專題03實數（八大題型）

【題型1無理數】

題型歸納___________________________________________

【題型2實數的性質】

【題型3估算無理數大小】

【題型4無理數整數部分或小數部分的有關計算】

【題型5實數運算】

【題型6程序設計與實數的運算】

【題型7新定義下的實數運算】

【題型8實數中的實際應用題】

述題型專練

【題型1無理數】

（24-25八年級上?福建三明?期中）

1.下列實數中的無理數為（）

5L

A.2B.-C.3.14D.V3

7

（24-25八年級上?福建泉州?階段練習）

2.下面幾個數：0.37,1.212212221,冷石，3兀，:，灰，其中無理數的個數有（）

A.1B.2C.3D.4

（24-25八年級上?福建漳州?期中）

3.公元前500年，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現了邊長為1的正方形的對角線長

不能用有理數表示，為了紀念他，人們把這些數取名為無理數.下列各數中，屬于無理數的

是（）

22

A.^9B.-1.34C.—D.V025

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

4

4.下列各數：V7,1.030030003,0,④，兀，"，其中屬于無理數的有（）

試卷第1頁，共8頁

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2實數的性質】

（24-25九年級上?重慶合川?階段練習）

5."的相反數是（）

屈D8

A.y[6B.rL.—

66

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

6.下列各組數中，互為相反數的是（）

A.-2和3B.J(—2)2與西

C.卜閩與QD.—我與注

（24-25八年級上?河南周口?階段練習）

7.V6的絕對值是（）

1

A.^6B.-^6C.±^6D-忑

（2024八年級上?全國?專題練習）

8.實數。在數軸上對應的點的位置如圖所示，計算+|痣一的結果為（）

a

______1?]______?_____i.i?

-2-10123

A.4+&一2〃B.7i-V2C.血_兀D.2a-TC-42

（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）

9.實數*的倒數是（）

31717

A.—B.—C.-----D.2

1733

（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）

10.夜-1的相反數是.

【題型3估算無理數大小】

（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?期末）

11.估計近的值應在（）

A.1與2之間B.2與3之間C.3與4之間D.4與5之間

（24-25八年級上?福建泉州?階段練習）

試卷第2頁，共8頁

12.估計&+3的值（）

A.在5和6之間B.在6和7之間

C.在7和8之間D.在8和9之間

（24-25七年級上?浙江溫州?期末）

13.已知加=后-6，則實數機在（）

A.5和6之間B.4和5之間C.3和4之間D.2和3之間

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

14.已知整數。滿足4<&<5,則整數“不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

15.已知：a<-V24<b,且。，6為兩個連續的整數，則。+28=（）

A.-12B.-13C.-14D.-15

（24—25八年級上?吉林長春?期末）

16.一個正方形的面積是5,則它的邊長在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【題型4無理數整數部分或小數部分的有關計算】

（24-25七年級上?浙江杭州?階段練習）

17.已知。是-8的立方根，6是而的整數部分，則”+6的平方根為（）

A.1B.2C.±1D.±2

（24—25八年級上?廣東河源?期中）

18.已知機=囪+6,則加的小數部分是（）

A.GB.V3+1C.V3-1D.4

（22-23七年級下?廣東東莞?期中）

19.標的整數部分是—.

（24—25八年級上?四川宜賓?期中）

20.設3+而的整數部分是a,3+g小數部分是6,貝"“-6=

（24-25七年級上?浙江溫州?期中）

試卷第3頁，共8頁

21.若加的整數部分是〃，g的小數部分是6,則。-6的值為

(24—25八年級上?四川綿陽?期末)

22.已知區的整數部分是x,小數部分是y,則x—=.

【題型5實數運算】

(24—25八年級上?江蘇蘇州?期末)

23.計算：

(1)-42X(-1)2025+V8-V25

⑵2gT2-閩+J(-以+V-27.

(24-25七年級上?浙江紹興?階段練習)

24.計算:

⑴T4-；x>2-(-1)〔+

⑵(-24)x1T+j

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

25.計算：

⑴W-27+-^(-3)2-V-1；

(3)-33-(-4)+^-1^

(24-25七年級上?浙江金華?階段練習)

26.計算：

⑴一48x(J%1+w3一五1、)

⑵閩-行

(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習)

27.計算：

(1)(V3+V2)-(V3-V2)

