重難點01圓的綜合題型（圓性質的應用、圓與四邊行結

合的動態探究、情景與應用題型、隱圓問題）

模型01圓性質的應用）

模型02圓與四邊形結合的動態探而

專題16圓的綜合題型（圓性質的模型03情景與應用題型）

應用、圓與四邊形結合的動態探

究、情景與應用題型、隱圓問題）模型04隱圓問題〕

吩時我解讀

圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現，解答題居多且分值較大，難度較高，多

考查切線的性質與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相

似三角形、銳角三角函數、勾股定理、圖形變換等相關知識點以及數形結合、整體代入等數學思想.

模型01圓性質的應用

圓性質的應用該題型近年主要以選擇、填空形式出現，在綜合性大題考試中，難度系數不大，在各類

考試中都以中檔題為主。解這類問題的關鍵是結合圓的性質及相關判定定理與推論并結合圓和其它幾何

的相關知識點進行解題。

答?題?技?巧

1.靈活應用弦弧角之間的關系，弦和弧最終轉化為角，一般情況下是圓周角；

2.碰到直徑想直角，直徑所對的圓周角為90°；

3.看到切線一一連半徑一一90°,證明切線時注意證明90°；

4.圓內接四邊形一一對角互補，外交等于內對角；

［器型行停T

1.（2024,江蘇）如圖，在O。中，2B是直徑，CD是弦，且4B1CD,垂足為E,AB=20,

CD=12,在的延長線上取一點F,連接CF,使NFCD=2NB.

（1）求證：CF是。。的切線;

（2）求EF的長.

'支式

1.如圖，四邊形48co內接于圓。，400=108。，則/8CD的度數是（）

A.127°B.108°C.126°D.125°

2.如圖，一個燒瓶底部呈球形，該球的半徑為5cm,瓶內截面圓中弦N8的長為8c加，則液體的最大深度CD

為（）

3.如圖，為。。的直徑，點C為圓上一點，且NC/B=50。.現有以下操作：①以點B為圓心，適當長

為半徑作弧，交4B,3c于點。，E；②分別以點。，E為圓心，大于gDE的長為半徑作弧，兩弧交于

點尸；③作射線B尸交。。于點G.則/GZC的大小為（）

25°C.20°D.15°

4.如圖，在△4BC中，ZACB=3QO,AC=4,。為2c上的一個動點，以8。為直徑的圓。與相切于

點、B,交4D于點E,則CE的最小值為

5.如圖，48是圓。的直徑.C,。為圓。上兩點，且8。平分/CA4,連接CD,AC,若NACD=29°,

6.如圖，。。是直角三角形N5C的外接圓，直徑/C=4,過C點作。。的切線，與延長線交于點D,

M為C。的中點，連接BM,OM,且8c與0M相交于點N.

⑴求證：9與。。相切;

⑵當乙4=60。時，在。。的圓上取點尸，使乙45尸=15。，補全圖形，并求點尸到直線48的距離.

7.如圖，是。。的直徑，C,。是同側圓上的兩點，半徑OD〃8c交/C于點￡,ZBAC=30°.

ac

B

⑴求證：CD=BC；

(2)若/C=2石，求。。的半徑.

8.如圖，在△ZBC中，ZC=90°,/B/C的平分線交2c于點。，點。在48上，以點。為圓心，0/為半

徑的圓恰好經過點。，分別交NC、48于點￡、F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關系，并說明理由.

(2)若30=36，BF=3,求。。的半徑.

■■^一■■■■

模型02圓與四邊形結合的動態探究

考|向|預|測

特殊四邊形與圓結合的動態探究模型該題型主要以解答題的形式出現，綜合性較強，有一定難度，主要考

查對圓性質的理解與三角形或四邊形綜合知識的應用。實際題型中對數形結合的討論是解題的關鍵。許多

問題的討論中需要我們對四邊形的判定和性質有清晰認識。

答|題|技|巧

I.圓的性質應用，根據專題1的解題思路進行求解；

2.注意結合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質與判定熟練應用；

3.四邊形的存在性問題注意假設、反推；

4.數形結合進行分析、解答

［題型行停T

1.如圖，圓內接四邊形4BOC,4B是。。的直徑，0D上BC交BC于點、E,NACB=9Q°.

