2025年四川省達州市渠縣中學高2022級高三二模測試

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上。

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

Z1

1.已知復數z滿足六=不］，則目=（）

2+z2+1

A.1B.41C.2D.V5

2.已知全集￡7=孔集合/=5|岡41},8=b|〉=71二!},則圖中陰影部分表示的集合

為（）

A.(l,+oo)B.[-1,+co)C.(-8,-1)D.[-1,0)

3.圓x2_8x+/+7=0和圓/+/_6>+5=0的公切線有()

A.1條B.2條c.3條D.4條

且=；,貝!!cos4=(

4.已知A為△ABC的一個內角，tan])

3而屈

AVJiXo.---nDVi.o-----c.n3

10101010

TT。為CD上一點，且滿足4尸=加/。+；49

5.如圖，在AABC中，NBAC=]，AD=2DB，

若布.就=4，則|叫的最小值是（）

A.2B.4C.—D.-

33

6.近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口，

Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間I（單位：h）與放電電流

I（單位：A）之間關系的經驗公式：CH,其中"為Peukert常數.為測算某蓄電池的

Peukert常數〃，在電池容量不變的條件下，當放電電流/=30A時，放電時間，=15h；當放

電電流/=40A時，放電時間￡=8h.若計算時取lg2Po.3,1g3Ho.477，則該蓄電池的Peukert

常數〃大約為（）

A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

22

7.已知雙曲線=-%=l（a>0,6>0）的左、右兩個焦點為片，片，若M是雙曲線左支上

的一點，且3|崢卜5|九名則此雙曲線離心率的最大值是（）

A.2B.3C.4D.5

8.已知函數/（x）=e"+無，g（x）=lnr+x,若/（占卜且優），則網超的最小值為（）

1Ji

A.-eB.——C.-1D.--

e2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.E^D/（x）=sin4x+26sinxcosx-cos4x,貝!!（）

A.的最小正周期為兀

B.存在x（）eR,使得

C.若"x+0）為奇函數，則嗣的最小值為展

D.若/（再）=/（%2）=1（玉/馬），則/（再+起）=2

10.如圖，在直三棱柱44cl-48c中，點。，E,尸分別是棱48的中點,

直線CQL平面防C,直線與平面43CC1所成角為45。，若/B=2,AC=BC,則下列

說法正確的是()

A.A,A=42B.點。到平面跖C的距離為，

C.五面體4EE8CC的體積為迪D.三棱柱4耳G-NBC的外接球的表面積為

3

6兀

11.已知函數〃x)=，+￡|lnx-x+［則下列說法正確的有()

A./(x)在x=l處切線斜率不小于2

B.左>0時，/(x)有3個零點且三個零點的積為1

C.左>0時，/(x)有兩個極值點且兩極值點的和不小于4

D.曲線y=〃x)上總存在兩點N(X2，%),對任意上e［4,+co)使得曲線在M

、N兩點處的切線互相平行，則占+%的取值范圍為

第H卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知sinfa+工］=4^,則sin2a=.

I4j10

13.若等比數列｛叫的前〃項和S.=9+/,則數列｛log3(4%)｝的前〃項和Tn=.

22

14.橢圓a+為=l(a>6>0)的左、右焦點分別為4月，焦距為2c,若直線”同…)

與橢圓的一個交點M滿足乙嗎乙=2NMa片，則該橢圓的離心率等于—.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本題13分)已知AABC的面積S=：N82.

(1)求證：sinC=—sin^4sin5；

AR

(2)設。為的中點，且N4DC=45°,求方的值.

AC

16.(本題15分)己知函數/(x)=e*-ax.

(1)當。=1時，求曲線＞=〃x)在點(1,/■⑴)處的切線方程；

(2)當。=2時，求函數g(x)=/(x)+sinx-cosx在上的極值.

17.(本題15分)如圖，在斜三棱柱NBC-421cl中，側面44AB，底面48C,側棱說

與底面/BC成60°的角，=2,底面N8C是邊長為2的正三角形，其重心為G,E是線

段BQ上一點，且GE//平面AA^B.

