微專(zhuān)題十微元法

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................................2

.............................................................................................................................................................................................................3

.............................................................................................................................................................................................................3

....................................................................................................................................................................................................4

一、微元法................................................................................4

二、微元法的解題步驟.......................................................................4

....................................................................................................................................................................................................4

....................................................................................................................................................................................................5

考向一靜動(dòng)力學(xué)中的微元法..................................................................5

考向二變力做功中的微元法..................................................................6

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法........................................................7

考向四均勻帶電體電荷微元法................................................................8

考向五電磁感應(yīng)中棒類(lèi)模型的微元法..........................................................9

考向六帶電粒子在磁場(chǎng)中的微元法...........................................................10

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

題統(tǒng)計(jì)

2024年2023年2022年

命題要點(diǎn)

2024湖南卷T82023全國(guó)甲卷T122022山東卷T3

熱

考2024全國(guó)甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022遼寧卷T15

度

從近三年高考試題來(lái)看，試題以計(jì)算題為主，大多在電磁感應(yīng)中考查單雙棒

命題規(guī)律

問(wèn)題，在其中應(yīng)用動(dòng)量定理處理安培力沖量時(shí)多用到微元法。

預(yù)計(jì)在2025年高考中，還會(huì)多以考查電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的單雙棒問(wèn)題，從中

考向預(yù)測(cè)

用微元法，解決安培力的沖量問(wèn)題，這種類(lèi)型的題目應(yīng)多關(guān)注。

命題情景多以典型的電磁感應(yīng)中單雙棒為命題背景

常用方法微元法

小知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

I核心精講4

—?，一―微元法

微元法是一種處理物理問(wèn)題的方法，它從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體問(wèn)

題的目的。微元法的核心思想是“化整為零”，即先分析“微元”，再通過(guò)“微元”分析整體。這種方法

通過(guò)將問(wèn)題分解為眾多微小的“元過(guò)程”，每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，然后對(duì)“元過(guò)程”進(jìn)

行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。

二、微元法的解題步驟

1.明確研究對(duì)象或研究過(guò)程，并對(duì)其進(jìn)行合理的分割，選擇適當(dāng)?shù)奈⒃Ｎ⒃倪x取應(yīng)盡量簡(jiǎn)單，便于分析

處理，可以是長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量等基本物理量。

2.對(duì)微元進(jìn)行分析，找出其滿(mǎn)足的物理規(guī)律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根據(jù)具體情況建立新

的物理模型。

3.對(duì)微元進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，包括代數(shù)運(yùn)算、微積分等。這一步是微元法的核心，需要熟練掌握數(shù)學(xué)工具。

4.將微元的結(jié)果進(jìn)行累加或累乘，得到整體的結(jié)果。這一步需要注意物理量的方向、正負(fù)號(hào)等問(wèn)題。

對(duì)整體結(jié)果進(jìn)行討論和解釋?zhuān)鞔_其物理意義和適用范圍。需要注意的是，微元法雖然是一種有效的解題

方法，但并不是萬(wàn)能的。在應(yīng)用微元法時(shí)，應(yīng)充分考慮其適用范圍和局限性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤或遺漏。

j真題研析］

1.（2022?山東?高考真題）半徑為R的絕緣細(xì)圓環(huán)固定在圖示位置，圓心位于。點(diǎn)，環(huán)上均勻分布著電量

為。的正電荷。點(diǎn)A、B、C將圓環(huán)三等分，取走A、8處兩段弧長(zhǎng)均為AL的小圓弧上的電荷。將一點(diǎn)電荷

q置于OC延長(zhǎng)線上距。點(diǎn)為2R的。點(diǎn)，。點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度剛好為零。圓環(huán)上剩余電荷分布不變,q為（）

、十尾*QALc十*y/3QAL

A.正電何，q=------B.正電何，q=------

兀RTIR

C.負(fù)電荷，4=改絲D.負(fù)電荷，q=2+Q'L

兀RTIR

【技巧點(diǎn)撥】

（1）明確點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算公式；

（2）利用微元法結(jié)合場(chǎng)強(qiáng)矢量疊加原則，求解電荷量。

2.（多選）（2024?湖南?高考真題）某電磁緩沖裝置如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌置于同一水平面

內(nèi)，導(dǎo)軌左端與一阻值為R的定值電阻相連，導(dǎo)軌段與8G段粗糙，其余部分光滑，A4右側(cè)處于豎直

向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為根的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置。現(xiàn)讓金屬桿以初速度%沿導(dǎo)軌向右經(jīng)過(guò)A4進(jìn)入

磁場(chǎng)，最終恰好停在CG處。已知金屬桿接入導(dǎo)軌之間的阻值為R,與粗糙導(dǎo)軌間的摩擦因數(shù)為〃，

AB=BC=d,導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g,下列說(shuō)法正確的是（）

C

XX

RXX

XX

d——d—H

A.金屬桿經(jīng)過(guò)網(wǎng)的速度為年

B.在整個(gè)過(guò)程中，定值電阻R產(chǎn)生的熱量為:

C.金屬桿經(jīng)過(guò)441g內(nèi)與B4GC區(qū)域，金屬桿所受安培力的沖量相同

D.若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離大于原來(lái)的2倍

【技巧點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)動(dòng)能定理，求解產(chǎn)生的熱量多少；

（2）利用微元法和動(dòng)量定理求解速度、沖量和距離。

;命題預(yù)測(cè).

