熱點02相似

明考情.知方向

相似是中考數學的常考考點，常見以相似、位似等，一般出現在北京中考的第14題，第15題等。多以填

空題為主，常和三角形和四邊形綜合考查。熟練掌握幾何性質是提高正確率的關鍵。

熱點題型解讀

題型1相似與面積相關

題型2相似與周長相關

相似題型3相似求線段長

題型4相似求線段比

題型5位似

【題型1相似與面積相關】

00混

考查了特殊四邊形的性質，三角形相似的性質和判定等知識，熟練掌握相似三角形的性質和判定是關鍵.

再利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方，即可得到相應圖形的面積.

1.（2024年北京市第H-中學中考三模）如圖，在平行四邊形2BCD中，點M為邊CD的中點，AM與BD相

父于點N,已知S^ONM=1，那么SMON等于.

AB

【答案】2

【詳解】解：?.?點M為CD的中點，

DM=-CD,

2

在平行四邊形中/BIICO,AB=CD,

???乙ABN=乙MDN,乙BAN=乙DMN,

.*.△ABN~XMDN,

..._A_B—_A_N—_C_D—仁）

MD~MN~DM~'

SUDN：S^DMN="N：MN=2：1,

???S^DMN=1，

???S^ADN=2S>DMN=2.

故答案為：2.

2.（2022年北京市西城區三帆中學中考數學模擬）△ABC中。、E、尸是三邊中點，若ADEF的面積是2,

則△ABC的面積=.

【答案】8

【詳解】解:???。,E,F分別為三邊中點,

??。瓦OF,EF為△ABC的中位線，

.DE_DF_EF_1

*'AC~BC~~AB~2"

DEFCAB,

-鬻=瓷）2=G）2=［，而SADEF=2,

S^ABC~4sADE尸=8*

故答案為：8.

3.（2020?北京昌平?二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是線段AD的中點，連接AC,BE,交于

點O,若S-OE=1，貝tlS^Boc=?

AED

【答案】4

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形,

0AD=BC,AD0BC,

回點E是線段AD的中點，

11

0AE=-AD=-BC,

22

團AD團BC,

釀AEO麗CBO,

林四=閨二

S^CBOIBCJ4'

E1SABOC=4X1=4,

故答案為：4.

4.（2020年北京市外國語大學附屬中學九年級下學期一模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相

交于點O,E是OB的中點，連接AE并延長交BC于點F,若ABEF的面積為2,貝以4￡。的面積為.

【答案】18

【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形,

回OB=OD,AD0BC,

隨BEF釀DEA,

團E是OB的中點，

ill

^BE=-0B=-BD=-DE,

243

團「-B-E=一1,

ED3

^BEF_產_/1\2_1

町嬴-㈤-U-9

fflBEF的面積為2,

EHAED的面積為18,

故答案為：18.

5.（2020年北京市豐臺區中考數學4月模擬）如圖，在正方形ABCO中，對角線AC,8。相交于點O,E

是的中點，連接AE并延長交BC于點?若SB斯的面積為1,則0A即的面積為一.

【答案】9

【詳解】回四邊形ABC。是正方形,

SOB=OD,ADSBC,

^BEFS^DEA,

回rB-E-=-E-F,

EDAE

團E是08的中點，

回「-B-E=一1,

ED3

「

回E一F=1

AE3

產BEF=空=工，

SAAEB3

EBBE尸的面積為1,

EBAEB的面積為3,

團「-B-E=一1,

ED3

碓空型=士

SAAED3

014即的面積為9,

故答案為：9.

【題型2相似與周長相關】

考查了等邊三角形的性質、折疊變換的性質、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，熟練掌

握直角三角形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵.再利用周長比等于相似比解題。

6.（北京市2023-2024學年九年級上學期期末數學模擬）如圖，在AABC中，點。、E分別在邊A3、AC上,

禁=署=也且"BC的周長為20cm,那么AAOE的周長等于_cm.

A

【答案】12

【詳解】解：?.胃=若=|,乙4=乙4,

ACAB5

△ADE?公ACB,

：.△4DE與A4CB的周長比為三，

,?△ABC的周長為20c%,

/.△AOE的周長為12cm.

故答案為：12.

