重慶市示范中學2025屆高三下學期第四次考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的定義域為（）A．或 B．或C． D．2．在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種3．已知與分別為函數與函數的圖象上一點，則線段的最小值為()A． B． C． D．64．已知正項等比數列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．5．已知為正項等比數列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．326．已知，則的值構成的集合是（）A． B． C． D．7．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里8．函數滿足對任意都有成立，且函數的圖象關于點對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．19．已知函數的最小正周期為,為了得到函數的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度10．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．11．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．212．以下關于的命題，正確的是A．函數在區間上單調遞增B．直線需是函數圖象的一條對稱軸C．點是函數圖象的一個對稱中心D．將函數圖象向左平移需個單位，可得到的圖象二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構成的多面體的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐的內切球半徑為______.14．已知集合，，則_____________.15．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.16．如圖在三棱柱中，，，，點為線段上一動點，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右頂點為，為上頂點，點為橢圓上一動點．（1）若，求直線與軸的交點坐標；（2）設為橢圓的右焦點，過點與軸垂直的直線為，的中點為，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點在橢圓上．18．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，并且.（1）已知_______________，計算的面積；請①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（1）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計分.（2）求的最大值.19．（12分）已知函數（1）求f(x)的單調遞增區間；（2）△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若且A為銳角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面積.20．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內，求的面積.21．（12分）設（1）證明:當時，；（2）當時，求整數的最大值.（參考數據：，）22．（10分）某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優等品，在的為特優品，銷售時劣質品每件虧損元，優等品每件盈利元，特優品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率．（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該企業主管部門為了解企業年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值．表中，，，．根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業每年應投入多少營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取）附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據偶次根式被開方數非負可得出關于的不等式，即可解得函數的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數的定義域為或.故選：A.【點睛】本題考查具體函數定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎題.2．C【解析】

根據題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理問題，屬于基礎題．3．C【解析】

利用導數法和兩直線平行性質，將線段的最小值轉化成切點到直線距離.【詳解】已知與分別為函數與函數的圖象上一點，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設拋物線的切點為，則由可得，，所以切點為，則切點到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，以及點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想和計算能力.4．C【解析】

由已知求出等比數列的公比，進而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當，時；當，時；當，時，，所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.5．B【解析】

設正項等比數列的公比為q，運用等比數列的通項公式和等差數列的性質，求出公比，再由等比數列的求和公式，計算即可得到所求．【詳解】設正項等比數列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負值舍去），則有S5===1．故選C．【點睛】本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．6．C【解析】

對分奇數、偶數進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時，；為奇數時，，則的值構成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.7．B【解析】

人每天走的路程構成公比為的等比數列，設此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構成公比為的等比數列，設此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.8．C【解析】

根據函數的圖象關于點對稱可得為奇函數，結合可得是周期為4的周期函數，利用及可得所求的值.【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，所以為上的奇函數.由可得，故，故是周期為4的周期函數.因為，所以.因為，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查函數的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數滿足，那么是周期為的周期函數，本題屬于中檔題.9．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數的圖象與性質．【名師點睛】三角函數圖象變換方法：10．D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題．11．D【解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.12．D【解析】

利用輔助角公式化簡函數得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數先增后減，錯誤B選項，不是函數對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用，其中化簡三角函數是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由棱長為的正四面體求出外接球的半徑，進而求出正三棱錐的高及側棱長，可得正三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，進而求出體積與表面積，設內切圓的半徑，由等體積，求出內切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設外接球的半徑為，則可得，即，解得，設正三棱錐的高為，因為，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，所以，設內切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點睛】本題考查多面體與球的內切和外接問題，考查轉化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.14．【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，屬于基礎題.15．【解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數的性質可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.16．【解析】

把繞著進行旋轉，當四點共面時，運用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉至與面在一個平面，展開圖如圖所示，若，，三點共線時最小為，為直角三角形，故答案為：【點睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內兩點之間線段最短，解直角三角形進行求解，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯立求出點坐標，從而可得直線方程，得其與軸交點坐標；（2）設，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點坐標，證明此交點在橢圓上，即此點坐標適合橢圓方程．代入驗證即可．注意分和說明．【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合，（1）由題知，，則．因為，所以，則直線的方程為，聯立，可得故．則，直線的方程為．令，得，故直線與軸的交點坐標為．（2）證明：因為，，所以．設點，則．設當時，設，則，此時直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即．在方程中，令，得，得交點為，顯然在橢圓上．同理當時，交點也在橢圓上．當時，可設直線的方程為，即．直線的方程為，聯立方程，消去得，化簡并解得．將代入中，化簡得．所以兩直線的交點為．因為，又因為，所以，則，所以點在橢圓上．綜上所述，直線與直線的交點在橢圓上．【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點坐標，代入曲線方程驗證點在曲線．本題考查了學生的運算求解能力．18．（1）見解析（2）1【解析】

（1）選②，③．可得，結合，求得．即可；若選①，②．由可得由，求得．即可；若選①，③，可得，又，可得，即可；（2）化簡，根據角的范圍求最值即可．【詳解】（1）若選②，③．，，，，又，．的面積．若選①，②．由可得，，，又，．的面積．若選①，③，，又，，可得，的面積．（2），當時，有最大值1．【點睛】本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計算能力，屬于中檔題．19．（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡解析式，根據三角函數單調區間的求法，求得的單調遞增區間.（2）先由求得，利用正弦定理得到，結合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面積.【詳解】（1）函數，，由，得.所以的單調遞增區間為.（2）因為且為銳角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數單調區間的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯立直線方程和拋物線方程，得到關于一元二次方程，根據，求得，，進而求得切點，坐標，根據兩點間距離公式求得，根據點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.【點睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式21．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數解析式可得，構造函數，求得并令，由導函數符號判斷函數單調性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數求導，變形后討論當時的函數單調情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構造函數，利用導函數求得極值點與函數的單調性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數的最大值；當時不滿足題意，因為求整數的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當時代入可得，令，，則，令解得，當時，所以在單調遞增，當時，所以在單調遞減，所以，則，即成立.（2）函數則，若時，當時，，則在時單調遞減，所以，即當時成立；所以此時需滿足的整數解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當時，即在內單