根軌跡法引言反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點決定的，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的基本特性也與閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點在s平面上的具體分布密切相關(guān)。因此，確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點非常必要；但是高階系統(tǒng)特征方程式的求解較為困難，因而限制了時域分析法在二階以上系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用。引言1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法根軌跡法簡單、實用，既適用于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，也適用于線性定常離散系統(tǒng)，因而在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用，并成為經(jīng)典控制理論的基本分析方法之一系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)特征根為

可將增益K1從0向

變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為曲線，就得到了該系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念利用根軌跡，可對系統(tǒng)進(jìn)行下述分析：（1）判斷該系統(tǒng)在K1從0到

變化時的穩(wěn)定性；（2）判斷該系統(tǒng)在K1取值在何范圍時處于過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)；（3）當(dāng)K1值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點，從而計算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；

圖示根軌跡是直接求解特征方程式的根得出的，因而這種方法不能適用于三階以上的復(fù)雜系統(tǒng)，為此W.R.Evans研究了繪制根軌跡的方法。根軌跡的幅值條件和相角條件特征方程為

1＋G(s)H(S)=0或G(S)H(S)=－1

幅值條件相角條件

(幅角條件)由于增益K1可在0至無窮大范圍內(nèi)任意變化，所以幅值條件自動滿足因此，相角條件為確定根軌跡的充要條件幅值條件主要用于確定根軌跡上各點對應(yīng)的根軌跡增益K1值。例1單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試檢驗S1=-1.5+j2.5是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點；如果是，則確定與它相對應(yīng)的K1值是多少。解（1）確定開環(huán)零、極點,并標(biāo)注到復(fù)平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，（2）將s1坐標(biāo)帶入相角條件,滿足相角條件,S1=-1.5+j2.5是該系統(tǒng)根軌跡上的點。（3）利用幅值條件求得與S1相對應(yīng)的K1值。K1=12.15本例為采用試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子,十分煩瑣。W.R.Evans總結(jié)了一套規(guī)則，可以方便地繪制根軌跡。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則1：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點和無限遠(yuǎn)處起始點：K1=0時，即為n個開環(huán)極點終止點（一般n-m>0）：（1）有限值終止點：當(dāng)K1

時，有m條分支趨向開環(huán)零點；（2）無限遠(yuǎn)終止點：n-m條分支趨向無窮遠(yuǎn)處,需要確定其方位和走向。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)，即閉環(huán)極點數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為：因為n>m,所以閉環(huán)特征方程的階數(shù)為n，閉環(huán)極點數(shù)為n，等于開環(huán)極點數(shù)（根軌跡起點數(shù)）繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則3：根軌跡是連續(xù)的，且根軌跡圖對稱于s平面的實軸因為增益K1連續(xù)變化，特征根也是連續(xù)變化的。且由于任何有理多項式的根，不是實數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)的根軌跡對稱于s平面的實軸。開環(huán)增益K1變化時，開環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點都不變，但是寫為閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程的時候，K1的值會改變閉環(huán)特征根的分布。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則4：在s平面上，如果某一段實軸右方的實數(shù)開環(huán)零點、開環(huán)極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則這段實軸是根軌跡的一部分。（1）p1和z1線段，右側(cè)只有一個實數(shù)極點p1，因此p1-z1是根軌跡的一部分。（2）z1-p2右側(cè)分別有一個實數(shù)極點和一個實數(shù)零點，共2個，不是根軌跡的一部分。（3）p2左側(cè)射線的右側(cè)共三個實數(shù)零點和極點，是根軌跡一部分。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則5：開環(huán)零點數(shù)m小于極點數(shù)n時，有n－m條根軌跡趨向于無限遠(yuǎn)處，其漸近線的傾角漸近線的交點稱為形心，在實軸上坐標(biāo)為證明：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中用分母除分子，可得根據(jù)牛頓二項式定理為考察s趨向于無窮大時的特征，忽略低于n-m-1次各項，并令上式與開環(huán)傳遞函數(shù)分母相等，可得將上式代入根軌跡方程，可得即這個方程代表一些直線，稱為根軌跡的漸近線。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則6-1：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的出射角。在根軌跡上靠近起點P1處取一點S1,顯然滿足相角條件，有當(dāng)S1無限趨近于P1點時規(guī)則6-2：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的入射角。出射角入射角根據(jù)根軌跡的相角條件，可以推出繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則7：在s平面上，同屬于兩個或兩個以上根軌跡分支的點稱為根軌跡的交點，根據(jù)根軌跡的走向分為會合點或分離點，根軌跡的交點是下列方程式的根如果多條根軌跡在實軸上存在交點，表示特征方程式有實數(shù)重根，重根的重數(shù)則由交點同屬于幾條分支所確定；如果多條根軌跡在s平面上存在復(fù)數(shù)交點，表示特征方程式有復(fù)數(shù)重根。證明設(shè)s1是多條根軌跡的交點，則在s＝s1處特征方程可以表示為因子的形式式中當(dāng)s＝s1時證畢上式是根軌跡交點的必要條件，但不是充分條件（也即如果是交點時上式為0，上式為0無法確定根全都是交點）解（1）本系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，有3條根軌跡；（2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點當(dāng)K1由0變化到