考向一靜動(dòng)力學(xué)中的微元法

3.（多選）（2024高三.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）從地面上以初速度W豎直向上拋出一質(zhì)量為根的球，若運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中球受到的空氣阻力與其速率成正比，球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，〃時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回

地面，落地時(shí)速率為V/,且落地前球已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g,則（）

V

A.球上升的時(shí)間等于下落的時(shí)間

B.球上升階段阻力的沖量大于下落階段阻力的沖量

C.球上升的最大高度H二（“一劭

g

/、

D.球拋出瞬間的加速度大小%=g1+乜

IvoJ

4.（多選）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）隨著我國(guó)體育在國(guó)際體育產(chǎn)業(yè)地位的不斷提高，2023年多場(chǎng)大型高爾

夫球賽事落地中國(guó)。高爾夫球比賽過(guò)程中教練員可根據(jù)風(fēng)力指示桿上飄帶的形態(tài)提示運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)場(chǎng)風(fēng)力的情

況。若飄帶可視為粗細(xì)一致，其所處范圍內(nèi)風(fēng)速水平向右、大小恒定且不隨高度改變。設(shè)飄帶的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)

質(zhì)量為“2,寬度為d,風(fēng)速為V,空氣密度為可認(rèn)為風(fēng)與飄帶相互作用后速度變?yōu)?。如圖所示現(xiàn)截取

極小的一段△/研究，設(shè)其與豎直方向的夾角為凡則下列說(shuō)法正確的是（）

A.風(fēng)對(duì)該段飄帶的水平作用力為0cos。

B.風(fēng)對(duì)該段飄帶的水平作用力為0dA\2cosO

C.整條飄帶應(yīng)呈一條向上彎曲的曲線形態(tài)

D.整條飄帶應(yīng)呈一條傾斜直線形態(tài)

考向二變力做功中的微元法

5.（2022.貴州黔南.模擬預(yù)測(cè)）在多年前的農(nóng)村，人們往往會(huì)選擇讓驢來(lái)拉磨把食物磨成面，假設(shè)驢對(duì)磨

桿的平均拉力為600N,半徑「為0.5m,轉(zhuǎn)動(dòng)一周為5s,則（）

B.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為650R

C.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為120;rW

D.磨盤(pán)邊緣的線速度為Qbrm/s

6.（多選）（2023?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）冬天的北方，人們常用狗來(lái)拉雪橇。一條狗用水平拉力拉著質(zhì)量

為80kg的雪橇（包括內(nèi)部物品），在水平雪面做半徑為24m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小為3m/s,雪橇與

地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列說(shuō)法正確的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小為40N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進(jìn)方向成37°

C.狗給雪橇的水平拉力功率為150W

D.狗拉著雪橇轉(zhuǎn)過(guò)30。圓弧的過(guò)程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法

7.（2024?安徽合肥?二模）我國(guó)是世界上第三個(gè)突破嵌套式霍爾電推進(jìn)技術(shù)的國(guó)家。霍爾推進(jìn)器的工作原

理簡(jiǎn)化如下圖所示，放電通道的兩極間存在一加速電場(chǎng)。工作物質(zhì)氤氣進(jìn)入放電通道后被電離為氤離子，

經(jīng)電場(chǎng)加速后以某一速度噴出，從而產(chǎn)生推力。某次實(shí)驗(yàn)中，加速電壓為U,款離子向外噴射形成的電流

強(qiáng)度為/.氤離子的電荷量與質(zhì)量分別為q和相，忽略離子的初速度及離子間的相互作用，則離子推進(jìn)器產(chǎn)

生的推力為（）

8.（多選）（2024?福建?三模）如圖所示，消防員正在進(jìn)行消防滅火演練，消防員用高壓水槍噴出的強(qiáng)力

水柱沖擊著火物，設(shè)水柱直徑為D以水平速度V垂直射向著火物，水柱沖擊著火物后速度變?yōu)榱恪８邏核?/p>

槍的質(zhì)量為消防員手持高壓水槍操作，進(jìn)入水槍的水流速度忽略不計(jì)，水的密度為下列說(shuō)法正確

的是（）

A.水槍的流量為1兀uD?