⑴求漏有的值；

nCj

(2)求平面BfiE與底面ABC所成的二面角的正切值.

18.(本題17分)如果數列｛%｝("eN*)滿足：存在左eN*,AeR,使得任意〃〉上，

an-l+〃,-2+…+。"-*=后(。"-后-，)都成立,則稱數列｛%｝是尸(后")數列.

⑴設%判斷數列｛。〃｝是否是尸(2,-2)數列，請說明理由；

(2)證明：對任意左eN*,公差為2的等差數列｛%｝都是尸(左」)數列；

(3)若數列｛6｝既是尸(3")數列，又是P(6")數列，證明：數列｛%｝是等差數列，并求出2

的值.

19.(本題17分)設動點尸到點(2,0)的距離與到直線無=-2的距離之積等于4,動點P的

軌跡為曲線C.

⑴求曲線C與x軸的交點的坐標.

⑵過點(1,0)作不與坐標軸垂直的直線I.

(i)判斷直線/與曲線c的交點的個數，并證明你的結論；

(ii)定義平面上"個點4,4,???,)“的重心G為滿足宓+礫+…+鬲=0的點，若直線/

與曲線C的所有交點的重心G到點(1,0)的距離等于4,求點G的橫坐標.

44

(注：關于x的一元〃次方程anx"+a?_xx"-'+…++4=0(4*0)有"個復數根再,％當

-xx…x=(T)'"。)

,且再+%+…+無”

a

nan

參考答案

題號12345678910

答案BCCDACCBACACD

題號11

答案BCD

13.n2+2M

14.V3-1

15.(1)記角48,C的對邊分別為“，b,c,

由題意可知S=L"sinC=Lc2,

25

由正弦定理得;sin力sin5sinC=-^-sin2C

因為sinCw0,

所以sinC=Isin/sing.

2B

(2)在中，由余弦定理得，廿=^^+幺+在出力①

42

26

同理，在V/CD中，b2=AD2+---aAD@

42

①-②得，d-b;^aAD.

在V4CD中，由正弦定理得，4D=.s=。/。=亞氏詒。,

sinZADC

所以。2-/,即￡=右，

5b

16.(1)當〃=1時，/(x)=ex-x,則/‘⑴=廿―1,

所以/<l)=e-1,/(l)=e-l,故所求切線方程為>—(e-l)=(e-1乂工—1),

即(efx-y=0.

(2)當Q=2時，g(x)=ex-2x+sinx-cosx,所以g'(x)=e"+sinx+cosx-2,

令〃(x)=ex+sinx+cosx-2,貝|=ex-sinx+cosx=e"+A/5COS(X+：］,

當時，cosfx+Y^O,又e、>0,所以當xe時，/(x)〉0,

24jI4)24_'，

當時，由e71〉人知―〉&，XcosJ>—41,

所以當xe(：,+，|時，〃，")>/一0>也一夜=0，即"(x)>0,

故知〃(x)在區間-"!，+<?)上單調遞增，即g'(x)=e*+sinx+cosx-2在區間-■|,+8)上單

調遞增，

又g'⑼=0，所以xe-1■可時，g，(x)<0,g(x)單調遞減；xe(O,+s)時，g，(x)>0,

g(x)單調遞增，

又因為g(0)=0,故V=g(x)在x=0處取得極小值0,無極大值.

17.(1)

如圖，作GD///5交BC于點。，連接DE,則8。=耳8。,

因為GZ）（z平面48烏4,A8u平面故DG〃平面48烏4,

而GE〃平面A4]烏2,GEClDG=G,GE,DGc[i]GDE,

故平面GDEII平面ABBXAX,

而平面GDECl平面BCCXB{=DE,平面ABB^H平面BCCXB}=BB、,

BEBD1

所以DE//BBJ/CG，從而右=弁=不

(2)如圖，延長耳E交8c于點尸，由(1)可知尸為8c中點，從而A,尸三點共線,

過點用作于點則平面N8C,豆B、H=粗,

/〃=3.過點/7作村_1/3于點“，則/用必/為所求二面角的平面角.