時，試?yán)L制其根軌跡圖。例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為p1=0，p2=－1，p3=－2。（3）漸近線：K1

時，有3條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線的傾角為漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為（4）實軸上的根軌跡：在S平面實軸上[0，-1]和[-

，-2]線段上存在根軌跡，其中一條從p3=-2出發(fā),隨著K1的增加,沿著負(fù)實軸趨向無窮遠(yuǎn)處。另兩條分支分別從p1=0和p2=-1出發(fā),沿著負(fù)實軸向b點移動。當(dāng)K1值達(dá)到某一數(shù)值時,這兩條分支相交于實軸上的b點,這時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時,這兩條分支離開負(fù)實軸分別趨近-60o和-60o的漸近線,向無窮遠(yuǎn)處延伸。在Kb＜K1＜Kc時,系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)K1＞Kc時,，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。繪出根軌跡圖如下解分離角：根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被稱為分離角,其計算公式為：求得兩個解分別為s1=-0.423,s2=-1.577式中r為分離點處根軌跡的分支數(shù)。例求上例中分離點b的坐標(biāo)。因分離點必定位于0

－1之間的線段上,故可確定S1=-0.423為分離點。繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則8：根軌跡與虛軸有交點，說明存在共軛純虛根?？蓪ο到y(tǒng)特征方程式運(yùn)用Routh判據(jù)確定根軌跡與虛軸的交點。先把特征方程式表示為s的多項式，然后作Routh陣列。該特征方程存在零實部根的必要條件是：陣列中某一行元素全為零?？梢酝ㄟ^調(diào)整開環(huán)增益K使得某一行元素全為零，對上一行作輔助方程，求取輔助方程的根即為根軌跡與虛軸的交點。例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點解求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列出勞斯表K1=6時，第三行全為零輔助方程為解得總結(jié)序內(nèi)容規(guī)則1起點終點起始于開環(huán)的極點，終止于開環(huán)傳的零點（包括無限零點）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)（n

m）3對稱性對稱于實軸4漸近線相交于實軸上的同一點：坐標(biāo)為：傾角為：5實軸上分布實軸上某一區(qū)間右側(cè)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點數(shù)之和為奇數(shù)，該段實軸是根軌跡的一部分總結(jié)序內(nèi)容規(guī)則6分離（會合）點實軸上的分離（會合）點——（必要條件）7出射角入射角出射角：

