第17講直線與圓的位置關系8種常見考法歸類

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學習目標

------V-------

L能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.體會用代數方法處理幾何問題的思想.

［豳基礎知識

IIIIII1IIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

知識點1直線與圓的三種位置關系

位置關系交點個數圖示

相交有兩個公共點

相切只有一個公共點C

相離沒有公共點

注：直線與圓的位置關系及判斷

位置關系相交相切相離

幾何法：設圓心到直線的距離名經°

d<.rd=rd>r

代數法：

判定方法

Ax+Bj+C—0,

由1*―4)2+&―32=/J>04=0J<0

消元得到一元二次方程的判別式A

知識點2直線與圓相交

1.解決圓的弦長問題的方法

幾何法

（常用）

如圖所示，設直線/被圓C截得的弦為A8,圓的半徑為r,圓心到直線的

距離為d,則有關系式：|A5|=22/一展

若斜率為左的直線與圓相交于4（必，"），B{XB,班）兩點，則以8|=

71+卜27（XA+XB）2—4XAXB=、J1+表?山一如|（其中20）.特別地，當左=0

時，|AB|=|XA-XB|；當斜率不存在時，\AB\^\yA-yB\

代數法注：直線/：Ax+By+C=O；圓M/+/+m+份+/=0

Ax+By+C=0

聯立22消去“丁”得到關于“工”的一元二次函

數ax~+bx+c=0，結合韋達定理可得至U%,XAXB

2.當直線與圓相交時；半徑、半弦、弦心距所構成的直角=角形（如圖中的RtaAOC）；在解題時要注

意把它和點到直線的距離公式結合起來使用.

知識點3直線與圓相切

1.求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程.若點在圓上（即為切

點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意切線斜率不存在的情

況.（注：過圓內一點，不能作圓的切線）

2.求過圓上的一點（xo,如）的切線方程的方法

先求切點與圓心連線的斜率左，若左不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程為y=yo；若左=0,則結

合圖形可直接寫出切線方程為x=xo；若左存在且上/0,則由垂直關系知切線的斜率為一/由點斜式可寫

出切線方程.

3.求過圓外一點（xo,%）的圓的切線方程的方法

當斜率存在時，設為左，則切線方程為y—%=左（“一xo）,即依一y+必一fcro=O.

幾何法

由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出左的值，進而寫出切線方程

當斜率存在時，設為匕則切線方程為y-yo=A（x—xo）,即fcto+yo,代

代數法入圓的方程，得到一個關于X的一元二次方程，由/=0,求得抬切線方程即

可求出

4.圓的切線方程常用結論

（1）過圓/+,2=/上一點pa。，州）的圓的切線方程為xox+yoy=r2.

（2）過圓（x—a）2+（y—5）2=/上一點P（xo，川）的圓的切線方程為（x（）—a）（x—〃）+&（）一5）3一5）=凡

（3）過圓/+,2=戶外一點拉（劭，刈）作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為“必+刈9=凡

5.切線長公式

記圓C：(x-a)2+(y-?2=/；過圓外一點p做圓c的切線，切點為利用勾股定理求PH;

PH=y/PC2-CH2

知識點4圓上點到直線的最大(小)距離

設圓心到直線的距離為d,圓的半徑為廣

①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為d+廠，最小距離為d-r；

②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為2r，最小距離為0；

③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為2+r，最小距離為0；

豳解題策略

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1、判斷直線與圓位置關系的方法

(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.

(2)代數法：根據直線與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷.

2、過圓上一點(xo,加)的圓的切線方程的求法

先求切點與圓心連線的斜率k,再由垂直關系得切線的斜率為一￡由點斜式可得切線方程.如果斜率

為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y=比或％=孫

3、過圓外一點(刈，為)的切線方程的求法

設切線方程為y-y0=k(x-X0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k,也就得切線方

程.當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x=xo,因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而

過圓外一點的切線有兩條.一般不用聯立方程組的方法求解.

4、求切線長(最值)的兩種方法

(1)(代數法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值；

(2)(幾何法)把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.

5、求弦長的兩種方法

(1)由半徑長八弦心距d、弦長/的一半構成直角三角形，所以利用勾股定理用+自2=，求解，這是

常用解法.

（2）聯立直線與圓的方程，消元得到關于x（或y）的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩交點橫坐

標（或縱坐標）之間的關系，代入兩點間距離公式求解.此解法很煩瑣，一般不用.

