第21講雙曲線及其標準方程7種常見考法歸類

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學習目標

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1.了解雙曲線的實際背景，感受雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.

||豳基礎知識'：

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知識點1雙曲線的定義

把平面內與兩個定點入，一的距離的差的絕對值等于非零常數(小于的點的軌跡叫做雙曲線.這

兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

注：1、集合語言表達式

雙曲線就是下列點的集合:P={M\\\MF1\-\MF21|=2a,0<2a<\F^\].常數要小于兩個定點的距離.

2、對雙曲線定義中限制條件的理解

⑴當||MB|-|MB||=2a>|RP2|時，M的軌跡不存在.

(2)當IIMFil—時，M的軌跡是分別以B，6為端點的兩條射線.

(3)當即尸=時，M的軌跡是線段46的垂直平分線.

(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支.具體是哪一支，取決于

|“打|與|MF2|的大小.

①若|MF1|>|MF21,則|班||〉0,點M的軌跡是靠近定點F2的那一支；

②若|MFX\<\MF21,則|Mg|-1河耳|〉0,點〃的軌跡是靠近定點耳的那一支.

知識點2雙曲線的標準方程

焦點在X軸上焦點在y軸上

尤2於_1

層-「I

標準方程

(〃>0,&>0)(。>0,Z?>0)

圖形()“

焦點坐標Fi(-c.O),F2(C,0)FI(O,-C),F2(0,C)

a,b,c的關系c2=a2+b~a與6沒有大小關系

注：1、雙曲線的標準方程推導過程

①觀察我們畫出的雙曲線，發現它也具有對稱性，而且直線是它的一條對稱軸，所以以巳所在

直線為X軸，線段尸1巳的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系。孫，

此時雙曲線的焦點分別為E(—c,0),F2(C,0),焦距為2C,C>0.

設P(x,y)是雙曲線上一點，則

||PFi|-|PF2||=2a(a為大于0的常數)，

因為|PFil=、(x+c)2+V，|P&|=M(x—盧濟

所以勺Q+c)2+y2—、(x—c)2+y2=±2a,①

類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡①，得(U—層)/—a2y2=/(/—/)，兩邊同除以層右一/)，得%—昔下

=1.

由雙曲線的定義知，2c>2a,即c>a,所以好一層>0,類比橢圓標準方程的建立過程，令b2=c2-a2,其中

i?0,代入上式，得點一g=l(a>0，i?0).

②設雙曲線的焦點為門和產2,焦距為2c,而且雙曲線上的動點P滿足IIPF1I一|尸巳||=2°,其中c>a>0,

以人，尸2所在直線為〉軸，線段的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲

線的標準方程是什么？

【答案】捻一g=l(a>0，t?0).

2、巧記雙曲線焦點位置與方程的關系

兩種雙曲線J

—1,2__土(?>0,Z?>0)的相同點是:它們的形狀、大小都相同，都有

a'b2/b2

222

a>0,b>0,c^a+b；不同點是:兩種雙曲線的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

焦點跟著正項走，即若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若必項的系數為正，則焦點在y軸上.

3、共焦點雙曲線的設法

與雙曲線a一g=l（〃>0,。>0）有公共焦點的雙曲線方程為日工一盤;=1（一層次爐）；與雙曲線為一本=

22

l（a>0,b>0）有公共焦點的雙曲線方程為了匕-1（-。2</爐）.

知識點3雙曲線的焦點三角形

雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義

和正弦定理、余弦定理.

2

x丫2

以雙曲線二―2=1（。〉0］〉0）上一點尸（xo，yo）Uo#O）和焦點Fi（-c,0）,尸2（c,0）為頂點的△尸西&

abT

中,若NFIPF2=。,則

⑴雙曲線的定義：||母;|—|尸西||=2。

222

（2）余弦定理：|可工|=|PFi|+|PF2|-2|PFi||PF2|-COSQ.