B.水槍的功率為：兀0￡?2,

C.水柱對(duì)著火物的沖擊力為2V2

O

D.向前水平噴水時(shí)，消防員對(duì)水槍的作用力方向向前且斜向上方

考向四均勻帶電體電荷微元法

9.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知均勻帶電薄殼外部空間電場(chǎng)與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣，

內(nèi)部空間的電場(chǎng)處處為0.如圖所示為一帶電量為+Q,半徑為，的均勻帶電球殼，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

立。r軸，其中A點(diǎn)為殼內(nèi)一點(diǎn)，8點(diǎn)坐標(biāo)為2R,靜電力常量為公下列說(shuō)法正確的是（）

A.將+4的試探電荷由殼內(nèi)A點(diǎn)移到。點(diǎn)，試探電荷的電勢(shì)能減小

B.在圓心。處放一個(gè)電量為-2。的點(diǎn)電荷，球殼外表面帶電量仍為+Q

C.在+R處取走極小的一塊面積A5,。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為石=然^

D.在圓心。正上方處取走極小一塊面積AS,B點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為峪

ZSJTIR

10.（24-25高三上?河北?開(kāi)學(xué)考試）如圖，一均勻帶正電荷的圓環(huán)，其半徑為R,圓心為。，AB和C。為

圓環(huán)的直徑，A8與C。垂直，尸點(diǎn)為圓弧AC的二等分點(diǎn)，四分之一圓環(huán)AC部分的全部正電荷在圓心。處

產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為4,關(guān)于圓環(huán)各部分電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，說(shuō)法正確的是（）

A.整個(gè)圓環(huán)全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為44

、_3

B.四分之三圓環(huán)部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為^耳)

C.半圓環(huán)ACB部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為2&E0

D.八分之一圓環(huán)AP部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為V2+V2

考向五電磁感應(yīng)中棒類(lèi)模型的微元法

11.(2024.全國(guó)甲卷?高考真題)如圖，金屬導(dǎo)軌平行且水平放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),導(dǎo)軌光滑無(wú)摩擦。定值

電阻大小為R,其余電阻忽略不計(jì)，電容大小為C。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬棒始終與導(dǎo)軌保持垂直。整個(gè)裝置

處于豎直方向且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。

(1)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，對(duì)金屬棒施加以水平向右的恒力，金屬棒能達(dá)到的最大速度為川。當(dāng)外力功率為定值電

阻功率的兩倍時(shí)，求金屬棒速度v的大小。

(2)當(dāng)金屬棒速度為v時(shí)，斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S,改變水平外力并使金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)外力功率為定值電阻功率的

兩倍時(shí)，求電容器兩端的電壓以及從開(kāi)關(guān)斷開(kāi)到此刻外力所做的功。

R

I——1--------------------1

12.(2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面上平放一閉合正方形導(dǎo)線框成加，其阻值

R=0.2O,邊長(zhǎng)L=0.4m,邊界平行的有界磁場(chǎng)的寬度為L(zhǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T、方向豎直向下。線

框以大小為%=(應(yīng)m/s的初速度水平向右沿與磁場(chǎng)邊界垂直的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)邊與磁場(chǎng)左邊界間的距離為

L時(shí)線框受到一水平向右的恒定拉力廠作用，刃邊運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)左邊界時(shí)立即撤去力F,線框加速度隨位移

圖甲圖乙

⑴線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程通過(guò)線框某一橫截面的電荷量;

(2)%=0.4m時(shí)線框的速度大小；

(3)力尸的大小。

考向六帶電粒子在磁場(chǎng)中的微元法

13.（2025?云南昆明?一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第三象限內(nèi)，區(qū)域I（x<-L）內(nèi)有方向

垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；區(qū)域H（-L<x<0）內(nèi)有一平行紙面且大小、方向均未知的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖

中未畫(huà)出）。一質(zhì)量為加、電荷量為q（4>0）的粒子從點(diǎn)a（-2L,-2L）沿y軸正方向、以大小為%的

L

初速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)b（-L,-乙）沿X軸正方向進(jìn)入?yún)^(qū)域n,粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間「后，從坐標(biāo)原

2%

點(diǎn)進(jìn)入第一象限，第一象限內(nèi)存在垂直無(wú)Oy平面向里的磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與與橫坐標(biāo)

尤滿(mǎn)足與=履（左為大于0的常量）。不計(jì)粒子重力，求：

（1）區(qū)域I內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度耳的大小；

（2）區(qū)域H內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小；

（3）該粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與y軸的最大距離。

14.（2024?福建廈門(mén)?二模）如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，第一、二象限分別存在垂直紙面向里的勻

強(qiáng)磁場(chǎng)2和沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E,E、B大小均未知。質(zhì)量為相、電荷量為一q（q>0）的粒子從無(wú)軸