6、坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”

l|Q考點剖析

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考點一：直線與圓位置關系的判斷

（-）判斷直線與圓的位置關系

例L（2023?新疆喀什??？寄M預測）已知圓C:x2+y2+2x-4y=0,直線/:2x-y-l=0,則圓C

與直線/（）

A.相交B.相切C.相離D.相交且直線過圓C的圓心

變式1.（2023?四川成都?成都七中?？家荒＃﹫AC：。-1）2+”-1）2=1與直線/：（+^=1的位置關系為

（）

A.相切B.相交C.相離D.無法確定

變式2.（2023春?北京海淀?高二北理工附中?？计谥校┲本€依-y+2“=0（。eR）與圓尤2+丁=5的位置關

系為（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

變式3.（2023秋?高二課時練習）為圓V+y2=i內異于圓心的一點，則直線+=1與該圓

的位置關系為（）

A.相切B.相交C.相離D.相切或相交

（二）由直線與圓的位置關系求參數

（2023?遼寧?校聯考二模）已知圓O:尤2+^=產直線/：3x+4y=/,若/與圓。相交，則

A.點尸（3,4）在/上B.點尸（3,4）在圓。上

C.點P（3,4）在圓。內D.點P（3,4）在圓。外

變式1.（2023春?浙江?高二期中）已知圓（x-iy+（y-2）2=4關于直線辦+勿-2=0對稱，則壽的

最小值為（）

A.-B.C.6D.1

555

變式2.（2023秋?高一單元測試）若直線，=履-1與曲線y=，_/+4x-3恰有兩個公共點,則實數上的取

值范圍是（）

變式3.（2023?湖南益陽?安化縣第二中學?？既＃┲本€y=x+6與曲線》子恰有兩個不同的公共點，

則實數6的取值范圍是（）

A.-l<b<y/2B,-V2<Z?<-1

C.—1<<—1,b=—\/2D.-5/2<b<\

變式4.（2023?新疆阿克蘇?校考一模）已知兩點A（-m,0）,8（加,0）（租>0）,點P是圓（x-3）2+（y-4y=1上

任意一點，NAPB是銳角，則機的取值范圍為（）

A.（0,6）B.（0,4）C.（4,6）D.[6,+功

變式5.（2023春?上海黃浦?高二上海市向明中學校考期中）圓C:f+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=0

距離為0的點有（）

A.2個B.3個C.4個D.無數個

變式6.（2023?湖南長沙倜南中學校考二模）若圓（》-°）2+（丁-3）2=20上有四個點到直線2x-y+l=0的

距離為有，則實數。的取值范圍是.

變式7.【多選】（2023春?貴州遵義?高二遵義市南白中學?？茧A段練習）已知直線/：V=無+萬，圓。：V+V=4,

則下列說法正確的是（）

A.圓。上恰有1個點到直線/的距離為1,則6=±3及

B.圓。上恰有2個點到直線/的距離為1,貝1]6?卜3夜,3忘）

C.圓0上恰有3個點到直線/的距離為1,則6=±0

D.圓。上恰有4個點到直線/的距離為1,則。€卜忘,0）

（三）由直線與圓的位置關系求距離最值

|例3.（2023秋?陜西西安?高二長安一中校考期末）已知直線y+6=O與圓C:（x-l）2+（y-l）2=8,

則圓C上的點到直線/的距離的最小值為（）

A.1B.&C.3亞D.5A/2

變式1.（2023?廣西?校聯考模擬預測）已知直線/:如+（5-2間y-2=0（meR）和圓。：/+y=4,則圓心

。到直線/的距離的最大值為（）

A.-B.述C,28D.-

5532

變式2.（2023秋?廣東梅州?高三大埔縣虎山中學校考階段練習）直線x+>-2=0分別與x軸，y軸交于A,

B兩點，點尸在圓（龍+2）2+（y-l）2=：上，則AABP面積的取值范圍是.

變式3.【多選】（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學校聯考階段練習）已知P（T0）,N（0,2）,過點

P作直線/:砒-y-a=0的垂線，垂足為則（）

A.直線/過定點B.點尸到直線/的最大距離為夜

c.的最大值為3D.的最小值為2

變式4.（2023春?河北石家莊?高三校聯考階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是邊A3上的一動

點，FGLEC交EC于點P,且直線FG平分正方形A5CD的周長，當線段3P的長度最小時，點A到直線3尸

的距離為.