（3）面積公式：SA/>FiR=1|PFi||PF2|-sin6,

b2

重要結論：SAPF1F2=--------X

tan—V

2

推導過程：由余弦定理得「啊2=『人|2+|尸外|2—2|尸QIIP&I-COS。得

4c2=（忸耳|-I尸瑁|>-2|P瑪||PF21（1+cos6）

4c2=4/+21P6||PF?|(1-cos0)

2b2

\P^\\PFA=-——T

1-cos6

由三角形的面積公式可得

SAPFira=||P^||PE,|sin0

2csi.n—。cos—0

22b2

-0

21-cos01-cos02sin一tan一

22

|［畬解題策略

------miiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiii------

1、雙曲線方程的辨識方法

將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為止+2=1,則當mn<Q時，方程表示雙曲

mn

[m>0,[m<0,

線.若則方程表示焦點在X軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線.

2、求雙曲線標準方程的步驟

(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定

方程的形式.

(2)定量：是指確定層，尻的數值，常由條件列方程組求解.

3、雙曲線標準方程的兩種求法

(1)定義法：根據雙曲線的定義得到相應的a,b,c,再寫出雙曲線的標準方程.

(2)待定系數法：先設出雙曲線的標準方程，一奈=1或營一*l(a,b均為正數)，然后根據條件求出待

定的系數代入方程即可.

注：若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為的2+所2=1的形式，注意標明條

件mn<0.

4、雙曲線的焦點三角形解題注意點

在解決雙曲線中與焦點有關的問題時，要注意定義中的條件IIPRI—|P3||=2a的應用；與三角形有關的

問題要考慮正、余弦定理、勾股定理等.另外在運算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應用.

5、利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下：

(1)建立適當的坐標系.

(2)求出雙曲線的標準方程.

(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義).

考點剖析

llilllllllllllllllillilllilllllllllllllll

考點一：雙曲線定義的理解

例1.(2023秋?高二課時練習)到兩定點片(-3,0),F2(3,0)的距離之差的絕對值等于6的點M的

軌跡()

A.橢圓B.直線C.雙曲線D.兩條射線

變式1.(2023秋?高二課時練習)平面內到兩個定點月退的距離之差的絕對值等于山段的點的軌跡是()

A.雙曲線B.兩條射線C.一條線段D.一條直線

變式2.(2023秋?高二課時練習)已知動點尸(％y)滿足J(x+2『+y2一J(x-2y+y2=2,則動點尸的軌

跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線左支

C.雙曲線右支D.一條射線

變式3.（2023秋?高二課時練習）與圓Y+y2=i及圓/+/-舐+12=0都外切的圓尸的圓心在（）

A.一個橢圓上B.一個圓上

C.一條直線上D.雙曲線的一支上

22

變式4.（2023?全國?高三專題練習）已知曲線C：三一匕=1,點M與曲線C的焦點不重合.已知M關于

94

曲線C的焦點的對稱點分別為A,B,線段的中點在曲線C右支上，則|AN|-忸N|的值為.

考點二：雙曲線標準方程的辨識

[\例2.（2023秋?廣東佛山?高三統考階段練習）對于常數a,b,“必<0”是方程辦?+辦？對應的

曲線是雙曲線''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

變式1.（2023?全國?高二專題練習）設。e（0,2兀），貝方程'=1表示雙曲線，，的必要不充分條件為

34sin6

（）

A.。￡（0,兀）B.9s

c.兀片）D.ee

變式2.（2023秋?高二課時練習）是“如2+"=]為雙曲線,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式3.（2023秋?北京?高二北京市第二十二中學校考期中）已知曲線Cmx2+ny2=l,則下列說法不正確

的是（）

A.若m>"0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若〃加<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±、「瓦

Vn

C.若相=">0,則C是圓，其半徑是?