7.（北京市2023-2024學年九年級上學期期末數學模擬）如圖，將等邊0ABC折疊，使得點C落在AB邊上

的點。處，折痕為E凡點E,尸分別在AC和BC邊上.若AC=8,AD=2,則0AE￡＞周長為,段的值

為

【詳解】解：是等邊三角形，

朋。=2,

團3￡>=6,

由折疊的性質可知：CE=DE,CF=DF,回皮甲=回。=60。,

^AE+DE+AD=AC+AD=10,即周長為10,

故答案為：10;

0DF+BF+BD=BC+BD=14,

^EDF=團5AC=^\ABC=60°,

^\FDB^EDA=國AED+國EDA=120°,

^\FDB=^AED,

00A￡r>00BZ)F,

回?A-E-=-A-D=-E-D

BDBFDF

回^A_E__+A__D_+_E_D=_E_D—_C_E

.BD+BF+DF一DF一CF

“E105

0—=——=)

CF147

故答案為：

8.（順義區第一中學2021-2022學年九年級上學期月考）如圖，A2BC是一張銳角三角形的硬紙片，4。是

邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH,使它

的一邊EF在BC上，頂點G、X分別在AC、2B上，4。與HG的交點為則矩形EFGH的周長為

【答案】72cm

【詳解】解：團四邊形EFGH為矩形，

回HGIIEF,

AHG八ABC,

又團4D1BC,

斯M1HG,

0—=—,四邊形為矩形，

ADBC

回=HE,

0HG=2HE,設=則”G=2%,MD=%,

第磊解得％=12，

回HG=2X12=24,

團矩形EFGH的周長為2(24+12)=72(cm).

故答案為：72cm.

9.(海淀區清華附中2019-2020學年九年級上學期12月)如圖，在EL4BC中，若DE3\BC,AD=3,BD=6,HADE

的周長為9,則0ABe的周長為.

【答案】27.

【分析】利用相似三角形的性質解決問題即可.

【詳解】0DE3BC,

BMDESEABC,

於ADE的周長_AD_AD_3_1

2RABC的周長~AB~AD+BD_9-3’

EHAOE的周長為9,

EB4BC的周長為27.

故答案為：27.

10.(順義區2021-2022學年九年級上學期期末)如圖，在44BC中，D,E分別是邊4B,4c的中點，則L4DE

與的周長之比等于.

【答案】1:2

【詳解】回點D,點E分別是邊AB,AC的中點,

回DE是AABC的中位線，

0DE0BC,且DE:BC=1:2,

EBADEEBABC,

00ADE與AABC的周長比為1:2.

故答案為1:2.

【題型3相似求線段長】

主要考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，三線合一，相似三角形的判定和性質，理解特殊四邊形

的性質，熟練掌握三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

11.（陳經綸中學分校2024~2025學年下學期九年級數學開學）如圖，在矩形4BCD中，已知BEJ.AC,若

AB=2,BC=4,貝IMF的長為

【答案】詈

【詳解】???矩形4BCD,AB=2,BC=4

4BAD=Z.D=90°,AD=BC=AB=DC=2

AC=y/AD2+DC2=2V5

???4BAF+Z.FAE=90°,^FAE+“CD=90°

???乙BAF-/.CAD

???BE1AC

?-?/.AFB=90°

,-?Z.AFB=4。=90°,/.BAF=Z.ACD

???△ABFCAD

AF_AB

''~CD=AC

pti-tAF2

即：T=^

解得：4尸=手

故答案為：誓.

12.（海淀區人大附中2024~2025學年下學期九年級開學）如圖，四邊形4BCD和CEFG均為正方形，連接4尸

交CD于點M,點M恰好為CD中點，若28=6,則CE的長為.

【答案】2

【詳解】解：回四邊形4BCD和CEFG均為正方形,

團48=BC=CD=AD=6,CE=EF=FG=CG,乙D=乙BCD=Z.DCE=/.CGF=90°,

斯。IIGF,

0AFGMsZk/OM,

「FGGM

0---=----,

ADDM

「FGAD

團--=---j

GMDM

回點M恰好為CD中點，

團DM=CM=-CD=3,

2

[?]—=—=-=2,

GMDM3

MG=2GM,

設GM=汽，貝IjFG=CG=2x,

團CM=CG+GM=2%+%=3,

解得，x=1,

0CE=CG=2,

故答案為：2.

13.（24-25九年級上?北京東城?期中）如圖，在△ABC中，若DE||BC,-=AE=4cm,貝的長為

AB3

cm.

【詳解】解：WEWBC,

[?]△ADE~XABC,

._.AEAD1Qi-t.“lyc

0—=—=即AC=3AE=12cm.

ACAB3

故答案為12.

14.（陳經綸中學分校2024-2025學年九年級上學期數學12月）如圖，在矩形4BCD中，已知BEL4C,若

AB=2,BC=4,且，則4E的長為.

BC

【答案】1

【詳解】解：在矩形中，2LABC=2LEAB=90°,

團乙B/C+乙BCA=90°

回BE1AC,

團乙/BE+乙BAC=90°,

^ABE=/-BCA,

^ABC=LEAB=90°,

[?]△ABE?