考點二：直線與圓的交點問題

例4.（2023秋?江蘇宿遷?高二統考期中）直線>=-尤+1與曲線x=的交點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

變式1.（2023秋?浙江嘉興?高二統考期末）直線2x+y-2=0與曲線（x+y-l）正'N=。的交點個數為

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式2.（2023春?浙江?高二期中）設圓C：%2-2%+/-3=0,若直線/在V軸上的截距為1,則/與C的

交點個數為（）

A.0B.1C.2D.以上都有可能

變式3.（2023秋?四川南充?高二四川省南充高級中學校考階段練習）已知點A3是圓C:Y+y2=4與x軸

的交點，P為直線/：x=4上的動點，直線PAP3與圓C的另一個交點分別為M,N,則直線MN恒過定點

()

|,0|,0

A.B.(1,0)C.D.,0

考點三：圓的切線問題

（-）過圓上一點的切線方程

例4.（2023春?天津西青?高二天津市西青區楊柳青第一中學?？茧A段練習）過點作圓

。:/+r=1的切線/,則切線/的方程為.

變式1.（2023?全國?高三專題練習）經過點（1,0）且與圓/+；/-4尤-2>3=0相切的直線方程為.

變式2.（2023?山東泰安??？寄M預測）已知點”（1,6）在圓C:/+y2=加上，過加作圓C的切線/,貝心

的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

變式3.（2023?天津武清?天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）已知點A。,。），8（2,0）,經過點8作圓

（x-3>+（y-2）2=5的切線與y軸交于點P,則|AP|=.

變式4.（2023?河南開封?統考三模）已知點A（l,0）,3（2,0）,經過B作圓（x-3『+（,-2）?=5的切線與y軸

交于點P,貝UtanNAP3=.

變式5.（2023秋?高二課時練習）從圓d-2x+y2-2y+l=0外一點P（3,2）向這個圓作兩條切線，則兩切

線夾角的余弦值為（）

A.；B.-C.立D.6

252

變式6.（2023秋?福建福州?高二福建省連江第一中學校聯考期中）已知圓0:爐+/=3,/為過M0,應）的

圓的切線,A為/上任一點，過A作圓N:（尤+2『+V=4的切線AP,AQ,切點分別是P和Q,則四邊形APNQ

的面積最小值是.

（二）過圓外一點的切線方程

（2023秋?福建莆田?高二校聯考期末）求圓。：V+F一?=0在點尸（1,6）處的切線方程.

變式1.（2023秋?北京?高二北京一七一中校考階段練習）過點（-4,3）的圓（x+3y+⑶-1>=1的切線方程為

變式2.（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）在平面直角坐標系中，圓C過點440）,8（2,2）,

且圓心。在x+y-2=0上.

⑴求圓。的方程；

（2）若已知點P（4,2君），過點P作圓C的切線，求切線的方程.

變式3.（2023秋?廣東陽江?高二陽江市陽東區第一中學?？计谥校┘褐c尸（2,4）,圓。：%2+/=4,則

過點P與圓。相切的直線有條；切線方程為.

變式4.（2023?浙江?校聯考模擬預測）已知圓G：/+y2=4和圓Cz：（x-3）2+（y-21=1,則過點

且與c“G都相切的直線方程為.（寫出一條即可）

變式5.（2023秋?高二單元測試）若尸（X,y）在圓（x-5）2+（y-3）2=9上運動，則一的最大值為一.

變式6.（2023?全國?高三專題練習）已知M（x,y）為圓C：/+丁-4x74y+45=0上任意一點，且點。（-2,3）.

（1）求|加。|的最大值和最小值.

（2）求三的最大值和最小值.

（3）求v-x的最大值和最小值.

變式7.（2023春?河北?高二校聯考期末）過直線x+y-4=o上一點向圓o：f+丁=1作兩條切線，設兩

切線所成的最大角為。，貝!|sina=（）

A.逑B.也C.立D.史

9948

變式8.（2023?北京大興?校考三模）若點尸是圓C:/+y2-2x=0上的動點，直線/：x+y+l=0與x軸、>

軸分別相交于M,N兩點，則的最小值為（）

7171

A.c.-D.

124I

（三）與切線長有關的問題

［例6.（2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城市伍佑中學校考期末）由直線>=了上的點向圓（x-4）2+（y+2『=l

引切線，則切線長的最小值為.

