十年（2014—2023）年高考真題分項(xiàng)匯編一數(shù)列小題

目錄

題型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式........................................1

題型二：等差數(shù)列....................................................8

題型三：等比數(shù)列...................................................12

題型四：等差與等比數(shù)列綜合.........................................17

題型五：數(shù)列的求和.................................................19

題型六：數(shù)列與數(shù)學(xué)文化............................................22

題型七：數(shù)列的綜合應(yīng)用............................................26

題型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

一、選擇題

1.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第6題）如圖，點(diǎn)列｛4｝,｛紇｝分別在某銳角的兩邊上，且

=\BnBn+l\引與+及/紇工加”一^^0表示點(diǎn)尸與0不重

合）.若4=|4紇I，s“為用的面積,則（）

A.｛S,｝是等差數(shù)列B.%｝是等差數(shù)列C.｛4,｝是等差數(shù)列D.｛4｝是等差數(shù)列

【答案】A

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念、平行線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)

題的能力.

解析：不妨設(shè)|4m|=%+6+2|=3,忸紇+4』=4,過(guò)點(diǎn)A，4,A，…，A，AM，…，分別作直線耳加

的垂線，高線分別記為可也&…也，始，…，根據(jù)平行線的性質(zhì)，所以匕也，&…也也+1，…成等差數(shù)列,

又S"=；x怛“紇=；x4x〃.=24，所以｛S“｝是等差數(shù)列.故選A.

2.（2019?浙江?第10題）己知“，Z?eR,數(shù)列｛q,｝滿足6=。，an+1=a^+b,“eN*,則

A.當(dāng)6時(shí)，OJO>10B.當(dāng)匕=：時(shí)，0,0>10

C.當(dāng)b=—2時(shí)，aw>10D.當(dāng)6=T時(shí)，aw>10

【答案】A

【解析】解法一：對(duì)于B,由/一%+：=0,得x=g.取q=g,則%=；<10,所以％o<lO,不合

題意；

對(duì)于C,由12一工一2=（）,得％=2或犬=一1.取q=2,則%=2<10,所以4o<l。，不合題意；

對(duì)于D,由f-x—4=0,得犬=上空.取卬二安立，則4=2<10,所以％。<10,不合題意.

g工“21、1,21、21、3/423.19117,

對(duì)于A,a=a+->-^%=（。+-）+-^-，%=（。+a+：）2+---+-=TT>1>n

2222244216216

{〃“}遞增，當(dāng)〃24時(shí)，=〃+2>I+J_=3，???,—>!■,迭乘法得出">（；）6,

an4',

729

.二%>--->10,A正確.故選A.

解法二:借助圖形

其中選項(xiàng)民CD中均含有不動(dòng)點(diǎn)，由于。的不確定性，故都不能說(shuō)明他)>10.故選A.

3.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為

激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面

數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：己知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是2°,接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,

再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N

項(xiàng)和為2的整數(shù)事.那么該款軟件的激活碼是()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解法一:本題考查了等比數(shù)列的求和,不等式以及邏輯推理能力.

不妨設(shè)1+(1+2)+(1+2+4)+…+0+2+…+2"T)+(l+2+…+2')=2'"(其中

n(n+l)

則有N==——^+f+l,因?yàn)镹>100,所以〃213

2

由等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式可得2"+i—〃—2+2m—1=2"

因?yàn)椤?13,所以2">〃+2

所以2"1>2"+77+2即2"+i—>—2>2",因?yàn)?/+1-1>0

所以2">2"+】—“―2>2",故相》〃+1

所以m=〃+1,從而有〃=2'+i—3,因?yàn)椤?13,所以當(dāng)/=3時(shí)，N=95,不合題意

當(dāng).=4時(shí)，〃=440,故滿足題意的N的最小值為440.

解題關(guān)鍵:本題關(guān)鍵在于利用不等式的知識(shí)得出加=〃+L

解法二:將數(shù)列的前N項(xiàng)按照2°,2°,21,2°,21,22,…分組,不妨設(shè)這樣的分組共有n組不滿足此特點(diǎn)的

單獨(dú)為一組，則△——L<N<-一人——2，從而數(shù)列的前N項(xiàng)的和為：

22

'n(n+l)\n(n+l)

(21-1)+(22-1)+---+(2,,-1)+2。+21+.-+2”-^7=2"+i—〃—3+2”^

\7

所以若使數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕,則必存在正整數(shù)/，使得2'="+3,即〃=2'-3

又N>100,所以——△——2100,所以13,所以〃=2'—3213,所以/24

2

當(dāng)/=4時(shí)，〃=13,此時(shí)100<NW105,所以N的可能值為101,102,103,104,105,經(jīng)驗(yàn)證均不符合題

意,當(dāng)負(fù)結(jié)合選項(xiàng)也可知道/=4不合題意,直接排除掉101,102,103,104,105的可能性

當(dāng)?=5時(shí)，〃=29,此時(shí)435WNW465,結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)可知：N=440,故選A.