負(fù)半軸M點(diǎn)與無(wú)軸正方向成60。射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后以速度vo從點(diǎn)P（0,d）垂直y軸進(jìn)入磁場(chǎng)，最后

從N點(diǎn)與x軸正方向成60。射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。

（1）求粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度大小；

（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

（3）若粒子在磁場(chǎng)中受到與速度大小成正比的阻力/=E（左為已知常量），粒子恰好從。點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）

垂直x軸射出磁場(chǎng)，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）在第（3）問(wèn)的情況下，求粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度。

題統(tǒng)計(jì)

2024年2023年2022年

命題要點(diǎn)

2024湖南卷T82023全國(guó)甲卷T122022山東卷T3

熱

考2024全國(guó)甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022遼寧卷T15

度

從近三年高考試題來(lái)看，試題以計(jì)算題為主，大多在電磁感應(yīng)中考查單雙棒

命題規(guī)律

問(wèn)題，在其中應(yīng)用動(dòng)量定理處理安培力沖量時(shí)多用到微元法。

預(yù)計(jì)在2025年高考中，還會(huì)多以考查電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的單雙棒問(wèn)題，從中

考向預(yù)測(cè)

用微元法，解決安培力的沖量問(wèn)題，這種類(lèi)型的題目應(yīng)多關(guān)注。

命題情景多以典型的電磁感應(yīng)中單雙棒為命題背景

常用方法微元法

小知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

1核心精講4

—?，一―微元法

微元法是一種處理物理問(wèn)題的方法，它從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體問(wèn)

題的目的。微元法的核心思想是“化整為零”，即先分析“微元”，再通過(guò)“微元”分析整體。這種方法

通過(guò)將問(wèn)題分解為眾多微小的“元過(guò)程”，每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，然后對(duì)“元過(guò)程”進(jìn)

行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。

二、微元法的解題步驟

1.明確研究對(duì)象或研究過(guò)程，并對(duì)其進(jìn)行合理的分割，選擇適當(dāng)?shù)奈⒃Ｎ⒃倪x取應(yīng)盡量簡(jiǎn)單，便于分析

處理，可以是長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量等基本物理量。

2.對(duì)微元進(jìn)行分析，找出其滿(mǎn)足的物理規(guī)律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根據(jù)具體情況建立新

的物理模型。

3.對(duì)微元進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，包括代數(shù)運(yùn)算、微積分等。這一步是微元法的核心，需要熟練掌握數(shù)學(xué)工具。

4.將微元的結(jié)果進(jìn)行累加或累乘，得到整體的結(jié)果。這一步需要注意物理量的方向、正負(fù)號(hào)等問(wèn)題。

對(duì)整體結(jié)果進(jìn)行討論和解釋?zhuān)鞔_其物理意義和適用范圍。需要注意的是，微元法雖然是一種有效的解題

方法，但并不是萬(wàn)能的。在應(yīng)用微元法時(shí)，應(yīng)充分考慮其適用范圍和局限性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤或遺漏。

j真題研析］

1.（2022?山東?高考真題）半徑為R的絕緣細(xì)圓環(huán)固定在圖示位置，圓心位于。點(diǎn)，環(huán)上均勻分布著電量

為。的正電荷。點(diǎn)A、B、C將圓環(huán)三等分，取走A、8處兩段弧長(zhǎng)均為A￡的小圓弧上的電荷。將一點(diǎn)電荷

q置于OC延長(zhǎng)線上距。點(diǎn)為2R的。點(diǎn)，。點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度剛好為零。圓環(huán)上剩余電荷分布不變,q為（）

,T?升QMC十屆*yf3QAL

A.正電荷，q-------B.正電何，q=------

nR”兀R

C.負(fù)電荷，q=改絲D.負(fù)電荷，其1四

兀RTIR

【答案】C

【詳解】取走A、8處兩段弧長(zhǎng)均為AL的小圓弧上的電荷，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，圓環(huán)在。點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

為與A在同一直徑上的4和與B在同一直徑上的助產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，如圖所示，因?yàn)閮啥位￠L(zhǎng)非

QNL

常小，故可看成點(diǎn)電荷，則有p萬(wàn)一上。羽由圖可知，兩場(chǎng)強(qiáng)的夾角為120。，則兩者的合場(chǎng)強(qiáng)為

已I1=K;2-=K------r

R2兀

E=g=Z曰根據(jù)。點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為0,則放在。點(diǎn)的點(diǎn)電荷帶負(fù)電，大小為笈=￡=左器根據(jù)

2兀N2萬(wàn)收

E'=聯(lián)立解得4=跑廿故選C。

（2人）nR

?-

D

【技巧點(diǎn)撥】

（1）明確點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算公式；

（2）利用微元法結(jié)合場(chǎng)強(qiáng)矢量疊加原則，求解電荷量。

2.（多選）（2024.湖南?高考真題）某電磁緩沖裝置如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌置于同一水平面