D.若〃7=0,">0,則C是兩條直線

22

變式4.（2023?全國?高三對口高考）若曲線「一+工=1表示雙曲線，那么實數上的取值范圍是（）

3+k2-k

A.（—3,2）B.3）口（2,口）

C.（-2,3）D,（^O,-2）U（3,-KO）

22

變式5.（2023秋?高二課時練習）“加>1”是“方程——匚=1表示雙曲線”的（）

mm-1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

元2v2

變式6.（2023秋?高二課時練習）若"wR,則5”是“方程------匚=1表示雙曲線”的（）

m+5m-5

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式7.（2023秋?高二課時練習）已知方程（1+%*-。-左）,2=1表示焦點在無軸上的雙曲線，則上的取值

范圍為（）

A.—1<左<1B.k）1

C.k<-\D.左>1或左v—1

22

變式8.（2023春?重慶北倍.高二西南大學附中校考階段練習）已知儀-4,-3,-2,-1,1,2,3,4},亍+亍=1表

示焦點在y軸上的雙曲線有加個，±+匕=1表示焦點在無軸上的橢圓有〃個，則加+〃的值為（）

ab

A.10B.14C.18D.22

22

變式9.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱三中校考期末）設機為實數，若方程^—+工=1表示焦點

2-mm-1

在X軸上的雙曲線，則實數機的取值范圍是（）

33

A.—<m<2B.1<m<—C.m>2D.m<1

22

22

變式10.（2023春?上海徐匯?高二上海市徐匯中學校考期中）方程^—+上=1表示焦距為26的雙曲

2--43-2

線，則實數7的值為（）

A.1B.-4或1C.-2或-4或1D.-2或1

考點三：求雙曲線的標準方程

作］例3.（2023?全國?高三專題練習）已知P是平面上的動點，且點P與片（-2,0）,6（2,0）的距離之差的

絕對值為20.設點P的軌跡為曲線E.求曲線E的方程；

變式1.（2023春?四川德陽?高二德陽五中校考階段練習）已知點加卜石,0）,N（拓,0）,動點尸滿足條件

|PM|-|P^|=4.則動點P的軌跡方程為（）

A.^--y2=l(x>V2)B.—-y2=l(x<-^)

2'

丫2

C.^-y2=l(x>2)D.^-/=l(x<-2)

變式2.（2023春?廣西南寧?高二校聯考開學考試）設橢圓G的離心率為V，焦點在光軸上且長軸長為26,

若曲線G上的點到橢圓G的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線G的標準方程為（）

RV1

A.D.--------------------------=1

16916925

D.二上二1

C.

916169144

變式3.（2023秋?高二課時練習）已知雙曲線過點（-2,0）,且與橢圓4/+9）?=36有公共焦點，則雙曲線

的標準方程是（）

丫2

A.B.—-/=1

4

,2

C.D.y1=1

4

2

變式4.（2023?全國?校聯考三模）若雙曲線Cj與雙曲線Ca5-y2=i有相同的焦距，且&過點（3,1）,則

雙曲線G的標準方程為（)

y2x2

A.B.二1

629-773A/73-I

,2,2

x2y1?tVx2丫2V2丫2

C.不一y=1或RFKi二1D.土—匕=1或丁—二二1

623

2

變式5.（2023秋?浙江杭州?高二杭州市長河高級中學校考期末）已知雙曲線「2=1經過點A（6,2月,

a

,2

且與橢圓工+匯=1有相同的焦點，則雙曲線的標準方程為（)

259

x20/

A.JID.——C.—D.

142133106124

,22

變式6.（2023春?河南洛陽?高二校聯考階段練習）已知雙曲線C:—方=1（〃>0）>0）的左、右焦點分

a2

別為耳尸2，|耳聞=46，點P在雙曲線的右支上，若|尸周T?閶="則雙曲線C的方程為（）

X2

A.x2B.■

4164

匚1

C.—D.—

1664416

變式7.（2023?河南安陽?統考二模）已知雙曲線C:二-3=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為耳，6,

ab

閨局=2道，尸為C上一點，P耳的中點為。，△尸耳。為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（）.