變式1.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學?？寄M預測）由直線x+V+6=。上一點p向圓

C:（x-3y+（y+5）2=4引切線，則切線長的最小值為.

變式2.（2023?北京海淀?北大附中校考三模）已知圓。:爐+9=1,直線3x+4y-10=0上動點尸，過點尸作

圓。的一條切線，切點為A,貝的最小值為（）

A.1B.72C.73D.2

變式3.（2023?全國?高三專題練習）已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓

C:x2+y2_2x-2y+l=0的兩條切線，A,3是切點.求四邊形24cB面積的最小值.

（四）切線的應用

例7.（2023?四川成都?樹德中學?？寄M預測）若直線依+勿=1（4>0,6>0）,與eO:Y+y2=i相

切，則a+2b最大值為（）

A.6B.y/5C.3D.5

變式1.（2023?四川南充?闔中中學?？级＃┤酎cM是圓C:尤2+尸-4尤=0上的任一點，直線/:x+y+2=0

與x軸、》軸分別相交于A、8兩點，則的最小值為（）

71一兀一兀一兀

A.—B.-C.—D.一

12436

變式2.（2023?全國?高三專題練習）已知圓C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直線y=丘+5上總存在點P,使得

過點尸的圓C的兩條切線夾角為60。，則實數上的取值范圍是（）

QQ

A.k<-----B.k<---或左之1

1515

Q

C.k4---或女>0D.kN\

變式3.（2023春?江西高二臨川一中校聯考階段練習）已知圓O:￡+y2=4,直線/的方程為％—y+"=o,

若在直線/上存在點P,過點P作圓。的切線PA切點分別為點A,8,使得/APB為直角，則實數加的

取值范圍為（）

A.（-oo,^4-）u（4,+oo）B.（-co,-4]u[4,+a）j

C.(-M)D.[-4,4]

考點四：圓的弦長問題求圓的弦長問題

例8.（2023秋?高二課時練習）過三點A（1,3）,B（4,2）,C（1,-7）的圓交于y軸于兩點，則|同|=

（）

A.26B.8C.4&ID.10

變式1.（2023春?江蘇南京?高二南京市江寧高級中學校聯考期末）己知直線人尤+y-1=0：與圓

C:（x—3『+（y+4）2=5交于48兩點，貝U|AB|=.

變式2.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學?？寄M預測）直線/:皿-y+2-3皿=O（〃zeR）與圓

C:尤2+V_2y_15=0交于兩點P、Q,則弦長|尸。的最小值是.

22

變式3.（2023秋?福建寧德?高二統考期中）已知P（2,2）,圓G:（x-1）?+y2=5,|§|C2:（x—3）+（y+1）=9,

若直線/過點尸且與圓G相切，則直線/被圓c?所截得的弦長為（）

A.4B.245C.6D.8

（一）已知圓的弦長求參數

在1例9.（2023春?上海黃浦?高二統考期末）設直線，="+3與圓/+）?=4相交所得弦長為2石，則

a=?

變式1.（2023秋?高一單元測試）在平面直角坐標系xQy中，已知圓”的圓心在直線丫=-2無上，且圓M

與直線x+y-l=0相切于點尸（2,-1）.

⑴求圓M的方程；

（2）過坐標原點0的直線/被圓“截得的弦長為屈,求直線/的方程.

變式2.（2023秋?高一單元測試）已知直線/：丘-、-2左+2=。被圓C：/+（，+1>=16所截得的弦長為

整數，則滿足條件的直線/有條.

變式3.（2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學統考三模）若直線丘-，+1-2左=。與圓C：（x-iy+y2=4相交

于A,8兩點,貝UIA3I的最小值為（）

A.2A/3B.2夜C.73D.應

變式4.（2023春?陜西西安?高二西安市鐵一中學校考階段練習）設。、》為正數，若直線依-勿+1=0被

圓f+y?+4x-2y+1=0截得弦長為4，貝I的最小值為__________.

