上節(jié)課回顧1、標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)的計(jì)算2、非標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)的計(jì)算3、高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)（1）峰值時(shí)間tp、上升時(shí)間tr、調(diào)節(jié)時(shí)間ts與ζ和ωn有關(guān)（2）超調(diào)量σ、最大偏差A(yù)、衰減比n僅與ζ有關(guān)。2、非標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)的計(jì)算3、高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)難點(diǎn)當(dāng)K≠1或階躍輸入的幅值不為1時(shí)，其階躍響應(yīng)輸出的質(zhì)量指標(biāo)如何計(jì)算？任何線性二階系統(tǒng)(分子不含零點(diǎn)）均可表示為以下傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為階躍函數(shù)R(s)=C/s，即幅值為C的階躍信號(hào)時(shí)，輸出等于：由圖可知：l

時(shí)間指標(biāo)不變被標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的特征參數(shù)唯一決定。l

反映絕對(duì)誤差的最大偏差A(yù)數(shù)值不同，成比例放大。●2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相對(duì)指標(biāo)σ和n不變說(shuō)明什么？A’A’K≠1時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差不為零！高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)1）解析法2）降階法拉氏變換求特征方程特征根拉氏反變換拉氏變換求特征方程特征根找主導(dǎo)極點(diǎn)有閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)將高階系統(tǒng)分解為低階系統(tǒng)的線性組合將高階系統(tǒng)降階為二階系統(tǒng)Y(s)的拉氏反變換為：高階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線是由一些指數(shù)曲線和阻尼正弦曲線疊加而成。當(dāng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)都位于s左半平面時(shí)，因此，當(dāng)t→∞時(shí)，上式中所有的指數(shù)項(xiàng)和阻尼指數(shù)項(xiàng)都趨于零，因此它們是系統(tǒng)的暫態(tài)分量，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

y(∞)=a。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)要滿足的兩個(gè)條件是：l

控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的形式以及性能指標(biāo)主要取決于這對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。2、與其它閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離在5倍以上。1、在S平面上，距離虛軸比較近，且周圍沒(méi)有其它的零極點(diǎn)。l

一般高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)都是振蕩的，主導(dǎo)極點(diǎn)往往是一對(duì)共軛復(fù)根。閉環(huán)零極點(diǎn)：偶極子：一對(duì)靠得非常近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，附近沒(méi)有其它零極點(diǎn)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的首要目的就是要確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定；

不穩(wěn)定的系統(tǒng)沒(méi)有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的一種屬性。

與系統(tǒng)輸入量無(wú)關(guān)。在有限的輸入變量作用下，系統(tǒng)輸出一定是有限值3.6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及條件二階系統(tǒng)：ζ>0時(shí)，系統(tǒng)的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)階躍響應(yīng)過(guò)程按指數(shù)衰減趨勢(shì)變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；ζ＝0時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)是純虛數(shù)，階躍響應(yīng)過(guò)程等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；ζ＜0時(shí)，系統(tǒng)特征根具有正實(shí)部，階躍響應(yīng)過(guò)程曲線發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。極點(diǎn)的實(shí)部出現(xiàn)在單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)中，決定輸出響應(yīng)的形式，負(fù)實(shí)部使指數(shù)項(xiàng)衰減，最終輸出恒定，正實(shí)部使指數(shù)項(xiàng)無(wú)限增加，最終輸出發(fā)散，實(shí)部為零，指數(shù)項(xiàng)為0，輸出等幅振蕩。問(wèn)題：極點(diǎn)虛部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？問(wèn)題：極點(diǎn)實(shí)部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？推廣結(jié)論：解析方法－求解系統(tǒng)的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高階系統(tǒng)求解困難勞斯穩(wěn)定判據(jù)－不用求解系統(tǒng)的特征方程，就可以得知系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根（極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部。

3.6.2勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)的特征方程式為：特征根全部具有負(fù)實(shí)部(3-52)(1)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正—必要條件；(2)勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正—充分條件；(3)第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)。勞斯行列式：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號(hào)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：例3-6利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式：勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實(shí)際上該系統(tǒng)的4個(gè)根為：