”=29或［"=29或『=29或［"=29,fn=29,fn=29

事實(shí)上驗(yàn)證：!或＜或＜

N=435N=436N=437N=438N=439［N=440

n=29

只有4成立.

N=440

點(diǎn)評(píng):此題就是分組和以及和與結(jié)論中隱藏的整除性問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建/的不等式限定九的可能值,進(jìn)而求

出N最小值,還好選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)減少，很好驗(yàn)證操作.

解法三:檢驗(yàn)法

由于這是選擇題,為求最小值,從最小的開始檢驗(yàn)

13x(13+1)

選項(xiàng)。：若"=110,由一——^=91<110,知第no項(xiàng)排在第14行，第19個(gè)

2

141914191015

SN=(2-13-2)+(2-1)=2+2-16=16X(2+2-1)

10

由2+2卜—1是奇數(shù)知SN不能寫成2整數(shù)幕；

20x(20+1)

選項(xiàng)C：若N=220,由——------=210<220知,第220項(xiàng)排在第21行,第10個(gè)

2

21102110

SN=(2-20-2)+(2—1)=2+2-23是大于1的奇數(shù),不能寫成2整數(shù)嘉；

25x(25+1)

選項(xiàng)B,若N=330,由——-----L=325<330知第330項(xiàng)排在第26行，第5個(gè)

2

SN=(2?6—25—2)+(25—1)=2?6+4=4X(224+1),同理，不能寫成2整數(shù)需

選項(xiàng)A時(shí)，當(dāng)N=440時(shí)，由——L<440<——△------，可解出〃=29

22

所以這前440和為：(21—1)+(2?—1)+…+Q29—1)+(2°+21+22+23+24)=23°,符合題意,故選A.

解法四:直接法

n+1+1k

由SN=(2-TI-2)+(2^-1)=2"+2-n-3能寫成2的整數(shù)幕可知，2上—〃—3=0,

^=log2(w+3)eZ,且由N>100知〃>13,故滿足條件的九的最小值為29,得左=5,此時(shí)

29x(29+1)

N=——-----^+5=440.

2

解法五:二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法

按照上面形式重新排列后,第九層：1,2,4,…，2〃T的和為2〃—1=11…11⑵

把每一層的和的二時(shí)制數(shù)重新排列(低位對(duì)齊)

第1層：1

第2層：11

第3層：111

第九層：1111

由于2的數(shù)幕的二進(jìn)制數(shù)為：2"=100…00⑵，前n層的和再加多少可以寫成2的整數(shù)幕?

為方便相加,首先,每層都加1,則總共加了〃，得：

第1層：10

第2層：100

第3層:1000

第九層：1000

此時(shí)n層總的和為：n…no,仍然不是2的整數(shù)募,再加上2即可！

\________J

所以在前幾層總和的基礎(chǔ)上,再加上〃+2可使和成為2的整數(shù)幕

設(shè)第〃+1層的前左個(gè)數(shù)的和為〃+2,即2上—〃—3=0

后面的方法同“解法四”.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.

【點(diǎn)評(píng)】本題非常巧妙的將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀

察所給定數(shù)列的特征,進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外,本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列,第一個(gè)

數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng),而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.

4.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第12題）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛為｝如下：｛4｝共有2m項(xiàng)，其中加項(xiàng)為

0,小項(xiàng)為1,且對(duì)任意左W2加，.…，W中。的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若加=4,則不同的“規(guī)范01

數(shù)列”共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，得必有4=0,%=1，則具體的排法列表如圖所示，共14個(gè)，故選C.

011

011

0

101

1

10

0011

001

1

110

01

01

10

10

011

001

1

1010

01

10

i0

5.(2021年高考浙江卷?第10題)已知數(shù)列｛許｝滿足q=1，?！?1=乙%：("€N*).記數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和

為s“，貝u()

199

A.—<5<3B.3<SQ<4C.4<S<—D.—<S<5

21]U0U0101iUnVo22I]vnvo

【答案】A

解析：因?yàn)?=1'"用=i?N"),所以>0,S100>1.