(2)716+VZ1+|1-V5|

試卷第4頁，共8頁

（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）

28.計算

(1)|>/2—A/S|+2-\/2

⑵(-1嚴4+心存-防

【題型6程序設計與實數的運算】

（24-25八年級上?四川宜賓?期中）

29.有一個“數值轉換機”，其運算過程如圖所示，當輸入的x的值為16時，輸出的了的值

為（）

A.4B.72C.-V2D.2

（24—25八年級上?山西晉城?期中）

30.如圖，這是一個數值轉換器，當輸入x的值為64時，則輸出了的值是（）

是有理教

A.2B.V2C.±72D.%

（24-25八年級上?山西長治?期中）

31.有一個數值轉換器，程序如下：

/輸入x/+?［取算術平方根||是無理數＞■/輸出口/

是有理數

當輸入x=256時，輸出了的值是（）

A.V?B.V5C.V3D.72

（24-25七年級上?浙江臺州?期中）

32.如圖，這是一個數值轉換機，當輸入的尤值為25時，輸出的V值是

試卷第5頁，共8頁

是有理數

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

33.如圖，是一個數值轉換器，其工作原理如圖所示.

當輸入的x值為-7時，則輸出的y值為.

【題型7新定義下的實數運算】

（24-25七年級上?云南楚雄?期末）

34.對于實數a,b,定義一種新運算“△”，規則：aAb=b--ab,則等式運5=-5中的x值

為（）

A.4B.-4C.6D.-6

（24—25八年級上?河北唐山?期中）

35.現在定義一種運算，其規則為a*6=/—〃，根據此規則，如果x滿足2x*5=-l,那么

x的值為（）

A.V6B.-V6C.±V6D.-1±y/6

（24-25八年級上?河南周口?期中）

36.對于任意的正數x,y定義運算“#"：x#y=_",貝IJ計算25#49—49#25

的結果為（）

A.-14B.-10C.14D.10

（24—25九年級上?黑龍江哈爾濱?期末）

37.定義新運算：對于任意實數“，6,都有a十6=/一36,若4十x=l,貝口的值為.

（2024九年級上?全國?專題練習）

38.設6都是有理數，規定a*b=C+配,則（4*8）*[9*（-64）]=.

【題型8實數中的實際應用題】

（23-24七年級下?湖北咸寧?期中）

39.某高速公路規定汽車的行駛速度不得超過100千米/時，當發生交通事故時，交通警察通

試卷第6頁，共8頁

常根據剎車后車輪滑過的距離估計車輛的行駛速度，所用的經驗公式是V=16歷，其中V

表示車速（單位：千米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），/表示摩擦系數.在

一次交通事故中，經測量4=30米，f=2,請你通過計算判斷汽車此時的行駛速度v100

千米/時.（填“>”、“<”或“=”）

（24-25八年級上?河南周口?階段練習）

40.團扇是中國傳統工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意.某社團組織學生制作團扇，扇面

有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均為500cm2.完成扇面后，需對扇面邊緣用緞帶進行

包邊處理（接口處長度忽略不計），如圖所示.

（1）圓形團扇的半徑為一（結果保留兀）cm,正方形團扇的邊長為_cm；

（2）請你通過計算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短.

（21-22七年級下?北京?期中）

41.“說不完的血”探究活動，根據各探究小組的匯報，完成下列問題.

（1）0到底有多大？

下面是小欣探索血的近似值的過程，請補充完整：

我們知道面積是2的正方形邊長是血，且血>1.4.設收=1.4+x，畫出如下示意圖.

由面積公式，可得/+=2.

試卷第7頁，共8頁

因為X值很小，所以f更小，略去/，得方程,解得》（保留到0.001）,即

\[2a-

（2）怎樣畫出近？請一起參與小敏探索畫血過程.

現有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1）,請把它們分割后拼接成一個新的正方

形.要求：畫出分割線并在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出

拼接成的新正方形.

小敏同學的做法是：設新正方形的邊長為x（x>0）.依題意，割補前后圖形的面積相等，有

/=2,解得x=把圖（1）如圖所示進行分割，請在圖（2）中用實線畫出拼接成的新

正方形.

?---1---1---1---1---1

??II?I

??IIII

?---1---1---1?---1---1---1---1---1

??IIII

??IIII

I---1---1---1---1---1

I?IIII

??II??

I---1---1---1---1---1

圖⑴圖⑵圖(3)圖(4)

請參考小敏做法，現有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3）,請把它們分割后拼接成

一個新的正方形.要求：畫出分割線并在正方形網格圖（4）中用實線畫出拼接成的新正方

形.說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程.