100

001000例3-7若一系統(tǒng)的特征方程為：利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：特征方程的系數(shù)均為正，列寫(xiě)勞斯行列式：該系統(tǒng)的特征方程式有兩個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的4個(gè)根為：符號(hào)改變一次→符號(hào)改變一次→幾種特殊情況（1）第一列有零值出現(xiàn)用一很小的正數(shù)ε來(lái)代替這個(gè)零，并繼續(xù)勞斯行列式的計(jì)算；當(dāng)?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶螅瞀拧?，檢驗(yàn)第一列的符號(hào)變化次數(shù)；若符號(hào)沒(méi)有發(fā)生變化，則說(shuō)明系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根,可利用輔助方程求出；若符號(hào)發(fā)生變化，符號(hào)變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。例3-8系統(tǒng)特征方程判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯行列式：ε上下符號(hào)相同，說(shuō)明系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根。通過(guò)解輔助方程可知，02ε0例3-9試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：特征方程的系數(shù)均為正，計(jì)算勞斯行列式如下：ε→0首列整理為:系統(tǒng)有二個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。方程解為：05/2符號(hào)改變一次→符號(hào)改變一次→（2）某行的系數(shù)都為零l

表明系統(tǒng)具有成對(duì)的實(shí)根或共軛虛根，這些根大小相等，符號(hào)相反；l

利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式P（s），然后由的系數(shù)代替零行，繼續(xù)勞斯行列式的計(jì)算；l

輔助多項(xiàng)式為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的因子式，可以通過(guò)求解輔助方程求出那些對(duì)根。

若全零行上下符號(hào)沒(méi)有變化，則說(shuō)明系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根；若第一列符號(hào)發(fā)生變化，符號(hào)變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)；例3-10試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為：解：計(jì)算勞斯行列式輔助多項(xiàng)式：00求p(s)對(duì)s的導(dǎo)數(shù):導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代入s3行。896例3-11可利用輔助方程求出那些大小相等，符號(hào)相反的根：輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個(gè)因子式。行列式第一列系數(shù)符號(hào)變化一次，說(shuō)明系統(tǒng)有一個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定3.6.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響3、確定使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的參數(shù)范圍解題思路：1、列出閉環(huán)傳遞函數(shù)2、寫(xiě)出閉環(huán)特征方程式3、利用勞斯行列式判斷例3-12控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示，確定能保證該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：R(s)Y(s)﹣其閉環(huán)特征方程為：勞斯行列式為：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須大于零，同時(shí)還必須滿足:因此，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是(2)若要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。例3-13已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，并求振蕩頻率。分析：(1)若使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則必有一對(duì)共軛虛根存在。系統(tǒng)的振蕩頻率就是此根的虛部值。

-10[s]

0確定使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，確定振蕩頻率。解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)勞斯行列式：由為零的上一行組成輔助方程：則K=119。可求出：（振蕩頻率）119？解：（2）

代入閉環(huán)特征方程：勞斯行列式：則有11<K<35。當(dāng)11<K<35時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)落在s=-1垂線左側(cè)。

(2)若要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。？例3-14粗略畫(huà)出特征方程為所對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線y(t)。分析：考察根據(jù)勞斯行列式判斷特征根的情況以及掌握特征根的分布與過(guò)渡過(guò)程的關(guān)系。勞斯行列式：根據(jù)勞斯判據(jù)：勞斯行列式中某一行都為零，且上下符號(hào)相同，說(shuō)明有一對(duì)虛根存在，其輸出分量曲線呈等幅振蕩。解:第一列系數(shù)符號(hào)改變一次，說(shuō)明有一個(gè)正實(shí)根存在，輸出分量曲線呈發(fā)散振蕩狀態(tài)。根據(jù)以上二條，1ty(t)判定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)發(fā)散振蕩曲線。3.5控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析誤差一般定義為系統(tǒng)的希望值與實(shí)際值之差。一般有以下兩種：R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)第一種特指為偏差從輸入端定義：e(t)=r(t)-z(t)從輸出端定義：e(t)=r(t)-y(t)當(dāng)為單位反饋系統(tǒng)時(shí)，兩者相同。3.5控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析l

求取穩(wěn)態(tài)誤差的前提是（閉環(huán)）控制系統(tǒng)穩(wěn)定（注意：例3-5(3)題有錯(cuò)）l

一般常用階躍、斜坡或拋物線輸入信號(hào)測(cè)試穩(wěn)態(tài)誤差l

穩(wěn)態(tài)誤差與輸入函數(shù)的形式有關(guān)l

控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)任務(wù)之一，就是盡量減小穩(wěn)態(tài)誤差l