33

考點四：雙曲線的焦點三角形

j：例4.（2023春?福建福州?高二校聯考期中）設尸是雙曲線工-反=1上一點，Fi,尸2分別是雙曲線

1620

左、右兩個焦點，若1PBi=9,則|尸啦|等于（

C.1或17

變式1.（2023?四川達州?統考二模）設「，工是雙曲線C：J-1=l的左、右焦點，過F?的直線與C的右

支交于P,Q兩點，則|￡P|+|耳。|一口。1=（）

2

變式2.（2023?全國?高三對口高考）設月，工分別是雙曲線％2一&=1的左、右焦點.若點p在雙曲線上,

且尸耳"耳=0,則附+*=，附|+|明=；

變式3.（2023春.四川遂寧.高二統考期末）設雙曲線1-總=1的左、右焦點分別為耳，6,P為雙曲線右

支上一點，且|尸耳|=3|尸居則/用”的大小為.

變式4.（2023秋?高二課時練習）若小工是雙曲線8f_y2=8的左、右焦點，點尸在該雙曲線上，且耳鳥

是等腰三角形，則△刊;；8的周長是.

22

變式5.（2023春?上海徐匯?高二上海市徐匯中學校考期中）已知雙曲線L-匕=1,月、F,是其兩個焦點，

點M在雙曲線上，若/邛叫=60。，則△兄姐的面積為.

22

變式6.（2023秋?高二課時練習）已知點B,B分別是雙曲線土-匕=1=1的左、右焦點，若點尸是雙曲

線左支上的點，且|P/訃忸引=32,則△甲風的面積為一.

22

變式7.（2023春?江西?高二臨川一中校聯考階段練習）已知點0耳分別為雙曲線C：L-L=1的左、右焦

點，過點「的直線/交雙曲線C的右支第一象限于點P,若鳥的內切圓的半徑為1,則直線/的斜率為

55l

A.—B.—C.1D.布

1312

2

變式8.【多選】（2023秋?高二課時練習）雙曲線C的方程為/-工=1,左、右焦點分別為月,8,過點F?

2一

作直線與雙曲線。的右半支交于點A,B,使得/呼45=90。，貝IJ（）

A.|A^|=V5+1B.點A的橫坐標為半

C.直線A3的斜率為上好或一三正D.A8耳的內切圓半徑是喬-1

22

變式9.【多選】（2023秋?高二校考課時練習）已知點P在雙曲線[-4=1上，耳耳分別是左、右焦點，

169

若△尸片鳥的面積為20,則下列判斷正確的有（）

20

A.點P到x軸的距離為彳

B.附|+|明吾

c.△尸片6為鈍角三角形

71

D./居尸耳=5

22

變式10.【多選】（2023秋?云南?高三校聯考階段練習）已知耳，尸2分別是雙曲線C：三一匕=1的左、

44

右焦點，尸是C上一點，且位于第一象限，P耳?尸4=0,則（）

A.P的縱坐標為&B.|尸耳|=26+2

C.△尸￡區的周長為46+4D.△尸片耳的面積為4

考點五：雙曲線定義的應用

|\'例5.（2023春?四川內江?高二威遠中學校校考期中）已知尸是雙曲線C：犬-：=1的右焦點，尸

是C的左支上一點，A（0,近），貝1]|冏+儼刊的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

22

變式1.（2023春?四川成都?高二校考階段練習）已知A（0,4）,雙曲線、=1的左、右焦點分別為4,

工，點夕是雙曲線左支上一點，則|陽+191的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

變式2.（2023?陜西西安?西安一中校聯考模擬預測）設點尸是圓9+仃_3）2=1上的一動點，4（0,2）,川0,-2）,

則|尸理-|理的最小值為（）.