試卷第8頁，共8頁

1.D

【分析】本題考查了無理數的定義，熟練掌握無理數的定義是解答本題的關鍵；

根據無理數的形式，開方開不盡的數，無限不循環小數，含有兀的數，找出無理數的選項,

即可求解；

【詳解】解：A、2是有理數

B、（是分數，是有理數；

C、3.14是有限小數，是無理數；

D、G是無理數；

故選：D

2.B

【分析】本題考查了無理數的定義，立方根，先化簡注？=-4,再結合無限不循環小數即

為無理數進行逐個分析，即可作答.

【詳解】解：依題意，=

則3無，灰都是無理數，

故選：B.

3.A

【分析】本題考查了無理數的定義.根據無理數的定義，判斷每個選項是否符合無限不循環

小數的特征即可解答.

【詳解】解：-134是無限循環小數，萬是分數，血石=0.5是有限小數，都是有理數，

只有衿是無理數，

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了無理數的定義，熟練掌握無理數的定義是解題的關鍵.

根據無理數的定義“無限不循環小數就是無理數”進行解答即可.

【詳解】解："=2,

在數J7,1.030030003,0,6,兀，"，g中，無理數有：近，6,萬，共3個，

故選：C.

答案第1頁，共15頁

5.B

【分析】本題考查了相反數的概念，熟記相反數的定義是解題的關鍵.根據只有符號不同的

兩個數互為相反數，可求得一個數的相反數.

【詳解】解：痛的相反數是-6，

故選：B.

6.B

【分析】本題考查實數的性質，根據算術平方根，立方根的定義，以及相反數的定義，逐一

進行判斷即可.

【詳解】解：A、-2和g不是相反數，不符合題意；

B、行了=2,嶼=-2,兩數互為相反數，符合題意；

C、卜夜卜百，兩數相等，不符合題意；

D、-V8=-2,V=8=-2,兩數相等，不符合題意；

故選B.

7.A

【分析】本題考查了求一個數的絕對值，深刻理解絕對值的意義是解題的關鍵：絕對值的定

義：一般地，數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對值，記作這里的數。可

以是正數、負數和0;絕對值的幾何意義(非負性)：一個數的絕對值是表示該數的點與原

點的距離，因為距離總是正數和0,所以有理數的絕對值不可能是負數；絕對值的代數意義:

①一個正數的絕對值是它本身，②零的絕對值是零，③一個負數的絕對值是它的相反數.

根據絕對值的意義解答即可.

【詳解】解：?.?卡>(),

|^6|=V6,

故選：A.

8.B

【分析】本題考查實數與數軸，熟練掌握數軸上點的特點，由數軸可知，2<“<3,則

萬>a，a>6,再運算絕對值即可求解.

【詳解】解：由數軸可知，2<”3,

答案第2頁，共15頁

..a<yr,。>yp2，

|iz-乃|+1^2—=%一a-^^2_a)=7一5/2,

故選：B.

9.C

【分析】本題考查倒數的概念：注意在求分數的倒數時，把分子、分母交換位置即可，求無

理數的倒數要進行分母有理化，化為最簡二次根式.

根據倒數的定義進行求解即可.

【詳解】解：一3行的倒數為：-三17，

故選：C.

10.1-V2##-V2+1

【分析】本題考查了無理數的認識，相反數的定義，只有符號不同的兩個數互為相反數，據

此即可作答.

【詳解】解：依題意，-(V2-l)=l-V2,

則a-1的相反數是1-夜，

故答案為：1-收

11.C

【分析】本題考查了無理數大小的估算，熟練掌握無理數大小的估算方法是解題的關鍵.

先對進行估算，再逐項判斷即可.

【詳解】解：?.?囪<疝<后，

???3<V12<4

故選：C.

12.C

【分析】本題考查了無理數的估算，先得出4<舊<5,則7<后+3<8,即可作答.

【詳解】解：,??詬<后<后，

4<J24<5>

???7<V24+3<8，

故選：C.

13.C

答案第3頁，共15頁

【分析】本題考查了對無理數大小的估算能力，能準確理解并運用算術平方根知識是解題的

關鍵.先化簡加的值，再運用算術平方根知識進行估算、求解.

【詳解】解："1=國-右=3拒-。=2拒=瓦,

???9<12<16,

???3<V12<4.

故選：C.

14.A

【分析】本題考查的是無理數的估算，掌握“無理數的估算方法”是解題的關鍵.根據

4<&<5得出。的取值范圍，即可得答案.

【詳解】解：

16<?<25,

??.整數Q不可能是16.

故選：A.

15.B

【分析】本題考查了無理數的大小估算，已知字母的值求代數式的值，先由

V16<V24<V25>得出4<舊<5，則-5〈-在<-4,結合a,b為兩個連續的整數，貝U

a=-5,b=-4,再代入a+2b進行計算，即可作答.