穩(wěn)態(tài)誤差（余差）是反映控制系統(tǒng)精度的重要技術(shù)指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)誤差的影響開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)Gc(s)G0(s)RYF+閉環(huán)控制系統(tǒng)﹢﹣Gc(s)G0(s)RYF+開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)若兩類輸入均為單位階躍函數(shù)：結(jié)論：在階躍干擾作用下，閉環(huán)比開(kāi)環(huán)誤差減小倍。3.5.1穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型

R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)誤差e(t)的拉氏變換為：esr:給定穩(wěn)態(tài)誤差

esf:擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有關(guān)。以給定穩(wěn)態(tài)誤差esr為例分析。(3-40)一般開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以零極點(diǎn)形式表示為：K0:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益N:在根平面坐標(biāo)原點(diǎn)處具有的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)×也可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式：K叫作標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)環(huán)增益在工程上，常根據(jù)G(s)H(s)的形式來(lái)規(guī)定控制系統(tǒng)的“型”。(3-41)在分母中包含sN

項(xiàng)，它表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中包含N個(gè)積分環(huán)節(jié)（在原點(diǎn)處有N重極點(diǎn)）。N=0，N=1，N=2，系統(tǒng)分別稱為0型，1型，2型系統(tǒng)。注意：系統(tǒng)的“型”與系統(tǒng)的階次不同。該系統(tǒng)的階次？開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)稱為系統(tǒng)的“型”。3.5.2給定穩(wěn)態(tài)誤差分析

3.5.2.1單位階躍信號(hào)此時(shí)，由式(3-40)有：定義穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp于是(3-40)對(duì)于不同類型的系統(tǒng)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的Kp值和穩(wěn)態(tài)誤差：0型系統(tǒng)：2型系統(tǒng):1型系統(tǒng)：Kp＝∞，esr=0Kp=∞，esr=03.5.2.2單位斜坡信號(hào)有定義穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv:(3-40)0型系統(tǒng)：3122.521.50.51003r(t)y(t)1型單位反饋系統(tǒng)對(duì)斜波輸入信號(hào)的響應(yīng)Kv＝0，esr＝∞；Kv=K，esr＝1/K；Kv＝∞，esr＝0。1型系統(tǒng)：2型系統(tǒng)：3.5.2.3單位拋物線（加速度）信號(hào)有定義穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka:20型系統(tǒng)：Ka＝0，esr＝∞；Ka＝0，esr＝∞；Ka＝K，esr＝1/K1型系統(tǒng)：2型系統(tǒng)：小結(jié)：表2給定信號(hào)輸入下的給定穩(wěn)態(tài)誤差esr階躍輸入r(t)=1斜坡輸入r(t)=t拋物線輸入r(t)=1/2t2

Kp=K∞∞Kv=0Ka=0Kp=∞0Kv=K∞Ka=00型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型系統(tǒng)Kp=∞00Kv=∞Ka=KKp—穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kv—

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Ka—穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)對(duì)角線上出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差具有有限值，對(duì)角線以上出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差為∞，對(duì)角線以下出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。結(jié)論：①

輸入信號(hào)形式影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。②

esr與N有關(guān)，在系統(tǒng)中增加積分器（提高N），可以改善穩(wěn)態(tài)性能。③

開(kāi)環(huán)增益直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，增大開(kāi)環(huán)增益可以改善閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。④

應(yīng)注意到，增大N值和K值同時(shí)也會(huì)使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能變差，必須在控制精度與穩(wěn)定性之間折衷。例3-4某控制系統(tǒng)的閉環(huán)方塊圖如圖所示，a>0,Ti>0,其中Gc(s)表示為比例加積分控制器的傳遞函數(shù)，G0(s)是被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。對(duì)這一系統(tǒng)施加的給定信號(hào)為：，試計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。Gc(s)G0(s)討論1.解題步驟2.信號(hào)疊加？A倍？解：該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)環(huán)增益:可以看出，此系統(tǒng)為2型，即N＝2。分析：由于給定信號(hào)是三種典型信號(hào)的線性疊加，并被分別乘以了

A1,

A2,A3倍，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)重要性質(zhì)，可疊加性和均勻性，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為它們各自單獨(dú)