A.述B.迪C.6D.12

55

變式3.（2023春?寧夏石嘴山?高二平羅中學校考階段練習）已知A（7,3）,雙曲線C：三一片=1的左焦點

45

為F,尸是雙曲線C的右支上的動點，則1尸尸|-|21的最大值是（）

A.-1B.2C.7109D.9

變式4.（2023?全國?高三專題練習）設耳，瑞為雙曲線C：］一丁=1的左、右焦點，Q為雙曲線右支上

一點，點尸（0,2）.當耳|+|尸。|取最小值時，|然|的值為（）

A.由一0B.y/3+42C.娓一2D.76+2

22

變式5.（2023?青海玉樹?統考模擬預測）已知片，居為雙曲線c：L-匕=1的左、右焦點，點P是C的右

42

支上的一點，則國的最小值為（）

\PF2\

A.16B.18C.8+4&D.9+”"

2

22

變式6.（2023?全國?高三專題練習）已知雙曲線C:上-工=1的左焦點為歹，點尸是雙曲線C右支上的一

44

點，點M是圓E:/+（y-20）2=l上的一點，則1Ppi+|「閭的最小值為（）

A.5B.5+2夜C.7D.8

變式7.（2023?全國?高三專題練習）已知小尸2分別是雙曲線。：；丁=1（"0）的左右焦點，且C上存

在點尸使得|3|=4|P閭,則a的取值范圍是.

變式8.（2023?青海西寧?統考二模）設雙曲線［-［=1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且尸尸

916

與圓Y+y2=9相切于點N,M為線段P尸的中點，。為坐標原點，貝肱V|-|MO|=（）

A.B.-1C.--D.-2

22

考點六：雙曲線的軌跡方程

例6.（2023秋?高二課時練習）求下列動圓的圓心M的軌跡方程:

⑴與圓￡:/+（＞-2）2=1和圓。2：/+（?+2）2=4都內切；

⑵與圓￡:口+3）2+/=9內切，且與圓Czlx—y+yJ及M；

（3）在J1BC中，B（-3,0）,C（3,0）,直線48,AC的斜率之積為?，求頂點A的軌跡方程.

變式1.（2023?全國?高三專題練習）已知圓M：/+必+4.》=0上動點。，若N（2,0）,線段QN的中垂線

與直線交點為P.求交點P的軌跡C的方程；

變式2.（2023秋?湖北?高二赤壁一中校聯考期末）已知圓M:（x+4）2+V=i6,M為圓心，P為圓上任意

一點，定點44,0）,線段E4的垂直平分線,與直線尸河相交于點。，則當點尸在圓上運動時，點。的軌跡

方程為（）

A/9一1行＜2）B9-1

412412

22

C.x2-^=l（x＜-l）D.尤2-2L=I

33

變式3.（2023?全國?高三對口高考）已知動圓尸過點N（-2,0）,且與圓M:（x-2）2+丁=8外切，則動圓P

圓心P（x,y）的軌跡方程為.

變式4.（2023?全國?高三專題練習）已知圓A：（x+2）2+y2=9,圓B：（x-2）2+/=l,圓C與圓A、圓

B外切，求圓心C的軌跡方程立

變式5.（2023秋?天津北辰?高二天津市第四十七中學校考階段練習）已知，ABC的兩個頂點A,8的坐標

分別是（-2,0）、（2,0）,且AC,BC所在直線的斜率之積等于2,則頂點C的軌跡方程是（）

222

A.—-^-=1（xw±2）B.%2上=]

482

222

C.土上=1D.-"±2）

482

2

變式6.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考模擬預測）已知雙曲線一一,=1與直線/：,=履+〃出工±2）

有唯一的公共點M,過點M且與/垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x,0）,網0,y）兩點.當點M運動時，

點尸（x,y）的軌跡方程是（）

A.亍+/=1（"0）B.-^-y2=1（7*0）

C.二+空=l（y/0）D

252517-（點=3。）

考點七：雙曲線的實際應用

[\例7.（2023?北京海淀?高三101中學校考階段練習）地震預警是指在破壞性地震發生以后，在某些

區域可以利用“電磁波”搶在“地震波''之前發出避險警報信息，以減小相關預警區域的災害損失.根據Rydelek

和Pujol提出的雙臺子臺陣方法，在一次地震發生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把

震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.在一次地震預警中，

兩地震臺A站和8站相距10km.根據它們收到的信息、，可知震中到3站與震中到A站的距離之差為6km.據此

可以判斷，震中到地震臺B站的距離至少為（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

變式1.（2023春?江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學校考期中）單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它

