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文檔簡介
湖南省常德市2025屆高三質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.2.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元3.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.4.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.5.設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件6.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.17.已知m為實(shí)數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.9.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知函數(shù),對任意的,,當(dāng)時(shí),,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對稱軸是 D.函數(shù)的一個(gè)對稱中心是12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,是該拋物線上的兩點(diǎn),若,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.15.已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.16.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長;(2)求面積的最大值.18.(12分)已知是公比為的無窮等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,________.是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.從①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并作答.19.(12分)三棱柱中,平面平面,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.21.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,為直線上動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線:的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,,為的中點(diǎn).(1)證明:軸;(2)直線是否恒過定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.2.D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.3.B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號,∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.4.A【解析】
因?yàn)榻o出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于中檔題.5.A【解析】
試題分析:α⊥β,b⊥m又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.6.A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.7.A【解析】
根據(jù)直線平行的等價(jià)條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時(shí),兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時(shí),兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時(shí),則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價(jià)條件,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.8.A【解析】
根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.9.C【解析】
利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.10.D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.11.D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對于A,,故A錯(cuò)誤;對于B,由,解得,故B錯(cuò)誤;對于C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對于D,由,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,故不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng)時(shí),即,令,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實(shí)數(shù)根,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.14.2【解析】
運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運(yùn)用,本題較為基礎(chǔ).15.【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時(shí)要注意新元的范圍.16.【解析】
先分離出,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù),進(jìn)而求出最小值.【詳解】解:若取最小值,則異號,,根據(jù)題意得:,又由,即有,則,即的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)12(2)【解析】
(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點(diǎn),由橢圓定義知:,故,因此,的周長;(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等,故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.18.見解析【解析】
選擇①或②或③,求出的值,然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式,判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解,在有解的情況下,解出不等式,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】選擇①:因?yàn)?,所以,所以.令,即,,所以使得的正整?shù)的最小值為;選擇②:因?yàn)?,所以,.因?yàn)椋圆淮嬖跐M足條件的正整數(shù);選擇③:因?yàn)椋裕裕睿?,整理得.?dāng)為偶數(shù)時(shí),原不等式無解;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),原不等式等價(jià)于,所以使得的正整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19.(1)見解析;(2)【解析】
(1)可證面,從而可得.(2)可證點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn),再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量來計(jì)算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明:(1)因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,所以平面,而平面,故,又因?yàn)?,所以,則,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內(nèi)的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因?yàn)?,所以,所以,所以,即點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn).解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因?yàn)?,,,則在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)點(diǎn),由得:,即,,,點(diǎn),平面的一個(gè)法向量,又,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算,可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.20.(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為(為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得,所以,..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn):主要考查極坐標(biāo),參數(shù)方程與普通方程互化,及求三角形面
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