11n-ln+\

根據(jù)累加法可得，『V1+一廠=一廠，當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)取等號(hào),

也22

、4/an〃+1

V------T-=_

2即小=1+—77+3

n+1

____

n當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

an〃+3(〃+1)(幾+2)

11111嗚<岳

所以品）o?6—+——+——---F???+1^一忌氣&-忌<3,。c<3.

33445

故選A.

二、填空題

1.（2022高考北京卷?第15題）己知數(shù)列｛q｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和S“滿足

為40=9（〃=1,2,…）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛4｝為等比數(shù)列；

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于荒的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

解析:由題意可知，V/eN*，%〉。，

當(dāng)〃=1時(shí)，a；=9,可得q=3；

°90999

當(dāng)"之2時(shí)，由Sa=一可得S“_]=-----,兩式作差可得---------,

an%a“a,I

999

所以，——二一一an,則一一4=3,整理可得片+3a2—9=0,

4Tana2

因?yàn)橥狻?,解得的=3石一3<3,①對(duì)；

-22

假設(shè)數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為心則蟾=4%，即==上二，

HJS1S3

所以，S；=S]S3,可得a；（l+4『=a；（l+4+/）,解得4=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛4｝不等比數(shù)列，②錯(cuò)；

當(dāng)"之2時(shí)，an=--------=_吆>o,可得可<%.所以，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，③對(duì);

4%anan_1

假設(shè)對(duì)任意neN*.?！?擊，則So。。00210000clx+=1000,

991

所以，?iooooo=--—與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

5（woo1UUU1UU

故答案為：①③④.

2.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第16題）設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，且％=-1,an+l=SnSll+l,則

S"=---------

【答案】」

n

解析：由已知得4+i=S〃+i—S〃=S“+「S”，兩邊同時(shí)除以S“+「S〃，得」——L=_1,故數(shù)列是以

〃十1，，十1ririTlrl/?Ti"。GG

—1為首項(xiàng)，—1為公差的等差數(shù)列，則二-=—1—（〃—1）=—〃，所以s〃=—工.

S,,n

考點(diǎn)：等差數(shù)列和遞推關(guān)系.

3.（2017年高考數(shù)學(xué)上海（文理科）?第14題）已知數(shù)列｛4｝和｛4｝，其中⑸=〃2,“cN*,仍“｝的項(xiàng)是

互不相等的正整數(shù),若對(duì)于任意“eN*,｛a｝的第an項(xiàng)等于｛an｝的第bn項(xiàng),則坨屹也瓦廉）=________.

坨也瓦貼J

【答案】2

【解析】%=abn=>b#=b；n他她$=（她貼）=>=2.

4.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第13題）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.若邑=4M“M=2S“+l,〃eN*,則

Q]-，S5=.

【答案】1121

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，通項(xiàng)。.與前〃項(xiàng)和S“之間的關(guān)系等知識(shí)，意在考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

?+：'解得％"由E+1得S“—，所以3丁30+；）,

解析：由于

所以｛5,+；｝是以|為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以S“+；=gx3e,即S,=U，所以1=121.

題型二：等差數(shù)列

一、選擇題

1.(2020北京高考?第8題)在等差數(shù)列｛七｝中，％=-9,%=-1.記(〃=1,2,…)，則數(shù)列｛1｝

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差d=?二?==?=2,

a=a

則其通項(xiàng)公式為：n\=_9+(〃_l)x2=2〃_ll,

注意到4<%</<%<%<。<〃6=1<%<…，且由公<0可知I<0(，N6,，￡N),

由/=0>中27,ieN)可知數(shù)列｛1｝不存在最小項(xiàng)，

7z-l

-—

由于q=—9,a2=—7,%=5,&=-3,%=，

故數(shù)歹改北｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：(=63,(=63x15=945.故數(shù)列｛1｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

故選：B.

2.(2019?全國(guó)I?理?第9題)記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知$4=0,%=5,則

()

A.a=2n-5B.a=3n-10C.S=2n2-8nD.S=—n2-In

fnin2

【答案】A

S4=4〃]+6d=0a1=—3

解析:—v

a5=6^+4d=5d=2

2

所以a”=+(n-l)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=(?)"=n-4n,故選A.