入射角：8虛軸交點（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及K1相應(yīng)的值）；例:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫根軌跡，并確定時K1的值解：（1）漸近線：3條。漸近線的夾角：漸近線與實軸的交點：（2）分離點：（舍去）（3）與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程：(s+4)(s+6)+K1=0將代入上式求得實部方程: 虛部方程：解得 (舍去)A點對應(yīng)的坐標(biāo)，即閉環(huán)的一個極點位置:K1=44.5時另外兩個極點同理可求得根軌跡在實軸上的分離點-1.57處對應(yīng)的K1=17。例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制K1變化時的根軌跡。解按照以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1）開環(huán)極點為p1=0，p2=-3，p1=-1

j,無開環(huán)零點；（2）根軌跡分支數(shù)n=4條；（3）在實軸上[-3，0]之間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：

（5）由特征方程求分離點解得s1=-2.3，s2,3=0.725

j0.365。s1為分離點。分離角為

90o。利用根軌跡的幅值條件可求得對應(yīng)于分離點s1=-2.3的K1值為4.33。（6）求出射角根據(jù)對稱性可知：

p4=71.6

（7）求根軌跡與虛軸的交點。

令勞斯表中S1行的首項為零，求得K1=8.16。根據(jù)表令s=j

，K1=8.16代入上式，求得

=

1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于

=

1.1j處，中S2行的系數(shù)寫出輔助方程對應(yīng)的K1=8.16，系統(tǒng)根軌跡如圖所示由特征方程并列出勞斯表：

例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點：

p1=0，p2=-4，p3,4=-2

j4

（4）出射角為由對稱性知

p4=90o。

（5）求分離點。由特征方程令（1）根軌跡分支數(shù)n=4條。（2）實軸上［-4，0］區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線

n-m=4條。

試?yán)L制根軌跡

解得分離點為：S1=-2,S2,3=-2

j2.449（6）求根軌跡與虛軸的交點。由特征方程列出勞斯表并計算：令表中S1行的首項為零，求得K1=260，根據(jù)表中S2行的系數(shù)得到輔助方程：求解得到根軌跡與虛軸的交點：根據(jù)幅值條件可得到根軌跡圖上的幾個特殊點對應(yīng)的K1值非最小相位系統(tǒng)根軌跡的繪制所有開環(huán)極點和零點都位于S平面左半部的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。在S平面右半部具有開環(huán)極點或零點的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。繪制非最小相位系統(tǒng)的根軌跡與最小相位系統(tǒng)一樣，前述規(guī)則完全適用例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡圖,并確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的K1值解（1）開環(huán)極點p1=0.5，p2=-2，開環(huán)零點Z1,2=-1

j2。（2）實軸上［-2，0.5］區(qū)間為根軌跡段。（3）系統(tǒng)有2條根軌跡分支。令解得方程的根為：S1=-0.41,S2=3.84。經(jīng)驗證，S1=-0.41為分離點（4）根軌跡無漸近線。（5）根軌跡的分離點。由系統(tǒng)特征方程（6）根軌跡的入射角為（7）根軌跡與虛軸的交點。由系統(tǒng)特征方程：列出并計算勞斯表令S0行及S1行的系數(shù)分別為零可得臨界K1值。K1=0.2和K1=0.75為求根軌跡與虛軸的交點，取S2項中系數(shù)組成輔助方程，即當(dāng)K1＝0.20時，S1＝0；K2＝0.75時，S2,3=

1.25j,

1.25j為根軌跡與虛軸的交點。由圖可知，當(dāng)0.2＜K1＜0.75時，系統(tǒng)根軌跡在s平面左半部，所以該非最小相位系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍為0.2＜K1＜0.75，當(dāng)K1在其他范圍內(nèi)取值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定，具有這種特性的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。參量根軌跡前述以開環(huán)增益K1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K1為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。前述根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡增益K1的位置上。例設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡解

對給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：右式的特點：左邊寫成兩部分之和，參變量a只包含在第二部分中，且是第二部分的一個單獨因子?，F(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可得到一個等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用G*(S)H*(S)表示：根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式