根軌跡法引言反饋控制系統的穩定性是由閉環傳遞函數的極點決定的，系統暫態響應的基本特性也與閉環傳遞函數的極點在s平面上的具體分布密切相關。因此，確定閉環傳遞函數的極點非常必要；但是高階系統特征方程式的求解較為困難，因而限制了時域分析法在二階以上系統中的廣泛應用。引言1948年，W.R.Evans根據反饋控制系統的開環傳遞函數與其閉環特征方程式間的內在聯系，提出了一種非常實用的求取閉環特征方程式根的圖解法－根軌跡法根軌跡法簡單、實用，既適用于線性定常連續系統，也適用于線性定常離散系統，因而在控制工程中得到了廣泛的應用，并成為經典控制理論的基本分析方法之一系統閉環傳遞函數為系統閉環特征根為

可將增益K1從0向

變化時，系統閉環特征根在復平面上的變化情況繪制為曲線，就得到了該系統的根軌跡，如圖所示系統開環傳遞函數為根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念利用根軌跡，可對系統進行下述分析：（1）判斷該系統在K1從0到

變化時的穩定性；（2）判斷該系統在K1取值在何范圍時處于過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼狀態；（3）當K1值確定后，在根軌跡上找到閉環極點，從而計算系統閉環性能指標；或反之；

圖示根軌跡是直接求解特征方程式的根得出的，因而這種方法不能適用于三階以上的復雜系統，為此W.R.Evans研究了繪制根軌跡的方法。根軌跡的幅值條件和相角條件特征方程為

1＋G(s)H(S)=0或G(S)H(S)=－1

幅值條件相角條件

(幅角條件)由于增益K1可在0至無窮大范圍內任意變化，所以幅值條件自動滿足因此，相角條件為確定根軌跡的充要條件幅值條件主要用于確定根軌跡上各點對應的根軌跡增益K1值。例1單位反饋系統的開環傳遞函數為:試檢驗S1=-1.5+j2.5是否為該系統根軌跡上的點；如果是，則確定與它相對應的K1值是多少。解（1）確定開環零、極點,并標注到復平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，（2）將s1坐標帶入相角條件,滿足相角條件,S1=-1.5+j2.5是該系統根軌跡上的點。（3）利用幅值條件求得與S1相對應的K1值。K1=12.15本例為采用試探法繪制系統根軌跡的例子,十分煩瑣。W.R.Evans總結了一套規則，可以方便地繪制根軌跡。繪制根軌跡的基本規則規則1：根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點和無限遠處起始點：K1=0時，即為n個開環極點終止點（一般n-m>0）：（1）有限值終止點：當K1

時，有m條分支趨向開環零點；（2）無限遠終止點：n-m條分支趨向無窮遠處,需要確定其方位和走向。繪制根軌跡的基本規則規則2：根軌跡的分支數等于閉環特征方程的階數，即閉環極點數。開環傳遞函數閉環傳遞函數特征方程為：因為n>m,所以閉環特征方程的階數為n，閉環極點數為n，等于開環極點數（根軌跡起點數）繪制根軌跡的基本規則規則3：根軌跡是連續的，且根軌跡圖對稱于s平面的實軸因為增益K1連續變化，特征根也是連續變化的。且由于任何有理多項式的根，不是實數就是共軛復數，所以系統的根軌跡對稱于s平面的實軸。開環增益K1變化時，開環傳遞函數的零點和極點都不變，但是寫為閉環傳遞函數的特征方程的時候，K1的值會改變閉環特征根的分布。繪制根軌跡的基本規則規則4：在s平面上，如果某一段實軸右方的實數開環零點、開環極點個數之和為奇數，則這段實軸是根軌跡的一部分。（1）p1和z1線段，右側只有一個實數極點p1，因此p1-z1是根軌跡的一部分。（2）z1-p2右側分別有一個實數極點和一個實數零點，共2個，不是根軌跡的一部分。（3）p2左側射線的右側共三個實數零點和極點，是根軌跡一部分。繪制根軌跡的基本規則規則5：開環零點數m小于極點數n時，有n－m條根軌跡趨向于無限遠處，其漸近線的傾角漸近線的交點稱為形心，在實軸上坐標為證明：設開環傳遞函數為式中用分母除分子，可得根據牛頓二項式定理為考察s趨向于無窮大時的特征，忽略低于n-m-1次各項，并令上式與開環傳遞函數分母相等，可得將上式代入根軌跡方程，可得即這個方程代表一些直線，稱為根軌跡的漸近線。繪制根軌跡的基本規則規則6-1：根軌跡離開開環復數極點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的出射角。在根軌跡上靠近起點P1處取一點S1,顯然滿足相角條件，有當S1無限趨近于P1點時規則6-2：根軌跡進入開環復數零點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為根軌跡的入射角。出射角入射角根據根軌跡的相角條件，可以推出繪制根軌跡的基本規則規則7：在s平面上，同屬于兩個或兩個以上根軌跡分支的點稱為根軌跡的交點，根據根軌跡的走向分為會合點或分離點，根軌跡的交點是下列方程式的根如果多條根軌跡在實軸上存在交點，表示特征方程式有實數重根，重根的重數則由交點同屬于幾條分支所確定；如果多條根軌跡在s平面上存在復數交點，表示特征方程式有復數重根。證明設s1是多條根軌跡的交點，則在s＝s1處特征方程可以表示為因子的形式式中當s＝s1時證畢上式是根軌跡交點的必要條件，但不是充分條件（也即如果是交點時上式為0，上式為0無法確定根全都是交點）解（1）本系統為3階系統，有3條根軌跡；（2）系統開環傳遞函數的極點當K1由0變化到