內(nèi)，導(dǎo)軌左端與一阻值為R的定值電阻相連，導(dǎo)軌2C段與4G段粗糙，其余部分光滑，AA右側(cè)處于豎直

向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為機(jī)的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置。現(xiàn)讓金屬桿以初速度%沿導(dǎo)軌向右經(jīng)過(guò)A4進(jìn)入

磁場(chǎng)，最終恰好停在CG處。己知金屬桿接入導(dǎo)軌之間的阻值為R,與粗糙導(dǎo)軌間的摩擦因數(shù)為〃,

AB=BC=d.導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g,下列說(shuō)法正確的是（）

A\B—\C

I

XX;XX

I

：

RXXIXX

I

XXX!XXX；XX

A.金屬桿經(jīng)過(guò)2瓦的速度為當(dāng)

B.在整個(gè)過(guò)程中，定值電阻R產(chǎn)生的熱量為:加喏

c.金屬桿經(jīng)過(guò)"48與84GC區(qū)域，金屬桿所受安培力的沖量相同

D.若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離大于原來(lái)的2倍

【答案】CD

【詳解】A.設(shè)平行金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)金屬桿在區(qū)域向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中切割磁感線有E=B加，

1=—金屬桿在AAiBiB區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中根據(jù)動(dòng)量定理有—BILM=mAv貝U-更絲At=mAv由于

27?2R

d=EvtAt,則上面方程左右兩邊累計(jì)求和，可得-歲旦=mvB-mv0則喔=%-歲旦設(shè)金屬桿在BBQC

2R2mR

D2r27

區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為to,同理可得，則金屬桿在B8/GC區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有-匕巴-〃〃7gr°=-%VB解得

2R

支出+綜上有多+幺等〉?則金屬桿經(jīng)過(guò)皿的速度大于多，故A錯(cuò)誤；

112mR82222

B.在整個(gè)過(guò)程中，根據(jù)能量守恒有:加說(shuō)=〃儂〃+。則在整個(gè)過(guò)程中，定值電阻R產(chǎn)生的熱量為

QR=：Q=；根〃相gd故B錯(cuò)誤；

A2r2p2r2

C.金屬桿經(jīng)過(guò)AA/B/B與3B/GC區(qū)域，金屬桿所受安培力的沖量為-2臺(tái)尼加二-2”匕加二色上則金

2R2R

屬桿經(jīng)過(guò)A4出力與B2/GC區(qū)域滑行距離均為4,金屬桿所受安培力的沖量相同，故C正確；

D.根據(jù)A選項(xiàng)可得，金屬桿以初速度%在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)有-里!衿一8務(wù)=一m%金屬桿的初速度加倍，

2

設(shè)此時(shí)金屬桿在2SC/C區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為〃，全過(guò)程對(duì)金屬棒分析得-三B三T?X-〃/gf'=O-2根％聯(lián)立整理

2R

得92(龍-4嘰mg(2r0-f)分析可知當(dāng)金屬桿速度加倍后,金屬桿通過(guò)BBCC區(qū)域的速度比第一次大，

故/'</。，可得x>4d可見(jiàn)若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離大于原來(lái)的2倍，故D

正確。故選CD。

【技巧點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)動(dòng)能定理，求解產(chǎn)生的熱量多少；

(2)利用微元法和動(dòng)量定理求解速度、沖量和距離。

命題預(yù)測(cè).

考向一靜動(dòng)力學(xué)中的微元法

3.（多選）（2024高三.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）從地面上以初速度vo豎直向上拋出一質(zhì)量為,"的球，若運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中球受到的空氣阻力與其速率成正比，球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，〃時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回

地面，落地時(shí)速率為v/,且落地前球已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g,則（）

A.球上升的時(shí)間等于下落的時(shí)間

B.球上升階段阻力的沖量大于下落階段阻力的沖量

C.球上升的最大高度"=3。—g'l）"

g

/、

D.球拋出瞬間的加速度大小%=g1+—

IvoJ

【答案】C

【詳解】A.由于上升過(guò)程與下落過(guò)程的位移大小相等，又有速度-時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍面積表示位移可

知，上升過(guò)程中的平均速度大于下落過(guò)程中的平均速度，則小球在運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，上升的時(shí)間小于下落的