【詳解】解：,.,而<后<后，

4<J24<5>

貝I-5<-V24<-4,

-■-a<->j24<b，且。，b為兩個連續的整數，

貝！］a=—5,b=—4,

.?.a+2b=-5+2x(-4)=-13,

故選：B.

16.B

【分析】本題考查的是估算無理數的大小，熟知估算無理數大小要用逼近法是解答此題的關

鍵.

先求出正方形的邊長，再估算出其大小即可.

答案第4頁，共15頁

【詳解】?.?一個正方形的面積是5,

其邊長=石.

?.?V4<V5<V9,

2<V5<3.

故選：B.

17.C

【分析】本題考查了立方根與算術平方根、無理數的估算，熟練掌握立方根與算術平方根的

性質是解題關鍵.先根據立方根的性質求出。的值，再根據無理數的估算可得6的值，然后

根據平方根的性質求解即可得.

【詳解】解：*是-8的立方根，

???a=-2,

v9<15<16,

???V9<V15<V16,BP3<V15<4,

??力是后的整數部分，

.,.b=3,

a+b=—2+3=1,

貝（Ja+6的平方根是±1.

故選：C.

18.C

【分析】本題考查了無理數的估算，由次=3,1<。<2可得4<囪+百<5,即可得冽的

整數部分是4,進而即可求解，掌握無理數的估算方法是解題的關鍵.

【詳解】解：,?,囪=3,1〈百<2,

*'?4<^9+V3<5，

即4<加<5,

...加的整數部分是4,

■■m的小數部分是囪+6-4=3+百-4=6-1,

故選：C.

答案第5頁，共15頁

19.8

【分析】本題考查無理數的估算.求出界在哪兩個整數之間，從而判斷廊的整數部分.

【詳解】解：???64<76<81,

***J64<J76<A/81.

§P8<V76<9,

???歷的整數部分是8,

故答案為：8.

20.9-713##-713+9

【分析】本題考查與無理數整數有關的計算，先利用夾逼法求出“，原數減去〃得到6,再

進行計算即可.

【詳解】解：,囪話，

???3<V13<4,

?-?6<3+VB<7,

.-.a=6,6=3+713-6=713-3,

?,?a-6=6-而+3=9-拒；

故答案為：9-V13.

21.5-V7##-V7+5

【分析】本題考查了估算無理數的大小，利用夾值法估算出行的范圍是解此題的關鍵.

根據題意求出而、行的范圍，得到。、6的值，再代入計算即可.

【詳解】解:v9<13<16,

?.3<V13<4，

a=3,

4<7<9,

3<V7<3,

答案第6頁，共15頁

:.b=近-2,

:.a-b=3-W-2)=5-g,

故答案為：5-V7.

22.10-V26##-V26+10

【分析】本題考查無理數的估算與代數式求值,解題的關鍵是求出的值，由于5〈后<6,

可得回的整數部分是x=5.回的小數部分是>=而-5,代入即可求出代數式x-y的

值.

【詳解】解：v25<26<36.

???V25<V26<V36.BP5<V26<6.

二糜的整數部分是5即x=5.

???屈的小數部分是回-5.即>=而-5.

：.x—y=5-(J26-5)=10—J26.

答案為：10-^26.

23.(1)13

(2)5+V3

【分析】此題主要考查了實數的運算，正確化簡各數是解題關鍵，

(1)利用負數指數幕、開立方、平開方對各項進行化簡，再計算即可得到答案；

(2)利用開平方、去絕對值、開立方對各項進行化簡，再計算即可得以答案.

【詳解】(1)解：原式=-16義(-1)+2-5=16+2-5=13；

(2)解：原式=2xg-(2一@+9-3=1-2+百+9-3=5+追.

24.(1)5

⑵T

【分析】本題考查了實數的運算，解題的關鍵是：

(1)先計算乘方和開方，然后計算括號內，再計算乘法，最后計算加減；

(2)根據乘法的分配律計算即可.

答案第7頁，共15頁

【詳解】(1)解:原式=T-；x(-2-1)+5.

=-l-1x(-3)+5

=-1+1+5

=5；

(2)解:原式=(-24)x：-(一24)x：+(-24)xJ

o34

=-3+8-6

=-1

25.(1)1

⑵35

⑶-15

【分析】本題主要考查了有理數混合運算，實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數混

合運算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”，立方根,

算術平方根定義.

(1)根據立方根定義，算術平方根定義進行計算即可；

(2)根據乘法分配律進行計算即可；

(3)根據含乘方的有理數混合運算法則進行計算即可.