⑴求證：點。為藍的中點；

（2）若8E=4,AC=6,求DE.

＞麥K

1.如圖，四邊形NBC。是圓。的內接四邊形，ABAD=50°,則Z8CD的度數是（）

A.120°B.80°C.130°D.50°

2.圓內接四邊形4BCD中，AB=AD,BD是對角線，480=40。，則NC的度數是（）

3.在。。中，點4瓦。,。在圓上，OB〃DC,OD〃BC,則/N為（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

4.如圖，四邊形NBCD是圓。的內接四邊形，ZC=110°,則//的度數為（）

C

5.閱讀下列材料，然后解答問題.

經過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正

四邊形叫做這個圓的內接正四邊形.

如圖，正方形N8CD內接于。。，。。的面積為岳，正方形N3CD的面積為S2.以圓心。為頂點作/MON,

使/MON=90。.將/MON繞點。旋轉，OM、ON分別與。。交于點E、F,分別與正方形的邊交

于點G、H.設由OE、OF、不及正方形工BCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S.

圖②圖③

⑴當經過點A（如圖①）且。。的半徑為1時，求S的值（結果保留萬）;

（2）當于G時（如圖②），求S、5、邑之間的關系為：J用含岳、S2的代數式表示打

⑶當/MON旋轉到任意位置時（如圖③），則（2）中的結論仍然成立嗎：請說明理由.

6.定義：對角線互相垂直的圓內接四邊形叫做圓的"閃亮四邊形

圖1圖2

(1)若口/BCD是圓的“閃亮四邊形"，貝！|口/BCD是一(填序號)；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,已知。。的半徑為ROELBC于點E,四邊形N2C。是。。的“閃亮四邊形

①求證：OE=；AD

②求證：AB2+CD2=4R2

(3)如圖2,四邊形4BCD為。。的“閃亮四邊形"，AC、AD相交于點尸，AC=BD=3BC=4,求。。

的半徑為R

7.定義：若圓內接三角形是等腰三角形,我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形

(1)如圖1,是。。的一條弦(非直徑),若在。。上找一點C,使得A/BC是"圓等三角形”，則這樣的點

C能找到個.

⑵如圖2,四邊形N3CD是。。的內接四邊形，連結對角線50,△48。和△BCD均為“圓等三角形”，且

AB=AD.

①當乙4=130。時，求/80C度數.

②如圖3,當//=120。，48=2時，求陰影部分的面積.

模型03情景與應用題型

考I向I預I測

圓結合的情景與應用模型近年在中考數學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易得滿分。

該題型主要以解答題的形式出現，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的

事物或者生活現象緊密結合，需要同學們有較強的閱讀和理解題意的能力，同時還要有一定的知識儲備。

在解題時要根據題意把轉化為我們所學習的圓的相關知識應用。

答I題I技I巧

I.理解題意，聯系圓的相關知識點；

2.圓的相關證明與判定依據模型1的思路總結；

3.利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關知識點解題;

|轂型三例

1.利用素材解決：《橋梁的設計》

某地欲修建一座拱橋，橋的底部兩端1用的水面寬AB=L稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=/稱

問

拱高，拱橋的輪廓可以設計成是圓弧3W或拋物線型，若修建拱橋的跨度￡=32米，拱高〃=8米.

題

驅，人

動

)

方案一：圓弧型方案二：拋物線型

c

圖C

形

A。（0

(1)如圖，我們通過尺規作圖作荔所在圓的圓心

(3)以N8所在直線為x軸，48的垂直平分線

任0,得出結論：不在同一條直線上的_____個點確

為丁軸建立平面直角坐標系，求此橋拱的函數表

務定一個圓.

