河北省衡水市故城縣高級中學2025屆高三下第二次階段（期中）數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為等差數列的前項和，若，則A． B．C． D．2．已知定義在上函數的圖象關于原點對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．6743．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．54．設等比數列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度7．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點，若為線段中點且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．8．已知定點都在平面內，定點是內異于的動點，且，那么動點在平面內的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個點 B．橢圓，但要去掉兩個點C．雙曲線，但要去掉兩個點 D．拋物線，但要去掉兩個點9．設曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．函數的圖像大致為（）.A． B．C． D．11．做拋擲一枚骰子的試驗，當出現1點或2點時，就說這次試驗成功，假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數X的期望為（）A．13 B．112．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下列式子，，，，……，根據上述規律，第個不等式應該為__________．14．如圖在三棱柱中，，，，點為線段上一動點，則的最小值為________.15．的展開式中所有項的系數和為______，常數項為______.16．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.18．（12分）如圖，為坐標原點，點為拋物線的焦點，且拋物線上點處的切線與圓相切于點（1）當直線的方程為時，求拋物線的方程；（2）當正數變化時，記分別為的面積，求的最小值．19．（12分）據《人民網》報道，美國國家航空航天局（NASA）發文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區在去年植樹造林的相關數據.（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和）單位：公頃地區造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區；（2）在這十個地區中，任選一個地區，求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中，任選兩個地區，記X為這兩個地區中退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數，求X的分布列及數學期望.20．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.21．（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據等差數列的性質可得，即，所以，故選C．2．B【解析】

由題知為奇函數，且可得函數的周期為3，分別求出知函數在一個周期內的和是0，利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數，故；因為，故，可知函數的周期為3；在中，令，故，故函數在一個周期內的函數值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．3．D【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.4．A【解析】

首先根據等比數列分別求出滿足，的基本量，根據基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當時，有，當時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數列基本量的求解，充分必要條件的集合關系，屬于基礎題.5．A【解析】

設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數量積的運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.6．C【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.7．B【解析】

設，代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點坐標之間的關系，從而得到的等式，求出離心率．【詳解】，設，則，兩式相減得，∴，．故選：B．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題方法是點差法，即出現雙曲線的弦中點坐標時，可設弦兩端點坐標代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點坐標之間的關系．8．A【解析】

根據題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內異于的動點，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,B故選：A【點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質，軌跡問題，屬于中檔題.9．D【解析】

利用導數的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題10．A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.11．C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點睛】本題考查了二項分布求數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.12．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據題意，依次分析不等式的變化規律，綜合可得答案．【詳解】解：根據題意，對于第一個不等式，，則有，對于第二個不等式，，則有，對于第三個不等式，，則有，依此類推：第個不等式為：，故答案為．【點睛】本題考查歸納推理的應用，分析不等式的變化規律．14．【解析】

把繞著進行旋轉，當四點共面時，運用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉至與面在一個平面，展開圖如圖所示，若，，三點共線時最小為，為直角三角形，故答案為：【點睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內兩點之間線段最短，解直角三角形進行求解，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.15．3-260【解析】

(1)令求得所有項的系數和；(2)先求出展開式中的常數項與含的系數，再求展開式中的常數項.【詳解】將代入，得所有項的系數和為3.因為的展開式中含的項為，的展開式中含常數項，所以的展開式中的常數項為.故答案為：3；-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題，屬于基礎題.16．【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利用三角函數的性質可得最值.【詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數性質的應用，是中檔題.18．（1）x2=4y．（2）.【解析】試題解析：（Ⅰ）設點P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以拋物線C1的方程為x2=4y．（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程為y=-x根據切線與圓切，得d=r，即，化簡得x04=4x02+4p2，由方程組，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點F（0，）到切線PQ的距離是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，當且僅當時取“=”號，即x02=4+2，此時，p=．所以的最小值為2+1．考點：求拋物線的方程，與拋物線有關的最值問題.19．（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省；（2）；（3）分布列見詳解，數學期望為【解析】

（1）通過數據的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值，可得結果.（2）通過數據的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區個數，然后可得結果.（3）計算退化林修復面積超過一萬公頃的地區中選兩個地區總數，退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數為，列出所有取值并計算相應概率，然后可得結果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省.（2）記事件A：在這十個地區中，任選一個地區，該地區新封山育林面積占總面積的比值超過根據數據可知：青海地區人工造林面積占總面積比超過，則（3）退化林修復面積超過一萬公頃有6個地區：內蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復面積超過六萬公頃有3個地區：內蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，，隨機變量X的分布列如下：【點睛】本題考查數據的處理以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，審清題意，細心計算，屬基礎題.20．（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內角和定理及誘導公式，得，結合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎題.21．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，即可得到答案．【詳解】解：（Ⅰ）取的中點為，連結.由是三棱臺得，平面平面，從而.∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，為的中點，∴，∴.∵平面平面，且交線為，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）連結.由是正三角形，且為中點，則.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，兩兩垂直.以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，∴，，.設平面的一個法向量為.由可得，.令，則，，∴.設與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學生的邏輯推理能力與計算求解能力，屬于中檔題．22．（1）見解析（2）【解析】分析：(1)根據面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應用常規法，作出線面角，放在三角形當中來求解.詳解：（Ⅰ）在△ABD中，