中等職業學校規劃教材數學(基礎模塊)第一冊第四章指數函數與對數函數一、教學目標二、知識結構圖§4.1冪函數有理數指數冪

n次方根的性質與立方根一樣，奇次方根有下列性質:在實數范圍內，當為奇數時，正數的奇次方根是一個正數，負數的奇次方根是一個負數。與平方根一樣，偶次方根有下列性質:在實數范圍內，當為偶數時，正數的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數；負數的偶次方根沒有意義。當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數。有理數指數冪

n次方根的性質零的n次方根仍為零根據n次方根的上述性質，得到兩組常用的等式：有理數指數冪對于整數指數幕，指數的運算性質零的正分數指數冪為0，零的負分數指數冪無意義。實數指數冪及運算法則分數指數冪的運算法則分數指數運算的基本規范：先將根式轉化為分數指數冪，其次系數相乘除，然后根據冪的運算法則對同底數冪運算，要注意符號。實數指數冪及運算法則實數指數冪若a>0且指數p是個無理數時可以證明是個確定的實數。這樣對一切實數p，都是一個確定的實數。運算法則冪函數形如

（a是常數）的函數叫做冪函數冪函數的定義域隨x取值不同而不同，并由它們的圖像觀察冪函數的值域、奇偶性和單調性，以及經過的共同點§4.2指數函數

指數函數的圖像和性質指數函數概念的引入撕紙小游戲指數函數的圖像和性質指數函數

（

且

）的定義域是實數集R,這是因為指數概念已擴充到實數范圍，在

的條件下，x取任何實數時都有意義.規定底 且的原因在于：指數函數的定義指數函數的圖像和性質指數函數的圖象、性質描點法作圖步驟：①畫平面直角坐標系，注意單位長的確定；②求出函數的定義域，在定義域內取一些x的值；③列出、的對應值表，注意取點的分布以及某些關鍵的點，如圖像與軸、軸的交點等；④描點；⑤連線指數函數的圖像和性質指數函數的圖象、性質利用指數函數的圖象獲取指數函數的性質觀察圖象的特點圖象位置(在x軸的上方、下方或與x軸相交?在y軸的左側、右側或與y軸相交?)與范圍；圖象的特殊點，如與坐標軸的交點等；圖象從左側到右側的走向(是上升還是下降)；

圖象的對稱性反映函數的性質函數的值域與函數的有界性；當x取某特殊值時相應的y值；

函數的單調性；

函數的奇偶性(包括非奇非偶)指數函數的圖像和性質指數函數的圖象、性質畫指數函數圖象的簡便方法“兩點一線法”a>1 0<a<1取點(0,1)和(1,a),當a>1且x取負值其絕對值無限增大時，曲線向左與x軸無限接近但不能相交；當0<a<1且x取正值無限增大時，曲線向右與x軸無限接近但不能相交，如圖所示。指數函數的簡單應用生活中的現象人口的增長、物體的冷卻、放射性元素的衰變、細胞的繁殖、樹木的生長、經過若干年產量或生產總值比原來“翻一番”(擴大2倍)、“翻兩番”(擴大4倍)等等的問題增長率問題設原有總量為N，平均增長率為p，則對于時間x的總量y可以用

表示.形如

的函數是一種指數型函數問題§4.3對數的概念和運算對數的概念對數概念的引入由

中，已知

和N的值，如何求出b對數的定義：若

，則指數

叫做以為底N的對數．

對數的概念對數定義的理解指數式與對數式的互化，搞清a、b、N在式中的位置、名稱和式子的讀法為何在對數

中規定a>0，且若a<0，對某些N值b不存在；若

而

則b也不存在，

而

則b可為任何正數而不惟一；若

，

，則b不存在；若

，

則b可為任何正數而不惟一。對數的概念對數定義的理解常用對數lgN和自然對數lnN對數的性質利用

推導公式：

；

（

）。為什么負數和零沒有對數在 =b中，必須N>O，這是由于在實數范圍內，正數的任何次冪都是正數.因而

中N總是正數利用計算器求對數值先輸入真數N，然后按“log”或“ln”鍵，最后按“=”鍵顯示出結果先按“log”或“ln”鍵，再輸入真數N，最后按“=”鍵顯示出結果積、商、冪的對數對數的運算性質于是有

由特殊推廣到一般，得出設

，則積、商、冪的對數指數與對數的運算性質對比積、商、冪的對數易錯問題§4.4對數函數對數函數的圖像和性質對數函數概念的引入草履蟲分裂對數函數的定義：習慣上，用x表示自變量，用y表示它的函數，所以把形如

（

）的函數叫做對數函數，其中x是自變量對數函數的圖像和性質對數函數的圖像和性質對數函數的圖像和性質“兩點一線法”對數函數作圖決定對數函數是增函數還是減函數取決于底

還是

取點(1,0)，(a,1),當時，曲線沿y軸負方向無限接近y軸，但不能相交；當

時，曲線沿y軸正方向無限接近y軸，但不能相交，如圖所示。對數函數的的簡單應用根據對數函數的定義域，可求出含對數的一些函數的定義域解決增長率模型中求年限的問題，關鍵是把具體的實際問題化歸為數學問題指數函數與對數函數三、補充資料本章應用題增長率問題

為例，有以下情況：已知a，b，求N：

．如冪函數

中a已知，給出x值，求y；指數函數

中b已知，給出x值，求y，即增長率問題

中x,n已知，求y；已知N，b，求a：

冪函數

中a已知，給出y值，求x；即增長率問題

中y,n已知，求(1+x),從而有

已知a，N，求b：

指數函數

中a已知，給出y值，求x，即增長率問題

中x,y已知，求n:§補充試題&參考答案

指數函數與對數函數單元測試題指數函數與對數函數單元測試題指數函數與對數函數單元測試題指數函數與對數函數單元測試題參考答案一、填空：1、3；；2、{0，12，24，36，48}；3、[-2,4]；4、k<0；5、增；6、8；二、選擇：1、B；2、A；3、C；4、D；5、A；三、解答：1、頂點（2，5）對稱軸x=2，值域{y|y≤5}，非奇非偶函數，單調增區間

，單調減增區間 .2、-43、y=-2x2+6x，（0<x<1.5）,長為3米，寬為1.5米時采光最好。4、9元5、a≤-1教材練習、習題參考答案4.1.1有理數指數冪教材練習、習題參考答案4.1.2實數指數冪及運算法則教材練習、習題參考答案4.1.3冪函數教材練習、習題參考答案習題4.1教材練習、習題參考答案4.2.1指數函數的圖像和性質教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案4.3.2利用計算器求對數值練一練 （1）0.4771；（2）1.0969；（3）4.3644；（4）-1.3863 練一練 （1）4；（2）4；（3）0.4343； 練一練 （1）4.1699；（2）15.9821；（3）-2.9764；（4）1.1787

練習4.3.2 1、（1）-0.5229；（2）0.7782；（3）-1.2040；（4）2.0794

2、（1）1.6598；（2）0.9518；

3、略 教材練習、習題參考答案教材練習、習題參考答案習題4.3A組1、填空：（1）；（2）；（3）0；（4）1；（5）3；2、求值：（1）6；（2）4；（3）3；3、（1）2.1584；（2）1.7839；（3）-1.0054；（4