由于N/￡4M=3O。，所以"〃=』，所以tan/4M7=也=38,

即平面BfiE與底面ABC所成的二面角的正切值為空.

3

18.(1)因為%=(-g),

則―卜丁+㈢1㈢"-"+2),

所以數列｛%｝是尸(2,-2)數列.

(2)因為｛4｝是公差為2的等差數列，

則%+a?-2+…+an-k=(%-2)+(%-4)+…+(%-2月)

=k(2n_(2+4+?一+2左)=ka,-=kun——k=k^cin—k,

所以對任意上eN*,公差為2的等差數列｛4｝都是尸(RI)數列.

(3)因為數列｛《｝是尸(3")數列，

則??_1+??_2+0?_3=3an-34-9（"24）①,

aa

??-i+?-2+?-3+??-4+??-5+??-6=6a?-62-36（H>7）@,

②-①得,??-4+%.5+%-6=3??-32-27（?>7）,

所以an_x+a?_2+a,t_3=3%+3-34-27（"24）③，

由①，③得，3??+3-32-27=3??-32-9,

所以。"+3-g=6（〃24）.

由①得，a?+??-i+a?-2=3??+i-32-9（?>3）（?）,

④-①得，—=3%+「3%（心4）,

即3%=4%-4_3（"24），

所以MM=4?！?3-%=Ba。+an+3-an=3an+3+6（?>4）,

所以。“+4-。,+3=2（"N4）,BPa?+l-a?=2（n>7）,

在③中，分別令"=4,5,6,7,得：

%+電+%=3%—34—27（^5）,

出+%+&=3a8—34—27（^6）,

%+%+%=3a9—34—27（7^）,

。4+/+。6=3%（）—3x一27（^8）,

貝！J⑥-⑤得，%-%=3（。8-%）=6,

⑥得，。5-。2=3（。9-）=6,

⑧■⑦得,以—。3=3（。1（）-?）=6,

所以%+3一%=6（〃21）,

所以％+1—%=2（〃24）；

另一方面，由⑧-⑦得，&一。3=3（4o-。9）一（。5-。4）一（。6-%）=2,

aa

⑦-⑥得，/一〃2=3（%一“8）一（〃4~3）~（5-。4）=2,

aa

⑥-⑤得,2~\=3（/一%）_（%一%）—（〃4—%）=2,

所以%+1-%=2（〃21）,

所以數列｛“"｝是公差為2的等差數列.

由彳導,34—3%-+〃2+的)-27—3%-3%-27=3

所以4=1.

19.(1)設尸(%,V),則J(x-2)2+y?|x+21=4,即(x—2)2(%+2)2+y2(x+2)2=]6,

令歹=0,得(%2_4)2=16,解得x=0或％=±2后，

所以曲線。與x軸交于(±2亞,0)與(0,0)三點.

(2)(i)交點個數為4,證明如下：

設直線/的方程為蚱Mx-1)(左w0),

fy=k(x-V).____

由任-4)2+/(X+2)』6,消去了得(Y-4)2+-1)2(X+2)2-16=。,

即(k2+l)x4+2產工§—(3左2+8)f-4k2x+442=0,

記/(%)=(/+1)/+2//_(3/+8)/_4左2工+4左2,貝!]y(x)=o至多有4個不相等的實數根,

函數〃尤)=/(f-8)+/(x一ipa+2)2在R上的圖象連續不斷，

且了(一28)=(2&+1)2(2收一2)242>0,/(-2)=-16<0,/(0)=4^2>0,

/(I)=-7<0,/(2向=(2夜-1)?(2g+2)2F>0,

從而f(x)=0在(-2/,-2),(-2,0),(0,1),(1,2夜)上各有一個實數根，

因此/(x)=0有4個不相等的實數根,所以直線/與曲線C有4個不同的交點.

(ii)設直線/與曲線C