團r—,——AB=A——.E,a即rt2一=A—E

BCAB42

^\AE=1,

故答案為：L

15.（24-25九年級上?北京房山?期中）如圖,4瓦8。相交于點C,若AC=20fBC=22,CD=33,CE=30,DE=

【答案】32

【詳解】解:

團4c=20,=22fCD=33,CE=30,

團“—C=—202BC22_2

CE303CD33~3

^ACBC

回———

CECD

又（ACB=乙ECD,

[?]△ACB?匕ECD,

^ABACanAB2

回防=就,即蕊

胤48=32,

故答案為：32.

【題型4相似求線段比】

主要考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，三線合一，相似三角形的判定和性質，理解特殊四邊形

的性質，熟練掌握三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

16.（24-25九年級上?北京昌平?期中）如圖，在菱形ABC。中，點E在邊/。上，BE與ZC交于點F.若48=4,

【答案w

【詳解】解：回四邊形4BCD是菱形,

固4B=BC,AD\\BC

^ABC=60°

SAZBC是等邊三角形，

團4C=48=4,

團4F=1,

回CF=/C—//=4-1=3,

團皿BC,

^\Z-AEF=Z.FBC,Z.FAE=Z.FCB,

AEF^△CBF,

^AEAF1

回—二—=一,

BCCF3

^AEAE1

團--=--=一.

ABBC3

故答案為：j.

17.（2024年北京市三帆中學中考二模）如圖，在矩形4BCD中，對角線AC、BD交于點O,OE||CD交BC于

點E,連接4E交BD于點F則二;=

回四邊形4BCD為矩形，對角線AC、BD交于點O,

1

回4B=CD,AB||CD,OB=0D=0C=0A=-BD,乙DCB=90°,

2

WE||CD,貝！JOEIBC,

回BE=CE,貝1」。￡*是4BCO的中位線，

團CO=AB=20E=2a,

胤48||CD,OE||CD,

^AB||OE,

[HAABFs、EOF,

團BF:OF=AB:OE=2a:a=2,

團BF=20F,

團OB=BF+OF=3OF,

國BD=2OB=6OF,

回^-B-F=-2-O-F=~1.

BD6OF3

故答案為：

18.（2024年北京市師達中學中考零模）如圖，直線AD,BC交于點0,AB\\EF\\CD,若4。=2,OF=1,

FD=2,則,的值為.

【答案】|

【詳解】解：???OF=1,FD=2,

OD=OF+FD=1+2=3,

SABWEFWCD,

0AOAB八ODC,

.AB_OA_2

-CD~~OD~3

故答案為：|.

19.（西城區北京師范大學附屬實驗中學2024-2025學年九年級開學）如圖，在△ABC中，D,E分別在邊SB,BC

上，DEWAC.若4D=3,BD=6,則器的值為.

【詳解】解：回在△ZBC中，DEWAC,

回乙BED=Z-BCA,Z-BDE=Z-BAC,

0ABDES&BAC,

「DEBD

回--=---,

ACAB

團4。=3,BD=6,

^DE62

回--=---=一,

AC3+63

故答案為：|.

20.（石景山區2024-2025學年九年級上學期期末）如圖，直線AB||EF||CD,EF分別交AO,于點E,

F.若4E=1,ED=2,則黑的值為.

/C隊

【答案】|/0.5

【詳解】解：SAB||EF||CD.AE=1,ED=2,

BF_AE

FC-ED

故答案為：

【題型5位似】

a

考查了位似的性質和位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為左,

那么位似圖形對應點的坐標的比等于人或者-k根據位似變換的性質解答即可.

21.（2024?北京門頭溝?二模）如圖，在平面直角坐標系內，某圖象上的點A、B為整數點，以點O為位似

中心將該圖像擴大為原的2倍，則點A的坐標為.

斗

r-v-?————1-r-1

IIIIII

r-1—i---------------1一~r-1

'4L

▲1

【答案】(-2,2)或(2,-2)/(2,-2)或(-2,2)

根據位似變換的性質計算即可.

【詳解】解：由題意得：A的坐標為(—1x2,1x2)或(―1x(—2),1x(-2)),

EA的坐標為(一2,2)或(2,-2),

故答案為：(—2,2)或(2,-2).

22.(海淀區師達中學2023-2024學年九年級上學期月考)如圖，△4B'。與△4B。是以原點。為位似中心

的位似圖形，且位似比為1:3,點A的坐標為(-6,3),則點4的坐標為.

【答案】(2,—1)

【詳解】解：回AA?。與△48。是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似比為1:3,點A的坐標為(—6,3),

且兩個圖形位于位似中心的異側，

團把點A的橫縱坐標都除以-3可得其位似對應點4的坐標，

回點4的坐標為(2,—1).

故答案為：(2,—1).