ab

變式5.（2023秋?黑龍江佳木斯?高二佳木斯一中?？计谀┮阎^點（0,2）的直線/與圓心為C的圓

（彳-2）2+（丫-1）2=10相交于人，3兩點，當AABC面積最大時，直線/的方程為（）

A.2尤一y+2=0B.2%—y+2=0或2%+y一2二0

C.x=0D.x=0或2x+y-2=。

（二）圓的中點弦問題

例10.（2023?全國?高三專題練習）若點為圓C:x2+y2-4x=0的弦AB的中點，則直線AB

的方程是（）

A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x-y=0D.x+y=0

變式1.（2023秋?遼寧錦州?高二校考期中）若尸（-2,1）為圓f+2x+y2=io的弦AB的中點，則直線A3的

方程是（）

A.x-y-3=0B.x+y+3=0

C.x-y+3=0D.x+y-3=0

變式2.（2023秋?北京?高二人大附中校考階段練習）圓C:Y+4x+y2_5=0的一條弦以點4-1,2）為中點,

則該弦的長為（）

A.2B.4C.非D.2非

變式3.（2023秋?天津河東?高二統考期中）已知圓C:Y+（y-I）?=10,直線/過點P（2,2）且與圓C交于4,8

兩點，若P為線段的中點，。為坐標原點，則AAC?的面積為.

考點五：直線與圓的綜合問題

［例11.【多選】（2023?湖北武漢?統考三模）己知圓C：x2+y2=l,直線/：y=x+l,則（）

A.直線/在y軸上的截距為1

B.直線/的傾斜角為:

4

C.直線/與圓C有2個交點

D.圓C上的點到直線/的最大距離為&

變式1.【多選】（2023春?廣西河池?高二校聯考階段練習）已知直線/：丘-丁-左=。與圓

M:x2+y2-4x-2y+1=0,則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點（1,0）

B.圓M的圓心坐標為（2,1）

C.存在實數%,使得直線/與圓/相切

D.若％=1,直線/被圓M截得的弦長為4

變式2.【多選】（2023春?湖北孝感?高二校聯考階段練習）已知圓C:（x-l）2+（y-l）2=4,直線

l:x+my+2m-3=0,則下列說法正確的是（）

A,直線/過定點（-2,3）

12

B.當加=不時，直線/與圓C相切

C.當機=-1時，過直線/上一點P向圓C作切線，切點為。，則|尸01的最小值為當

12

D.若圓C上只有一個點到直線/的距離為1,則，〃=-y

變式3.【多選】（2023秋?廣東揭陽?高二統考期末）已知圓M:（x-l）2+（y-l）2=4,直線/:無+y+2=。,

產為直線/上的動點，過點尸作圓〃的切線上4、PB,切點為A、B,則下列結論正確的是（）

A.四邊形MAE?面積的最小值為4B.四邊形MAPS面積的最大值為8

C.當NAPfi最大時，\PA\=2y/2D.當/APB最大時，直線的方程為x+y=0

變式4.【多選】（2023春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谥校﹫AC：%2+/+4x-6y+4=0,直線

/:3x-4y-2=0,點尸在圓C上，點。在直線/上，則下列結論正確的有（）

A.直線/與圓C相交

B.的最小值是1

C.若P到直線/的距離為2,則點P有2個

D.從。點向圓C引切線，則切線段的最小值是S

變式5.【多選】（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀┮阎本€/：>=京+2左+2（左eR）與圓C：

x2+/-2y-8=0.則下列說法正確的是（）

A.直線/過定點（-2,2）

B.直線/與圓C相離

C.圓心C到直線/距離的最大值是20

D.直線/被圓C截得的弦長最小值為4

考點六：直線與圓方程的應用

在］例12.（2023春?廣東廣州?高二統考開學考試）如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度A8

為6米，拱高（圓拱最高點到水面的距離）為1米.早季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到

米.

變式1.（2023春?上海靜安?高二上海市回民中學?？计谥校┤鐖D是某圓拱橋的一孔圓弧拱的示意圖，該圓

弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一個垂直地面的支柱，中間的支柱劣鳥=4米.

（1）建立適當的坐標系求該圓拱橋所在曲線的方程；

（2）求其它支柱的高度（精確到0.01米）.

變式2.（2023秋.山西晉中.高二統考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬

分別為8m、4m）和圓弧構成，截面總高度為6m,為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂

部在堅直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行車道總寬度=6m.

(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程;

(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？

考點七：韋達定理及其應用

例13.(2023春?江蘇鎮江?高二揚中市第二高級中學?？奸_學考試)已知圓C經過點僅，-⑹，(0,⑹

及(3,0).經過坐標原點0的斜率為k的直線/與圓C交于M,N兩點.

⑴求圓C的標準方程；

(2)已知點尸(-3,0),若APACV的面積為2君，求女的值.

變式1.(2023秋?安徽蕪湖?高二安徽省無為襄安中學?？茧A段練習)已知點4(0,0),3(2,0),曲線C任

意一點P滿足|郎=&|酬.