3.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I(理)?第4題)記為等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，3s3=$2+邑,％=2.則

()

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

解析：；S“為等差數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，3S3=52+54,%=2,.

(3x24x3\

3x13%+d=%+〃i+d+4qH——d1把q=2,代入得d=—3a=2+4x(-3)=—10,

；5

故選B.

4.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，q+%+%=9，4=9，則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)和等于

()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

解：｛%｝是等差數(shù)列，q+%+%=3%=9,%=3,&=9.d=2,%=-1,則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)

和等于6(4+4)=24,選B.

2

5.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第3題)已知等差數(shù)列｛q｝前9項(xiàng)的和為27,《(,=8,則％。0=

()

A100B99C98D97

【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S9=9(。；為)=巴券=9%=27,故%=3,而40=8，

因此公差d="一%=1，=+90〃=98.故選C.

10-5

6.(2014高考數(shù)學(xué)福建理科?第3題)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，若4=2,63=12,則以等于

()

A.8B.10C.12D.14

【答案】解析：由題意可得S3=4+w+%=3出=12,解得。2=4,?，.公差d=%—4=4—2=2,

二.必=4+5d=2+5x2=12,故選：C.

7.(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題)在等差數(shù)列｛4｝中，若4=4,%=2，則。6=

()

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得&=24—。2=2x2—4=0,選B.

8.(2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第6題)設(shè)｛4｝是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是

()

A.若生+〃2>0，則。2+。3>0B.若。1+。3<0，則q+〃2<0

C.若0<4<〃2，則%>J%%口.若%<0,則(4—％)(。2一名)

【答案】C

解析：先分析四個(gè)答案支，A舉一反例G=2,%=一1，。3=-4，+2>0而。2+〃3<0，A錯(cuò)誤，B

舉同樣反例％=2,g=-1，。3=-4，%+。3<0，而%+%>0，B錯(cuò)誤，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，｛q｝

是等差數(shù)列，若0<%<〃2，則4>0,設(shè)公差為d，則d>。，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于

g2—+d)2—%(q+2d)—a：+2a、d+d?_aj_2%d—d2>0,貝Uaj>q/

=q>Ja1a3，故選C.

9.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題)記為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若。4+%=24,S6=48,

則｛4｝的公差為()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】設(shè)公差為d,%+%=4+3d+4+4d=2q+7d=24,

6x52勾+7d=24

56=6a+d=+15d=48,聯(lián)立彳"，解得d=4,故選C.

2[6〃i+15d=48

秒殺解析：因?yàn)?6=6（一；&）=3（%+%）=48,即%+%=16,則

（%+%）—（%+4）=24-16=8,即。5-%=2d=8,解得d-4,故選C.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解

【點(diǎn)評(píng)】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如｛an｝為等差數(shù)列，若

m+n=p+q,則am+an=ap+aq.

10.（2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第8題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,若數(shù)列｛2的”｝為遞減數(shù)列，則

（）

A.d<0B.d>0C.a^d<0D.axd>0

【答案】C

解析：根據(jù)題意可得

數(shù)列｛2%樂(lè)｝為遞減數(shù)列，,2哂>-----=2"如=21）>1=2°,:.a.d<G.

解析2：由數(shù)列｛2一〃｝為遞減數(shù)列，根據(jù)指數(shù)函數(shù).二優(yōu)的性質(zhì),知.%v0,得％>0,4<0,或

.V0,>0,當(dāng)q>0,4V0時(shí),d<0,所以qd<0,,當(dāng)時(shí)，d>0,所以％d<0,

綜上：Oyd<0.

二、填空題

1.（2019?全國(guó)ni?理?第14題）記s〃為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，。1之0,a2=36,則*=

【答案】4.

s10x9「

S1OqH------Cl]

【解析】因。2=3。1，所以a!+2=3。1，即2q=d,所以詈=------Z-A---=c4=4.

4

$55q+穿d25tzi

12

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

2.（2019?江蘇?第8題）已知數(shù)列｛%｝（〃€N*）是等差數(shù)列，S,是其前，項(xiàng)和.若+4=。,Sg=27,則

S8的值是.

【答案】16

【解析】由S9=9%=27,得%=3,從而3a2+4=。，即3（%-3。）+（%+3d）=0,解得d=2,所以

Ss=S9-a9=S9~（a5+4rf）=27-ll=16.