達式.

(2)求力所在圓的半徑.

＞支式

1.在學習圓的相關知識后，小帥同學進行了關于弦切角的相關探索（弦切角定義：頂點在圓上，一邊與圓

相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線〃與。。相切于點/,即是。。的一條弦，則/皿就是弦切角）,

發現弦切角的大小與它所夾弧所對的圓周角度數相關.請根據這個思路完成以下作圖和填空.

⑴尺規作圖：已知是。。的直徑，延長48,過點8作。。的切線（M在點8左側，N在點、B右

側.保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖C、。是圓上兩點，在（1）的條件下，/DBN為弦切角，求證：NDBN=NBCD.

證明：連接工。.

??,是。。的直徑，

NADB=①?

是過點2的切線,

即NABN=90°，

ZDBN+ZABD=90°

ZA+ZABD=90°

：.ZDBN=ZA

又???NN和ZC是弧麗所對的圓周角

，//=③.

NDBN=ZC.

由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角⑷它所夾弧所對的圓周角.（橫線上填："大于"或"等于"或"小

于"）

2."求知”學習小組在學完"圓內接四邊形的對角互補”這個結論后進行了如下的探究活動:

⑴如圖1,點4B、C在。。上，點。在。。外，線段40、CD與。。交于點E、F,試猜想/8+/。」80。

（請填"<"或"="）；

（2）如圖2,點4B、C在。。上、點。在。。內，此時（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，請予以證明;

若不成立，請寫出你的結論并予以證明；

3.閱讀與思考

直線與圓的位置關系學完后，圓的切線的特殊性引起了小王的重視，下面是他的數學筆

記，請仔細閱讀并完成相應的任務.

歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個交點的直

線.切線：幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線.平面幾何中，將

和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線…

證明切線的常用方法：①定義法；②距離法（運用圓心到直線的距離等于半徑）；③利

用切線的判定定理來證明.

添加輔助線常見方法：見切點連圓心，沒有切點作垂直.

圖1是古代的"石磨"，其原理是在磨盤的邊緣連接一個固定長度的"連桿"，推動"連桿"然

后帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為"曲柄連桿機構”.圖2是

一個"雙連桿"，兩個固定長度的“連桿"/尸，的連接點尸在。。上，MN1EF,垂足

為。，當點尸在。。上轉動時，帶動點48分別在射線加，。尸上滑動，當點3恰好

圖1圖2

切.

理由：連接O尸.

???點2恰好落在。。上，

:.ZPBO=-ZPOE.（依據1）

2

：ZPBO=-ZPAO,

2

ZPOE=ZPAO.

MN1EF,

ZPOE+ZAOP=90°,

ZPAO+ZAOP=90°.

■：ZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,（依據2）

N4Po=90°,

.?.4尸與。。相切.

任務：

⑴依據1：.

依據2：.

（2）在圖2中，。。的半徑為6,4P=8,求3尸的長.

4.如圖1是一張乒乓球桌，其側面簡化結構如圖2所示，臺面AB=274cm（臺面厚度忽略不計）與地面平

行，且高度為76cm（臺面與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸的上端E,尸與臺面下方相連,

PF與QF的下端尸，Q與直徑為4cm的腳輪（側面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計），直線型支架CG

與。H的上端C,。與臺面NB下方相連，下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架GH分別與PE,QF

在點G,〃相連，且OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,已知所=106cm,

—=-,tanZECG=tanZFDH=-

CE93

(2)當初所在的圓經過點尸、。時，求：麗所在的圓的圓心到臺面48之間的距離

模型04隱圓問題

，［而i袁國

隱圓問題主要出現在壓軸題型中，一般是填空題的最后一道或者多可能問題中出現，屬于動點模型問題。

想要解決此類問題需要解決此類問題，需要真正理解圓的定義及性質，根據圓的定義與性質判定動點移動

的軌跡。

答?題?技?巧

隱圓問題一般有以下幾種表現形式：

(1)根據圓的定義判定，動點在移動的過程中到某一定點的距離始終不變；

(2)等弦對等角，一般考試中出現直角不變型的情況居多；

(3)四點共圓型，利用圓內接四邊形的性質，對角互補；

模型01定義型

點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。

模型02直徑所對的角為直角(直角模型)