⑴求曲線C的方程；

(2)設直線x-y+〃z=。與圓C交于A、B兩點，是否存在實數“3使得以48為直徑的圓過原點，若存在，

求出實數機的值；若不存在，請說明理由.

變式2.(2023秋?陜西渭南?高一?？茧A段練習)已知圓C經過網4,-2),。(-1,3)兩點，且圓心C在直線

無+>-1=0上.

⑴求圓c的方程；

(2)若直線/：y=-尤+m與圓C交于點A,B,且以線段A8為直徑的圓經過坐標原點，求直線/的方程.

變式3.(2023秋?高二單元測試)已知方程V+y2-2x-4y+"z=0,〃zeR.

(1)若此方程表示圓，求機的取值范圍；

⑵若⑴中的圓與直線x+2y-4=0相交于河，N兩點，S.\OM+ON\=\OM-ON\(。為坐標原點)，求

m的值.

變式4.(2023秋?遼寧大連?高三校聯考階段練習)圓C:V-(l+a)尤+y2-ay+a=0.

(1)求證：不論。為何值，圓C必過兩定點;

⑵已知圓C與龍軸相交于兩點M,N(點/在點N的左側).過點M任作一條與X軸不重合的直

線與圓O:/+y2=9相交于兩點A,B,問：是否存在實數。，使得拉=若存在，求出實數。

的值，若不存在，請說明理由.

考點八：與圓有關的定點、定值問題

例14.(2023秋?廣西桂林?高二廣西師范大學附屬中學?？茧A段練習)過點加(1,0)的直線/與圓

C：/+(〉-2『=4交于AB兩點，N為圓C與>軸正半軸的交點.

⑴若|AB卜2百，求直線/的方程；

(2)證明：直線4V,9V的斜率之和為定值.

變式1.(2023秋?福建寧德?高二統考期中)己知圓C過點A(7,⑹，且與直線后-y=0相切于點網1,@.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若M(-2,0),N(2,0),點尸在圓C上運動，證明：血為定值.

變式2.(2023秋廣東深圳?高二統考期末)已知過點P(0T)的直線/與圓E:/+/一4尤-6y+4=0交于A,

B兩點，M為AB的中點，直線/與直線機：x+2y+4=0相交于點N.

(1)當|A8|=2V7時，求直線/的方程；

(2)證明：西7.麗+麗?而為定值.

QCj例15.(2023秋?江蘇連云港?高二統考期中)已知圓0:1+產=16,直線x-2y-8=。與圓。交于

A,B兩點.

⑴求1叫；

⑵設過點P(2,-4)的直線交圓。于M,N兩點，過M且平行于無軸的直線與線段A8交于點T,點S滿足

MS=2MT.證明：直線SN過定點.

變式1.(2023春?上海徐匯?高二上海市徐匯中學校考期中)已知圓M方程為2)2=1,直線/的方

程為無-2y=0,點p在直線/上，過P作圓M的切線9、PB,切點為A、B.

⑴若尸點坐標為(。,。)，求NAPfi

(2)經過A、P、M三點的圓是否經過異于點〃的定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

變式2.（2023春?四川廣安?高二廣安二中?？茧A段練習）己知在平面直角坐標系xOy中，A（0,l）,3（0,4）,

平面內動點尸滿足21PAi=|依|.

（1）求點P的軌跡方程；

⑵點尸軌跡記為曲線?，若C,。是曲線r與x軸的交點，E為直線I：x=4上的動點，直線CE,OE與曲

線，的另一個交點分別為M，N,直線MN與無軸交點為。，求點。的坐標.

||函真題演練

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.（2023?全國?統考高考真題）已知實數無，、滿足/+/一4了-2丁-4=0,則左一》的最大值是（）

A.1+孚B.4C.1+3忘D.7

2.（2023?全國?統考高考真題）過點（0,-2）與圓V+、2-4丈-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

A.1B.巫C.叵D.逅

444

3.【多選】（2021?全國?統考高考真題）3知直線/:◎+勿-產二。與圓c：x2+y2=/,點A（a,b）,則下列

說法正確的是（）

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點A在圓C內，則直線/與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點A在直線/上，則直線/與圓C相切

4.（2023?全國?統考高考真題）已知直線/：x-my+l=0與。C:（尤-1）2+y=4交于A,B兩點，寫出滿足

Q

“△ABC面積為:'的m的一個值_____.