3.（2019?北京?理?第10題）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃”項(xiàng)和為S“，若4=—3z=-3,S5=-10,貝。

"5=,的最小值為.

【答案】（1）0；（2）-10.

【解析】等差數(shù)列｛〃/中，=5a3=-10,得4=-2,〃2=-3,則公差d=%-4=1，

，%=%+2d=0,

由等差數(shù)列｛4｝的性質(zhì)得〃<5時(shí)，?！?lt;0,當(dāng)"26時(shí)，%大于0,所以S”的最小值為S4或S5,

值為—10.

4.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第6題）記等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“.若%=0，4+%=14,則

S-j=.

【答案】14

解析：4+%=2%+1Id=14,%=q+2d=0，；.d=2,a4=d=2,S7=7G4=14.

5.（2018年高考數(shù)學(xué)北京（理）?第9題）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且％=3,%+%=36,則｛4｝的通項(xiàng)

公式為.

【答案】an=6n-3

解析：a2+a5=（q+d）+（q+4d）=2q+5d=6+52=36,:,d=6,

cin=ciA+｛n-V）d=3+6（〃-1）=6n-3.

6.（2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題）若等差數(shù)列｛%｝滿足。7+%+%〉0>%+40<0，則當(dāng)”=

時(shí)，｛4｝的前“項(xiàng)和最大.

【答案】8

解析：：。7+。8+。9=3。8>。，。7+%0=。8+。9<0，?8>0,?9<0,

二〃=8時(shí)，數(shù)列｛“〃｝的前n項(xiàng)和最大.

7.（2015高考數(shù)學(xué)陜西理科?第13題）中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的

首項(xiàng)為-

【答案】5

解析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為%,則《+2015=2*1010=2020,所以q=5,故該數(shù)列的首項(xiàng)為5,所以答案

應(yīng)填：5.

8.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第10題）在等差數(shù)列｛。“｝中，若。3+。4+。5+。6+%=25，則。2+。8

【答案】10

解析：因?yàn)椋?｝｛4｝是等差數(shù)列，所以%+%=。4+。6=42+%=2。5，

。3+。4+。5+“6+。7=5%=25,即％=5,4+%=2%=10，故應(yīng)填入1。

9.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第8題）已知｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前"項(xiàng)和.若％+靖=-3,S5=10,

貝!Ja9的值是.

【答案】20.

解析：設(shè)公差為d,則由題意可得q+（q+d）2=—3,5?1+10J=10,解得q=—4,d=3,則

〃9——4+8x3=20.

10.（2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題）已知｛2｝為等差數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，若4=6,4+%=。，

則56=.

【答案】6

..6x（6—1）

解析：,**/%=2%??%=0，<％=6,%=%+3d/.d——2,S6=6%H--------d=6.

題型三：等比數(shù)列

一、選擇題

L（2023年天津卷?第6題）已知｛4｝為等比數(shù)列，5“為數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，4+I=2S〃+2,則%的

值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)〃=1時(shí)，%=2。1+2,即。悶=2〃1+2,①

當(dāng)〃=2時(shí)，%=2（q+%）+2,即4/=2（q+49）+2,②

聯(lián)立①②可得。1=2應(yīng)=3,則%=ad=54.

故選：C.

2.（2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷?第8題）記S”為等比數(shù)列｛■的前n項(xiàng)和，若$4=-5,S6=21S2,則Sg=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,首項(xiàng)為由,

若4=1,則Se=6%=3x2%=3s2,與題意不符，所以qwl；

由S'=—5,S6=21S2可得，%（1-力=—5,"0=21義""1一"①,

1-q1-q1-<?

由①可得，1+/+/=21,解得：°2=4,

所以所=0,一］）x（］+q4）=_5x（i+i6）=_85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為《，

因?yàn)橐?-5,S6=21S2,所以qw—l,否則$4=0,

從而，S2,S4-S2,S6-S4,S&-S6成等比數(shù)列，

95

所以有，（―5—邑）一=邑（2電+5）,解得：S2=-lHgS2=-,

當(dāng)§2=-1時(shí),S2,S4—S2,S6—S4,S8—S6,即為—1,—4,—16,S8+21,

易知，S8+21=-64,即S=—85；

當(dāng)S2=—時(shí)，54=%+4+%+%>0,

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：C.