一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧；

如圖，若P為動點，AB為定值，ZAPB=90°,則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。

模型03等弦對等角模型

一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動點，為定值，乙4依為定值，則

|題型三例

1.如圖，在A42C中，ZACB=90°,AC=3,2c=4,點。在NC邊上，且/。=2,動點P

在2C邊上，將△PDC沿直線尸。翻折，點C的對應點為E,則△/E2面積的最小值是（）

,支式

1.如圖，在正方形48co中，AB=2,E為邊AB上一點、,下為邊3c上一點.連接和/尸交于點G,

連接2G.若AE=BF,則8G的最小值為

cB

E

D

2.如圖，四邊形48CD為矩形，AB=3,BC=4.點尸是線段3C上一動點，點M為線段4尸上一

點.ZADM=ZBAP,則BM的最小值為（）

C.V13-|D.V13-2

3.如圖，菱形/8CD邊長為4,乙4=60。，M是邊的中點,N是N8邊上一動點，將△/MTV沿所在

的直線翻折得到△4MN,連接4C,則4c的最小值是（）

C.277-2D.3

4.如圖，在Rt^ABC中，入4cB=90。，點E在AC上，以CE為直徑的。。經過力B上的點D,與。B交于點尸,

S.BD=BC.

（1）求證：4B是。。的切線；

（2）若4。=遮，AE=1,求方的長.

1.（2023?山西）如圖，△N5C中，ZC=90°,/A4c=30°,48=2,點尸從C點出發，沿C8運動到點

8停止，過點3作射線NP的垂線，垂足為。，點0運動的路徑長為（）

A.2爪B.V3C.6兀D.—

363

2.（2023?廣州）如圖，等邊三角形和等邊三角形點N,點M分別為8C,DE的中點，AB=6,

AD=4,△，￡>￡繞點/旋轉過程中，VN的最大值為.

3.（2024?云南）如圖，"筒車"盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心。在水面上方，且當圓

被水面截得的弦NB為6米時，圓心到水面的距離為4米，則該圓在水面下的最深處到水面的距離為—

米.

4.（2023?貴州）如圖，在△48C中，ZACB=30°,AC=4,。為8c上的一個動點，以2D為直徑的圓。

與48相切于點8,交AD于點、E,則CE的最小值為

A

5.（2024?青海）如圖，直線28經過點C,且。4=OB,CA=CB.

⑴求證：直線力B是。。的切線；

（2）若圓的半徑為4,NB=30。，求陰影部分的面積.

?模廷滲用

1.一次折紙實踐活動中，小明同學準備了一張邊長為4（單位：dm）的正方形紙片N5。，他在邊和

4D上分別取點E和點使AE=BE,AM=1,又在線段MD上任取一點N（點N可與端點重合），再

將沿所在直線折疊得到△E/W,隨后連接。4,小明同學通過多次實踐得到以下結論：

①當點N在線段上運動時，點H在以E為圓心的圓弧上運動；

②W的最大值為4；

③D4'的最小值為2出-2;

④當H到43的距離達到最大值時，MN=\.

你認為小明同學得到的結論中正確結論的序號是.

2.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，圓上的點A,B,C均在格點上.

(1)線段ZB的長等于；

(2)請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出圓心。，并簡要說明點。的位置是如何找到的(不要

求證明).

3.已知以48為直徑的圓。，C為弧的中點，尸為2C弧上任意一點，CDLCP交4P于D,連接8。,

若43=8,8。的最小值為.

4.。。中，A8為直徑，點C為圓上一點，將劣弧4C沿NC翻折交42于點。，連接CD.

(1)如圖1,若點。與圓心。重合，AC=3,則。。的半徑