時(shí)間，故A錯(cuò)誤；

B.由題意可得，阻力與速率的關(guān)系為4=人故阻力的沖量大小為4=耳"=五仁依其中x表示位移，因?yàn)?/p>

上升過(guò)程和下落過(guò)程位移相同，則上升和下降過(guò)程沖量大小相等，故B錯(cuò)誤；

C.設(shè)上升時(shí)加速度大小為m由牛頓第二定律得相g+E=〃幻解得a=g+&y取極短。時(shí)間，速度變化Av有

m

上kk

Av=-a\t=-gAt——v-Az,必/=A/z上升全程，貝!j有ZAu=0-%=—gEA/——￡八%則%=曰1+—〃空氣阻

mmm

力與其速率成正比，最終以以勻速下降，由平衡條件則有機(jī)g=在聯(lián)立解得"=止星叢故C正確；

g

D.小球拋出瞬間，由牛頓第二定律則有其中上=螫解得球拋出瞬間的加速度大小為

V1

+故D錯(cuò)誤。故選C。

4.（多選）（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）隨著我國(guó)體育在國(guó)際體育產(chǎn)業(yè)地位的不斷提高，2023年多場(chǎng)大型高爾

夫球賽事落地中國(guó)。高爾夫球比賽過(guò)程中教練員可根據(jù)風(fēng)力指示桿上飄帶的形態(tài)提示運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)場(chǎng)風(fēng)力的情

況。若飄帶可視為粗細(xì)一致，其所處范圍內(nèi)風(fēng)速水平向右、大小恒定且不隨高度改變。設(shè)飄帶的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)

質(zhì)量為能，寬度為d,風(fēng)速為v,空氣密度為0,可認(rèn)為風(fēng)與飄帶相互作用后速度變?yōu)?。如圖所示現(xiàn)截取

極小的一段△/研究，設(shè)其與豎直方向的夾角為。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.風(fēng)對(duì)該段飄帶的水平作用力為“so

B.風(fēng)對(duì)該段飄帶的水平作用力為0dA/cosO

C.整條飄帶應(yīng)呈一條向上彎曲的曲線形態(tài)

D.整條飄帶應(yīng)呈一條傾斜直線形態(tài)

【答案】BD

【詳解】AB,長(zhǎng)度為△/的飄帶質(zhì)量為=。根風(fēng)吹到長(zhǎng)度為A/的飄帶上的有效面積S=dA/cos。則在極

短時(shí)間加內(nèi)撞擊到有效面積的風(fēng)的質(zhì)量Am'=pSvAt根據(jù)動(dòng)量定理FM=Am”聯(lián)立解得F=夕根

據(jù)牛頓第三定律?二尸二夕如、2cose故A錯(cuò)誤，B正確;

CD.根據(jù)三力平衡的條件和幾何關(guān)系可知tan6==皿門(mén)。，。整理得上%=2叱可見(jiàn)微元飄帶與

\mgmgcos8mg

豎直方向的夾角僅取決于空氣密度、風(fēng)速及飄帶整體的相關(guān)性質(zhì)，與所取得微元飄帶本身并無(wú)關(guān)系，也就

是說(shuō)，飄帶的各部分與豎直方向的夾角都是相同的，因此飄帶應(yīng)呈一條傾斜的直線的形態(tài)，故C錯(cuò)誤，D

正確。故選BD。

考向二變力做功中的微元法

5.（2022.貴州黔南.模擬預(yù)測(cè)）在多年前的農(nóng)村，人們往往會(huì)選擇讓驢來(lái)拉磨把食物磨成面，假設(shè)驢對(duì)磨

桿的平均拉力為600N,半徑廠為0.5m,轉(zhuǎn)動(dòng)一周為5s,則（）

B.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為6509

C.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為120;rW

D.磨盤(pán)邊緣的線速度為0.1〃m/s

【答案】C

【詳解】AB.驢對(duì)磨的拉力沿圓周切線方向，拉力作用點(diǎn)的速度方向也在圓周切線方向，故可認(rèn)為拉磨過(guò)

程中拉力方向始終與速度方向相同，故根據(jù)微分原理可知，拉力對(duì)磨盤(pán)所做的功等于拉力的大小與拉力作

用點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)的乘積，則磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周，弧長(zhǎng)

L=2兀r=欣m(xù))

所以拉力所做的功

W=FL=600x萬(wàn)J=600萬(wàn)J

故AB錯(cuò)誤；

C.根據(jù)功率的定義得

史叨W=120?W

t5

故C正確；

D.線速度為

2萬(wàn)r2%x0.5._.,

v=-----=-----------m/s=O.z^rn/s

T5

故D錯(cuò)誤。

故選C。

6.（多選）（2023?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）冬天的北方，人們常用狗來(lái)拉雪橇。一條狗用水平拉力拉著質(zhì)量

為80kg的雪橇（包括內(nèi)部物品），在水平雪面做半徑為24m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小為3m/s,雪橇與

地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列說(shuō)法正確的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小為40N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進(jìn)方向成37°

C.狗給雪橇的水平拉力功率為150W

D.狗拉著雪橇轉(zhuǎn)過(guò)30。圓弧的過(guò)程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