5.（2021?天津?統考高考真題）若斜率為6的直線與y軸交于點A,與圓/+（y-l）2=l相切于點3,則|AB|=

6.（2022.天津?統考高考真題）若直線X7+加=0（加>0）與圓（*-1）2+（>-1）2=3相交所得的弦長為機，

貝|機=.

7.（2022?全國?統考高考真題）設點4-2,3）,8（0,a）,若直線A3關于>=。對稱的直線與圓

（x+3y+（y+2>=1有公共點，則。的取值范圍是.

1晝過關檢測門:

-------------------llllllllllllllllillllllllllllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.（2023春?廣西高三統考階段練習）若直線x+2y+l=。是圓（x-a）2+y2=i的一條對稱軸，則"=（）

A.；B.—C.1D.—1

22

2.（2023春?福建廈門?高二廈門雙十中學?？茧A段練習）過直線，=無上的一點尸作圓（X-5）2+（y-以=2的

兩條切線4，6,切點分別為43,當直線4，4關于V=尤對稱時，線段上4的長為（）

A.4B.20C.屈D.2

3.（2023春?甘肅白銀?高二校考期末）坐標軸與圓C:f+/一4-2丁+1=0的交點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（廣東省江門市2023-2023學年高二下學期期末數學試題）若直線x-y+3=0與圓Y+/-2x+2-a=。

相切，貝（）

A.9B.8C.7D.6

5.（2023?江蘇鎮江?江蘇省鎮江中學?？寄M預測）己知半徑為1的圓。上有三個動點A,8,C,且||=0，

則正.瓦1的最小值為（）

]LI—1

A.1—^/2B.y/2—1C.——D.——

6.（2023?山東泰安?統考模擬預測）已知直線/：m—>+加+1=0（6。0）與圓C:/+y2—4%+2y+4=0,過

直線/上的任意一點2向圓C引切線，設切點為A5,若線段A5長度的最小值為百，則實數加的值是（）

1212-77

A.——B.-C.-D.——

5555

7.（2023春?江西九江?高二德安縣第一中學?？计谥校┰O直線/被圓C：/+,2—2%——=（）所截得弦A5的

中點為則直線/的方程為（）

A.x+y+3=0B.元一）+3=0

C.x+y-3=0D.%-丁一1=0

8.（2023秋?重慶長壽?高二統考期末）已知直線%+>+根=0（根>0）與圓O:/+y2=i相交于人，8兩點，

當AAQS面積最大時，實數根的值為（）

A.2B.1C.gD.-

24

9.（2023?高二課時練習）已知從點（-5,3）發出的一束光線，經無軸反射后，反射光線恰好平分圓：

（尤-lf+（y-l）2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x—2y+l=0D.3%—2y—1=0

二、多選題

10.（2023秋?高二單元測試）設直線/過點（-2,0）,且與圓x?+y2=i相切，貝心的斜率是（）

A.-V3B.-@C."D.73

33

11.（2023秋?福建寧德?高二統考期中）已知點P在圓C:無2+丁-2尤-3=0上，點分別為直線

/:3x-4y+12=0與x軸，y軸的交點，則下列結論正確的是（）

A.直線x=-1與圓C相切B.圓C截y軸所得的弦長為4

C.的最大值為7D.△形尸的面積的最小值為g

12.（2023春?福建福州?高二校聯考期中）已知圓C:（x+iy+（y-2）2=25,直線

/:（3〃7+l）x+（〃2+l）y—5，〃-3=0,貝!］（）

A.直線/與圓C相交

B.直線/過定點（2,1）

C.圓C被y軸截得的弦長為

D.圓C被直線/截得的弦長最短時，直線/的方程為x=l

13.（2023?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測）已知圓E1的圓心在直線x=2上，且與/:X-6J+2=0相

切于點可1,6）,過點。（LO）作圓E的兩條互相垂直的弦A3,8,記線段A3,8的中點分別為則

下列結論正確的是（）

A.圓E的方程為（x-2）2+;/=4B.四邊形AC3￡＞面積的最大值為4石

C.弦A8的長度的取值范圍為［2君,4］D.直線恒過定點1

14.（2023春?河南周口?高二校聯考階段練習）已知直線1與圓O:/+y2=i相切于點〃，且分別與x軸的

正半軸、y軸的正半軸交于A,B點，則下列各選項正確的是（