可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖1,俗稱小蠻腰的廣

州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某

市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2,最細處的直徑為100m,

樓底的直徑為50屆m,樓頂直徑為50拓m,最細處距樓底300m,則該地標建筑的高為（）

圖1圖2

A.350mB.375mC.400mD.450m

變式2.（2023?福建泉州?校聯考模擬預測）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出

圓錐曲線的一些光學性質.例如，點尸為雙曲線（片，工為焦點）上一點，點尸處的切線平分尸片.已

知雙曲線C：。為坐標原點,,是點尸3,處的切線，過左焦點耳作/的垂線，垂足為

則加卜

［臧真題演練f

----------------------lllllllllllllllllllllllilllllllllllllllll------------------------

22

1.已知方程------表示雙曲線，求m的取值范圍.

2+mm+1

2.已知雙曲線C:￡-1=l（a>0,b>0）滿足2=倉，且與橢圓蘭+亡=1有公共焦點，則雙曲線C的方程為

a-吩a2123

3.已知雙曲線的兩個焦點網-君，0）,后（6。），尸是雙曲線上一點，且尸耳門巴，|用附區則雙曲

線的標準方程是（）

Afy2TB*y2T

2332

22

C.尤2-匕=1D.—-y*12=*4l

44”

4.設K，F2為雙曲線H-V=i的兩個焦點，點尸在雙曲線上，且滿足/可尸工=90。，則耳的面積為

4一

（）

A.75B.2C.&D.1

2

5.設尸為雙曲線=-丁=1上一動點，。為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程為

|］營過關檢測］|

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、單選題

2

1.（2023春?四川資陽?高二統考期末）已知雙曲線C:/一與=1（加>0）的左、右焦點分別為耳，F2,直線

m

/經過F?且與C的右支相交于A,B兩點,若|AB|=2,則A24的周長為（）

A.6B.8C.10D.12

2.（2023春?上海崇明?高二統考期末）已知A,3為平面內兩定點，過該平面內動點M作直線AB的垂線,

—.21

垂足為N.若MV=--AN-NB,則動點M的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

3.（2023秋?山西晉中?高二統考期末）與兩圓尤2+丁=4及/+丁-8工+15=0都外切的圓的圓心的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線的一支C.拋物線D.圓

4.（2023?全國?高三對口高考）已知兩點“（-5,0）,以5,0）及直線/：①5x-3y=0；?5x-3y-3O=O;③

x-y=O；④4x-y+4=0,在直線/上存在點尸滿足|網=|陰+6的所有直線方程是（）

A.①②B.①③C.②③D.②④

5.（2023?全國?高三對口高考）若雙曲線2&2_。2=1的一個焦點是（0,4）,則上的值為（）

A--IB-TD--T

6.（2023春?湖南岳陽?高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）已知上eR,貝『'-2＜左＜3”是“方程

22

-.........J=1表示雙曲線''的（）

1-k1+k

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

7（2023?全國?高三專題練習）已知雙曲線!-9=1的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，M

為△尸耳月的內切圓上一點，則耳0由8取值范圍為（）

A.(18,42)B.(24,36)

C.（30-6A/5,30+6A/5）D.（6-675,6+675）

8.（2023?全國?高三專題練習）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉村”籃球聯賽總決賽火爆開賽，被網

友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1）,可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪

形狀為圓。，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓。的交點將圓。

的周長八等分，AB=BC=CD=2,視AD所在直線為無軸，則雙曲線的方程為（)

圖1圖2

A./-塵=1B.2x2-y2=lCT一浮=1D—-*1

9

二、多選題

9.（2023春?廣西河池?高二校聯考階段練習）已知加eR,則方程（2-租）/+（加+1）尸=1所表示的曲線為C,

則以下命題中正確的是（）

A.當加時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓

B.當曲線C表示雙曲線時，加的取值范圍是（2,+8）

C.當機=2時，曲線C表示兩條直線

D