3.（2023年全國(guó)甲卷理科?第5題）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和S“，若％=1,豈=5$3-4,

則S4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

解析：由題知l+q+/+q3+q4=5(1+4+q-)—4,

即/+/=4q+4q2,BP—4^—4=0,BP(^—2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以4=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

4.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)?第8題)已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-4=42,則4=

()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

解析：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為dq/0,

若q=l,則為一火二。，與題意矛盾，

所以,

“1(1-)a=96

%+%+%=--------=loox

則＜1-q，解得《1

q=一

I2

a2-a5=c^q-axq^=42

所以。6=〃1/=3.故選：D.

5.（2019?全國(guó)m?理?第5題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)和為15,且%=3%+4%,

則%=)

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

r\o

「、=15,a=I,

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則a,+a4,q+a,q：'+a,q-解得4c，

[J[a^q=3alq+4^[q=2

a3=qq2=4,故選c.

另解：數(shù)感好的話由$4=15,立即會(huì)想到數(shù)列：1,2,4,8,16,…，檢驗(yàn)是否滿足%=3%+4q,可以迅

速得出生=4.

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)列相關(guān)問(wèn)題中，用基本量的通性通法是最重要的，當(dāng)然適當(dāng)積累一些常見(jiàn)數(shù)列，對(duì)解題

大有裨益.

6.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第10題）已知at,a2,a3,a4成等比數(shù)列，且4+%+%+%=皿%+a2+a3）,

若q>l,則（）

A.a1c%嗎<%B.a；>a3,?2<a4

C.Oj<?3,a2>a4D.>a3,a2>a4

【答案】B

解析：由6+g+“3+%=ln3+42+%）的結(jié)構(gòu)，想到對(duì)數(shù)放縮最常用公式InxWx-l,

所以a1+4+%+%=皿％+4+生）W6+4+%—1，得至！]%<一1，于是公比q<0.

若qW—1,則+“3+。4=（1+4）（1+"2）W0,

而q+W+%=。1（1+4+42）2q>1，即ln（q+g+%）〉°，矛盾，

所以一1<4<0,于是%-。3=〉0,。2-%=%4（1-/）<0，故選B.

7.（2014高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題）對(duì)任意等比數(shù)列｛%｝，下列說(shuō)法一定正確的是

（）

A.?!，。3，。9成等比數(shù)列B.%，。3，。6成等比數(shù)列

C.4，。4，。8成等比數(shù)列D.%，。6，。9成等比數(shù)列

【答案】D

解析：根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，如果數(shù)列為等比數(shù)列，即若2/=/+左則有出,=。//

8.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題）已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=3,%+4+%=21，則

%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【答案】B

解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q，則為+//+%/=21,又因?yàn)椋?3,所以/+/—6=0,解得“2=2,

所以。3+%+%=（%+。3+。5為2=42,故選B.

9.（2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第5題）設(shè)4%,…,qwR，心.若夕：…％成等比數(shù)列；q：

（a；+4--------F?-------d）=（.4+a2a3+—卜“LL，則（）

A.p是9的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.夕既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【答案】A

解析:對(duì)命題p：4,出,…成等比數(shù)列，則公比q=&（〃23）且%#0；

4—1

aa

對(duì)命題q,①當(dāng)a*=0時(shí)，（a；+a，2+…++%+…+。：）=（4出+見(jiàn)阻+…+n-\）^成立；

aa2

②當(dāng)a”H0時(shí)，根據(jù)柯西不等式，等式（a；+<+…+<7-_1）（o|+a；+…+°：）=（a]。?+a2a3+…+n-in）成

立，

則幺=&=…=4旦，所以44,…,%成等比數(shù)列，

^^2G^3JT

所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件.

二、填空題

1.（2023年全國(guó)乙卷理科?第15題）已知｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，a2a4%=a3a6，。9。1（）=-8,則%=.

【答案】-2

解析：設(shè)｛a“｝的公比為q（qwO）,則4為%=，，顯然。“小0，

貝!]%=/，即q/u/,則4“=1,因?yàn)闉闉?=-8,貝i]qq'?%/=-8,

則，5=(/)=—8=(_2)3,貝ij/=_2,則%=qq./=/=_2,

故答案為：-2.

2.（2019?全國(guó)I?理?第14題）記S”為等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和.若q=g,a：=/，則

121

【答案】—

3

,1：Q-3，）⑵

解析：由〃：二%，得所以qq=l,又因?yàn)椋?—,所以夕=3,S5=--------=----.

31—33

3.（2014高考數(shù)學(xué)廣東理科?第13題）若等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且?！?/p>