【詳解】(1)解：百+行1-4

=-3+3-(-1)

=0+1

=1;

⑵解:-36)

517

=--X(-36)+-X(-36)--x(-36)

=20—6+21

=35；

2

(3)解：-33-(-4)

9

-27+4+ri

答案第8頁，共15頁

=-27+4+8

26.(1)-26

(2)3

【分析】本題考查了有理數的混合運算，實數的混合運算；

(1)根據有理數的乘法分配律進行計算即可求解；

(2)根據算術平方根、立方根、化簡絕對值進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：+

I6424)

131

=48x——48x-+48x—

6424

=8-36+2

=—26

(2)解:歷+V^7+|1—后卜夜

=7-3+V2-l-V2

=3

27.(1)2亞

⑵2+石

【分析】本題主要考查了實數的運算，絕對值等知識點，

(1)原式去括號合并即可得到結果；

(2)原式利用算術平方根定義，立方根定義，以及絕對值的代數意義計算即可求出值;

熟練掌握數的運算法則是解決此題的關鍵.

【詳解】(1)解：(A/3+V2)-(V3-V2)

=A/3+V2->/3+V2

=272;

(2)解：V16+y/—l+11-V51

=4-1+75-1

=2+75.

28.(1)V3+V2

答案第9頁，共15頁

(2)2

【分析】本題考查了實數的混合運算，掌握求一個數的算術平方根，立方根是解題的關鍵.

(1)去絕對值符號，再根據實數的混合運算進行計算即可求解；

(2)先計算乘方，算術平方根與立方根，再進行加減計算即可求解.

【詳解】(1)解：2-網+2行

-V3-V2+2V2

=V3+V2;

(2)解:(-1)2024+y/(-4)2-V27

=1+4-3

=2.

29.B

【分析】本題考查求一個數的算術平方根，理解“數值轉換機”，根據算術平方根的定義求解

即可.

【詳解】解：當x=16時，J話=4是整數，不是無理數；

當x=4時，"=2是整數，不是無理數；

當x=2時，逝是無理數，

???輸出的V的值為血，

故選：B.

30.B

【分析】本題主要考查了數的算術平方根及立方根的計算方法和無理數、程序圖，讀懂程序

框圖的走向是解題關鍵.依據轉換器流程，先求出64的算術平方根是8,是有理數；取立

方根為2,是有理數；再取算術平方根為近，最后輸出，即可求出y的值.

【詳解】解：.?,64的算術平方根是8,8是有理數，

.??取8的立方根為2,2是有理數，

取2的算術平方根為血，血是無理數，即可輸出，

輸出丁的值是逝.

答案第10頁，共15頁

故選：B.

31.D

【分析】本題考查數值轉換器，先取工的算術平方根，即求256的算術平方根；再判斷256

的算術平方根是無理數還是有理數，如果是無理數，直接輸出即可，如果是有理數，繼續求

算術平方根，據此解答即可.解題的關鍵是正確理解數值轉換器的原理

【詳解】解：???畫=16，16為有理數，

.??把16輸入，V16=4,4為有理數，

???把4輸入，"=2,2為有理數，

???把2輸入，2的算術平方根為0,0是無理數，

二輸出的丁的值是

故選：D.

32.V5

【分析】本題考查了程序設計與實數運算，求一個數的算術平方根等知識點，當輸入的x值

為25時，25的算術平方根為5,且5為有理數；5的算術平方根為石，且行為無理數；據

此即可求解；

【詳解】解：當輸入的x值為25時，25的算術平方根為5,且5為有理數；

5的算術平方根為石，且石為無理數；

???輸出的y值是6，

故答案為：出

33.V3

【分析】本題考查程序流程圖與實數的計算，根據流程圖列式計算，求解即可.

【詳解】解：當輸入的x值為-7時：J-7-2|=的=3為有理數,

輸入3,百為無理數，輸出；

故答案為：V3.

34.C

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，定義新運算，先根據新運算法則得出

52-5X=-5,然后求解即可.

【詳解】解：=,

答案第11頁，共15頁

???52-5X=-5,

解得x=6.

故選：C.

35.C

【分析】本題考查了新定義下的運算，平方根的應用，理解新運算是關鍵；由規定的新運算

得：4x2-25=7,整理后用平方根的定義即可求解

【詳解】解：■.-a^b=a2-b2,

,?-2X*5=（2X）2-52=-1,

即4X2-25=-1

解得：X=±\/6,

故選：C.

36.D

【分析】此題考查了新定義，算術平方根的意義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.原式

利用題中的新定義計算即可得到結果.

y/x-Jy（x>y]