的正方形ABCZ）中，。為BC邊的中點(diǎn)，P為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸8,

PQ,求△PB。周長的最小值.

【答案】1+石.

【分析】

由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，所以如果連接DQ,交AC于點(diǎn)P,由最短路徑問題模型知，此時(shí)APBQ的

周長最小，APBQ的周長=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在Rt^CDQ中，由勾股定理先計(jì)算出DQ的長度，再得

出結(jié)果.

【解答】

解：連接DQ,交AC于點(diǎn)P,連接PB、BD,BD交AC于O.

?/四邊形ABCD是正方形，

.\AC±BD,BO=OD,CD=2cm,

.??點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，

；.BP=DP,

BP+PQ=DP+PQ=DQ.

在Rt^CDQ中，由勾股定理，得QD=J。h+c02=也2+F=6

.?.△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=J?+1(cm).

【點(diǎn)評】本圖主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路徑問題，同時(shí)也考查了勾股定理得應(yīng)用.是常考的基

本題.

17.如圖，一次函數(shù)y=-x+6的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像交于點(diǎn)A.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)B在直線y=-x+6上，且橫坐標(biāo)為5,在x軸上確定點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，求出此

時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出PA+PB的最小值.

2?

【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,4)；(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(彳，0),PA+PB的最小值為國.

【分析】(1)把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，即可求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C,連接AC交x軸于P,連接PB,此時(shí)PA+PB的值最小，利用兩點(diǎn)之間的距

離公式計(jì)算即可求得最小值.

【解答】⑴解方程組4°,

、y=2x

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)；

(2)?.?點(diǎn)B在直線y=—x+6上，且橫坐標(biāo)為5,

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,1),

作8點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)C,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-1),

連接AC交x軸于P,連接PB,此時(shí)PA+PB的值最小，

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,

2k+b=4

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)(2,4)、(5,-1)代入，得：〈一，，

5k+b=-l

k,=—5

3

解得：上

b=—

[3

522

直線AC的表達(dá)式為y=——x+—,

33

令y=0,則％=彳，

22

???尸點(diǎn)坐標(biāo)為（彳，0）,

/.PA+PB的最小值=AC=J（5—2『+（—1—4）2=用.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱-最短問題，一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式等知識，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最短問題.

18.如圖，在心AA3C中，NACB=90°,BC=AC=2,。為A3中點(diǎn)，E，P分別是AC,3c上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足NEDF=90°.

（1）求證：DE=DF；

（2）求四邊形CEDE的面積；

（3）求AC印周長的最小值（結(jié)果保留根號）.

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）2+6

【分析】（1）連結(jié)CD,由等腰直角三角形的性質(zhì)和角的和差可得：ZCDE=ZBDF,由全等三角形的判定

可得aDEC絲ZkDFB,進(jìn)而由全等三角形的性質(zhì)求證結(jié)論；

（2）利用分割法將四邊形CFDE分成兩部分，即ADEC和aCDF,由（1）可知ADEC絲△DFB,進(jìn)而可

知四邊形CFDE的面積等于ABCD,根據(jù)三角形的面積公式代入數(shù)據(jù)即可求解；

（3）由（1）可知CE=FB,石D=ED,繼而可得CE+CF=BC=2,根據(jù)等腰直角三角形可得EF=?DF，

根據(jù)題意可知當(dāng)EDLCB時(shí)，F(xiàn)D最小,繼而求得ACEF周長的最小值.

【解答】（1）證明：連結(jié)CD

vZACB=9Q°,BC=AC,。為AB的中點(diǎn)

:.CD=CB,NCD8=90°，ZACD=ZB=45°.

?.?ZEDF=90°,

.-.ZCDE=ZBDF.

在ADEC與ADFB中,

ZEDC=ZBDF

CD=BD

ZECD=ZB

ADECsADFB(ASA).

:.ED=FD-.

D

E

B

（2）解：由（1）知：ADEC=ADFB

一S四邊形CFDE=S^cED+SKCFD=M3BF+\CFD=^ACBD=]MBC

^AABC=2,

…S四邊形CFDE=1

（3）由（1）知：ADEC=M）FB,

:.EC=FB

:.EC+CF^FB+CF=2

由（1）知：ED=FD，

-.?ZEDF=90°,

EF=y[2FD

當(dāng)EDLCB時(shí)，F(xiàn)D最小,此時(shí)歷最小為行，從而ACFE周長的最小值為2+夜.

【點(diǎn)評】本題主要考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式和周

長，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì).

19.A,8兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流/的同側(cè)，它們到河流的距離AC=4千米，3￡>=8千米，且CD=5千米，現(xiàn)要

在河邊修建一自來水廠，向A,3兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元.