時，試繪制其根軌跡圖。例設系統開環開環傳遞函數為p1=0，p2=－1，p3=－2。（3）漸近線：K1

時，有3條根軌跡趨向無窮遠處，其漸近線的傾角為漸近線與實軸的交點坐標為（4）實軸上的根軌跡：在S平面實軸上[0，-1]和[-

，-2]線段上存在根軌跡，其中一條從p3=-2出發,隨著K1的增加,沿著負實軸趨向無窮遠處。另兩條分支分別從p1=0和p2=-1出發,沿著負實軸向b點移動。當K1值達到某一數值時,這兩條分支相交于實軸上的b點,這時系統處于臨界阻尼狀態。當K1繼續增大時,這兩條分支離開負實軸分別趨近-60o和-60o的漸近線,向無窮遠處延伸。在Kb＜K1＜Kc時,系統處于欠阻尼狀態,出現衰減振蕩。而當K1＞Kc時,，系統成為不穩定狀態。繪出根軌跡圖如下解分離角：根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被稱為分離角,其計算公式為：求得兩個解分別為s1=-0.423,s2=-1.577式中r為分離點處根軌跡的分支數。例求上例中分離點b的坐標。因分離點必定位于0

－1之間的線段上,故可確定S1=-0.423為分離點。繪制根軌跡的基本規則規則8：根軌跡與虛軸有交點，說明存在共軛純虛根。可對系統特征方程式運用Routh判據確定根軌跡與虛軸的交點。先把特征方程式表示為s的多項式，然后作Routh陣列。該特征方程存在零實部根的必要條件是：陣列中某一行元素全為零?？梢酝ㄟ^調整開環增益K使得某一行元素全為零，對上一行作輔助方程，求取輔助方程的根即為根軌跡與虛軸的交點。例已知系統開環傳遞函數為：試求系統根軌跡與虛軸的交點解求出系統閉環特征方程為列出勞斯表K1=6時，第三行全為零輔助方程為解得總結序內容規則1起點終點起始于開環的極點，終止于開環傳的零點（包括無限零點）2分支數等于開環傳遞函數的極點數（n

m）3對稱性對稱于實軸4漸近線相交于實軸上的同一點：坐標為：傾角為：5實軸上分布實軸上某一區間右側開環傳遞函數的零點、極點數之和為奇數，該段實軸是根軌跡的一部分總結序內容規則6分離（會合）點實軸上的分離（會合）點——（必要條件）7出射角入射角出射角：

入射角：8虛軸交點（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及K1相應的值）；例:系統的開環傳遞函數試畫根軌跡，并確定時K1的值解：（1）漸近線：3條。漸近線的夾角：漸近線與實軸的交點：（2）分離點：（舍去）（3）與虛軸的交點系統的特征方程：(s+4)(s+6)+K1=0將代入上式求得實部方程: 虛部方程：解得 (舍去)A點對應的坐標，即閉環的一個極點位置:K1=44.5時另外兩個極點同理可求得根軌跡在實軸上的分離點-1.57處對應的K1=17。例