【答案】BD

【詳解】A.狗拉雪橇的水平拉力有兩個(gè)作用效果，一個(gè)作用效果平衡雪橇做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)切向受到的摩擦力,

233

另一個(gè)作用效果使雪橇做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)雪橇做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有《=加余v■=80x五N=30N在

雪橇前進(jìn)的方向上始終有F切=Mg=40N則可得雪橇受到狗的水平拉力大小為F==SON

F3

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進(jìn)方向之間夾角的正切值為tane=h=i可得夾角夕=37。故B正確;

*切4

C.狗給雪橇的水平拉力功率為P=Fwv=40x3W=120W故C錯(cuò)誤；

D.狗拉著雪橇轉(zhuǎn)過(guò)30。圓弧的過(guò)程中，雪橇克服地面摩擦力做功皿=《〃加g-2萬(wàn)R=160萬(wàn)J故D正確。故選

BD。

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法

7.（2024?安徽合肥?二模）我國(guó)是世界上第三個(gè)突破嵌套式霍爾電推進(jìn)技術(shù)的國(guó)家。霍爾推進(jìn)器的工作原

理簡(jiǎn)化如下圖所示，放電通道的兩極間存在一加速電場(chǎng)。工作物質(zhì)氤氣進(jìn)入放電通道后被電離為氤離子，

經(jīng)電場(chǎng)加速后以某一速度噴出，從而產(chǎn)生推力。某次實(shí)驗(yàn)中，加速電壓為U,流離子向外噴射形成的電流

強(qiáng)度為/.氤離子的電荷量與質(zhì)量分別為q和相，忽略離子的初速度及離子間的相互作用，則離子推進(jìn)器產(chǎn)

生的推力為（）

放電通道?*G*

G>

G>

陽(yáng)極陰極

【答案】D

【詳解】伍離子經(jīng)電場(chǎng)加速，根據(jù)動(dòng)能定理有機(jī)。2-o解得丫=I辿設(shè)單位體積內(nèi)離子數(shù)目為〃，加

m

速?lài)姵鰰r(shí)截面積為S,在加時(shí)間內(nèi)，有質(zhì)量為△加的債離子以速度V噴射而出Am=根的形成電流為/：

bmU\2mU

I=陽(yáng)Sv由動(dòng)量定理可得FM=Amv聯(lián)立可得F=［于離子推進(jìn)器產(chǎn)生的推力為/小子。故選D。

8.（多選）（2024?福建?三模）如圖所示，消防員正在進(jìn)行消防滅火演練，消防員用高壓水槍噴出的強(qiáng)力

水柱沖擊著火物，設(shè)水柱直徑為D以水平速度V垂直射向著火物，水柱沖擊著火物后速度變?yōu)榱恪８邏核?/p>

槍的質(zhì)量為消防員手持高壓水槍操作，進(jìn)入水槍的水流速度忽略不計(jì)，水的密度為下列說(shuō)法正確

的是（）

A.水槍的流量為1兀uD?

B.水槍的功率為：兀0￡?2,

C.水柱對(duì)著火物的沖擊力為2V2

O

D.向前水平噴水時(shí)，消防員對(duì)水槍的作用力方向向前且斜向上方

【答案】BD

【詳解】A.設(shè)△/時(shí)間內(nèi)，從水槍噴出的水的體積為AV,質(zhì)量為△根，則A和AV=SvM=-nD2v\t

4

流量萬(wàn)。2y,A錯(cuò)誤；

At4

B.加時(shí)間內(nèi)水槍噴出的水的動(dòng)能為石卜=：Aww2二b小/加知高壓水槍在此期間對(duì)水做功為

28

卬=線=1兀。。7加高壓水槍的功率為尸=藝=!兀。。2優(yōu)，B正確；

8Ar8

C.考慮一個(gè)極短時(shí)間在此時(shí)間內(nèi)噴到著火物上水的質(zhì)量為機(jī)，設(shè)著火物對(duì)水柱的作用力為凡由動(dòng)量

22

定理得FM'=mvA/,時(shí)間內(nèi)沖到著火物上水的質(zhì)量為m=\pnDV\t'解得F=^npD-v由牛頓第三定律可

知，水柱對(duì)著火物的平均沖力為廠'=?=!兀00、2,c錯(cuò)誤；

D.當(dāng)高壓水槍水平向前噴出高壓水流時(shí)，水流對(duì)高壓水槍的作用力水平向后，由于高壓水槍有重力，根據(jù)

平衡條件，手對(duì)高壓水槍的作用力方向斜向前上方，D正確。故選BD。

考向四均勻帶電體電荷微元法

9.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知均勻帶電薄殼外部空間電場(chǎng)與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣，

內(nèi)部空間的電場(chǎng)處處為0.如圖所示為一帶電量為+。，半徑為r的均勻帶電球殼，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