B

CD1

（1）請你在河岸上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）最低費(fèi)用為多少？

【答案】（1）詳見解析；（2）39萬元

【分析】（1）根據(jù)題意，要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，則自來水廠與A、3兩個(gè)小鎮(zhèn)的距離和最小，所以作

出點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)E，連接班，則座與直線/的交點(diǎn)即是水廠的位置

（2）首先根據(jù)勾股定理，求出BE的長度是多少，即可判斷出鋪設(shè)水管的長度最短是多少；然后根據(jù)總價(jià)=

單價(jià)x數(shù)量，用每千米的費(fèi)用乘以鋪設(shè)的水管的長度，求出最低費(fèi)用為多少即可.

【解答】解：（1）根據(jù)分析，水廠的位置“為：

圖1

（2）如圖2,在直角三角形5石尸中，

EF=CD=5（千米），

BF=BD+DF=8+4=12（千米），

BE=NEF+BF?=J52+12?=13（千米）,

二鋪設(shè)水管長度的最小值為13千米，

二?鋪設(shè)水管所需費(fèi)用的最小值為：

13x3=39（萬元）.

答：最低費(fèi)用為39萬元.

【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：凡是涉及

最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線

的對稱點(diǎn).

（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握.

（3）此題還考查了總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量的關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量，單價(jià)=總價(jià):數(shù)量，數(shù)量=總價(jià)+單價(jià),

要熟練掌握.

20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上.

（1）作AABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A'B'C.

（2）若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1,求AABC的面積.

（3）點(diǎn)P在直線MN上，當(dāng)PA+PC最小時(shí)，P點(diǎn)在什么位置，在圖中標(biāo)出P點(diǎn).

（4）求出第三問中PA+PC的最小值

【答案】(1)見解析；(2)3；(3)見解析；(4)2^/13.

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作AABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△ABC；

(2)根據(jù)網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1,即可求AABC的面積；

(3)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A，，連接AC交直線MN于點(diǎn)P,此時(shí)△PAC周

長最小；

(4)PA+PC的最小值即為A9,運(yùn)用勾股定理求解即可.

(2)4ABC的面積為：—x3x2=3；

2

(3)因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)為A，，連接AC交直線MN于點(diǎn)P,此時(shí)APAC周長最小.

所以點(diǎn)P即為所求.

(4)PA+PC的最小值即為AC,

由勾股定理得，AfC=762+42=2A/13-

故PA+PC的最小值為：2曲,

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短.

21.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(0,3),以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

(1)在圖(1)中，求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)在圖(2)中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為t,△PAC的面積為S,求S與t的關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

(3)在(2)問條件下，若PB+PC的值最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)及t的值.

【答案】(1)C(7,4)；(2)S=8-4r(O<r<2),S=4t-8(t>2)；(3)P(3,0),t=1.5

【分析】（1）過點(diǎn)C作CH，x軸于點(diǎn)H,利用AAS證得aAOB名ZM2DA,從而得到AD、CD,就可得到

點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在OA延長線上時(shí)，再利用三角形的面積公式即可

（3）找點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E,連接CE與x軸交于點(diǎn)P,則PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可

得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)OP=2t即可得出t的值.

【解答】證明：（1）過點(diǎn)C作CDJ_x軸于D,

???NADO90。

■:ZBAD=ZBAC+ZCAD=ZOBA+ZBOA

ZBOA=ZBAC=90°

???ZCAD=ZOBA

VZBOA=ZADC=90°,AB=CA

???AABO^ACAD(AAS)

.\OA=DCOB=AD

VA(4,0),B(0,3)

???OA=4,OB=3

ADC=4AD=3

.*.OD=7

JC(7,4)

(2)OP=2t

①當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，AP=4-2t

AP-CD(42)4/、

S=---==84(0<t<2)

②當(dāng)點(diǎn)P在OA延長線上時(shí)，AP=2t-4

°AP-CD(2^-4)-4

S=----------=-----------=4b8(%>2)

22v7

(3)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-3),連接EC交x軸于點(diǎn)P

設(shè)BE解析式為y=kx+b,

17左+/?=4

〈；

b=-3

k=l

b=-3

直線CE解析式為y=x-3

當(dāng)y=0時(shí)，x=3

：.P(3,0)

2t=3

t=1.5

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用軸對稱的性質(zhì)求最短路徑，全等三角形的性質(zhì)與

判定，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及待定系數(shù)法的應(yīng)用，難度一般.

22.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB關(guān)于y軸對稱的圖形為△403.

(1)畫出△4081并寫出點(diǎn)31的坐標(biāo)為；

(2)寫出△4021的面積為；

(3)點(diǎn)P在x軸上，使B4+PB的值最小，畫出p點(diǎn)

(4)在(3)的條件下，求出+PB的的最小值.

【答案】(1)ZVliOBi見解析，(-1,3)；(2)3.5；(3)P點(diǎn)的位置見解析圖；(4)J河.

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Ai、Bi的位置，再與。順次連接即可，然后根

據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)Bi的坐標(biāo)；

(2)利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解；

(3)找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A］立置，連接A，B,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題與x軸的交點(diǎn)即為所求

的點(diǎn)P;

(4)借助網(wǎng)格，利用勾股定理即可求得A，B即為用+四的的最小值.

222

=9-1-3-1.5

=9-5.5

=3.5；

故答案