已知系統的開環傳遞函數為試繪制K1變化時的根軌跡。解按照以下步驟繪制系統的根軌跡：（1）開環極點為p1=0，p2=-3，p1=-1

j,無開環零點；（2）根軌跡分支數n=4條；（3）在實軸上[-3，0]之間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：

（5）由特征方程求分離點解得s1=-2.3，s2,3=0.725

j0.365。s1為分離點。分離角為

90o。利用根軌跡的幅值條件可求得對應于分離點s1=-2.3的K1值為4.33。（6）求出射角根據對稱性可知：

p4=71.6

（7）求根軌跡與虛軸的交點。

令勞斯表中S1行的首項為零，求得K1=8.16。根據表令s=j

，K1=8.16代入上式，求得

=

1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于

=

1.1j處，中S2行的系數寫出輔助方程對應的K1=8.16，系統根軌跡如圖所示由特征方程并列出勞斯表：

例已知系統的開環傳遞函數

解：從開環傳遞函數公式中求出開環極點：

p1=0，p2=-4，p3,4=-2

j4

（4）出射角為由對稱性知

p4=90o。

（5）求分離點。由特征方程令（1）根軌跡分支數n=4條。（2）實軸上［-4，0］區間為根軌跡段。（3）漸近線

n-m=4條。

試繪制根軌跡

解得分離點為：S1=-2,S2,3=-2

j2.449（6）求根軌跡與虛軸的交點。由特征方程列出勞斯表并計算：令表中S1行的首項為零，求得K1=260，根據表中S2行的系數得到輔助方程：求解得到根軌跡與虛軸的交點：根據幅值條件可得到根軌跡圖上的幾個特殊點對應的K1值非最小相位系統根軌跡的繪制所有開環極點和零點都位于S平面左半部的系統稱為最小相位系統。在S平面右半部具有開環極點或零點的系統稱為非最小相位系統。繪制非最小相位系統的根軌跡與最小相位系統一樣，前述規則完全適用例系統開環傳遞函數如下,試繪制系統根軌跡圖,并確定系統穩定時的K1值解（1）開環極點p1=0.5，p2=-2，開環零點Z1,2=-1

j2。（2）實軸上［-2，0.5］區間為根軌跡段。（3）系統有2條根軌跡分支。令解得方程的根為：S1=-0.41,S2=3.84。經驗證，S1=-0.41為分離點（4）根軌跡無漸近線。（5）根軌跡的分離點。由系統特征方程（6）根軌跡的入射角為（7）根軌跡與虛軸的交點。由系統特征方程：列出并計算勞斯表令S0行及S1行的系數分別為零可得臨界K1值。K1=0.2和K1=0.75為求根軌跡與虛軸的交點，取S2項中系數組成輔助方程，即當K1＝0.20時，S1＝0；K2＝0.75時，S2,3=

1.25j,

1.25j為根軌跡與虛軸的交點。由圖可知，當0.2＜K1＜0.75時，系統根軌跡在s平面左半部，所以該非最小相位系統的參數穩定范圍為0.2＜K1＜0.75，當K1在其他范圍內取值，系統均不穩定，具有這種特性的系統稱為條件穩定系統。參量根軌跡前述以開環增益K1為可變參量的根軌跡稱為常規根軌跡。實際上任何參數均可選擇為系統的可變參量，如開環零、極點、時間常數和反饋系數等。這種以非K1為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。前述根軌跡的繪制方法和規則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預先將可變參量演化到相當于常規根軌跡增益K1的位置上。例設反饋系統的開環傳遞函數為試繪制系統以a為參變量的根軌跡解

對給定系統特征方程進行以下變換：右式的特點：左邊寫成兩部分之和，參變量a只包含在第二部分中，且是第二部分的一個單獨因子?，F用第一部分除以方程兩邊，則得這是原系統特征方程的等效特征方程，由此可得到一個等效的開環傳遞函數，用G*(S)H*(S)表示：根據前述根軌跡繪制規則，由上式