立3軸，其中A點(diǎn)為殼內(nèi)一點(diǎn)，8點(diǎn)坐標(biāo)為2R,靜電力常量為匕下列說(shuō)法正確的是（）

A.將+4的試探電荷由殼內(nèi)A點(diǎn)移到。點(diǎn)，試探電荷的電勢(shì)能減小

B.在圓心。處放一個(gè)電量為-2Q的點(diǎn)電荷，球殼外表面帶電量仍為+Q

C.在+R處取走極小的一塊面積AS,。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為E=

D.在圓心。正上方處取走極小一塊面積AS,B點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為片=鑼二

【答案】C

【詳解】A.殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為0,故移動(dòng)試探電荷不做功，A錯(cuò)誤；

B.在圓心。處放一個(gè)電量為-2Q的點(diǎn)電荷，由于靜電感應(yīng)，球殼內(nèi)表面感應(yīng)出+2。的電荷，則球殼外表

面的電荷量為-。，B錯(cuò)誤；

C.在+R處取走極小一塊面積AS,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在一尺處極小一塊面積的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)

kASQQAS

c正確；

D.整個(gè)球殼在8點(diǎn)的電場(chǎng)與=空水平向右，在圓心。正上方處取走極小一塊面積A5在8點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

4=2,導(dǎo)0=鬟2方向斜向右下，4與E2矢量作差即為B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度，D錯(cuò)誤。故選C。

5A2\J7IR

10.（24-25高三上?河北?開(kāi)學(xué)考試）如圖，一均勻帶正電荷的圓環(huán)，其半徑為R,圓心為。，AB和C。為

圓環(huán)的直徑，A8與CD垂直，尸點(diǎn)為圓弧AC的二等分點(diǎn)，四分之一圓環(huán)AC部分的全部正電荷在圓心。處

產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為4,關(guān)于圓環(huán)各部分電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，說(shuō)法正確的是（）

A.整個(gè)圓環(huán)全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為4綜

3

B.四分之三圓環(huán)AC3。部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為］綜

C.半圓環(huán)AC8部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為2及

E。

八分之一圓環(huán)部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

D.AP也+近

【答案】D

【詳解】AB.圓環(huán)上取一微元電荷q,可視為點(diǎn)電荷，根據(jù)真空中點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式，微元電荷q

q

在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=左圓環(huán)上電荷到圓心。的距離相同，都為R,則每個(gè)微元電荷q在

R2

圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小都相等，方向從微元電荷指向圓心。，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和疊加原理可知整個(gè)圓環(huán)

全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為0；同理，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和疊加原理可知圓環(huán)AC和部分全

部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為0,則四分之三圓環(huán)AC8D部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生

的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相當(dāng)于四分之一圓環(huán)部分在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，四分之一圓環(huán)部分在圓心O

處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小與四分之一圓環(huán)AC部分在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，即為《，故AB錯(cuò)

誤；

C.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知四分之一圓環(huán)AC部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為綜，方向沿PO

方向，圓環(huán)8C部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為心,方向垂直于PO方向，根據(jù)疊

加原理和平行四邊形定則可知半圓環(huán)部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為4

故C錯(cuò)誤；

D.設(shè)八分之一圓環(huán)AP部分的全部正電荷在圓心。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為馬，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知八分之一

圓環(huán)CP部分的全部正電荷在圓心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小也為生，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和疊加原理可知兩電場(chǎng)強(qiáng)

度方向夾角為45。,兩電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和即為四分之一圓環(huán)AC部分的全部正電荷在圓心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，

45。E=———=-=J。

所以有2七85二-=4解得22cos竺?/l+cos45°收二故D正確。故選D。

22^三

考向五電磁感應(yīng)中棒類(lèi)模型的微元法

11.（2024?全國(guó)甲卷?高考真題）如圖，金屬導(dǎo)軌平行且水平放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)導(dǎo)軌光滑無(wú)摩擦。定值

電阻大小為凡其余電阻忽略不計(jì)，電容大小為C。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬棒始終與導(dǎo)軌保持垂直。整個(gè)裝置

處于豎直方向且磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。

（1）開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，對(duì)金屬棒施加以水平向右的恒力，金屬棒能達(dá)到的最大速度為川。當(dāng)外力功率為定值電

阻功率的兩倍時(shí)，求金屬棒速度v的大小。

（2）當(dāng)金屬棒速度為v時(shí)，斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S,改變水平外力并使金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)外力功率為定值電阻功率的

兩倍時(shí)，求電容器兩端的電壓以及從開(kāi)關(guān)斷開(kāi)到此刻外力所做的功。

R

I——1-------------------i-

【答案】（I）v=T；（2）U=也，w=CB"v。2

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【詳解】（1）開(kāi)關(guān)S閉合后，當(dāng)外力與安培力相等時(shí)，金屬棒的速度最大，則