專題14排列組合與二項式定理

目錄

題型一：兩個原理

易錯點01混淆兩個計數原理而出錯

易錯點02分步“有序”導致錯誤

易錯點03分步不合理導致重復或遺漏

題型二排列組合

易錯點04忽視排列數組合數公式的隱含條件致誤

易錯點05分組問題混淆“均分”與“非均分”

易錯點07計數時混淆有序與定序

題型三二項式定理

易錯點08混淆“系數”與“二項式系數”而出錯

題型一：兩個原理

易錯點01：混淆兩個計數原理而出錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?湖北武漢?期末）某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學分別報

名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名，且甲

不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

【答案】C

【分析】在甲單獨參加某項比賽條件下，結合分堆問題的處理方法及分步乘法計數原理求滿足條件的方法

數，再在甲不單獨參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數原理及排列知識求滿足條件的方法數，最后利用

分類加法原理求結論.

【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：

第一類：甲單獨參加某項比賽，

先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有3種，

再將余下4人，安排到與下的三個項目，

由于每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名,

故滿足條件的報名方法有造產A；=36,

所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有3x36=108種，

第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有C；A；=12種

方法，再安排余下三人，有A；=6種方法，所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有12*6=72種，

所以滿足條件的不同的報名方法共有72+108=180種方法.

故選：C.

【易錯剖析】

在利用兩個計數原理處理計數問題時，往往容易因為混淆分類、分步而錯用兩個原理致錯.

【避錯攻略】

1、分類加法計數原理

完成一件事有兩類不同方案.在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n

種不同的方法，完成這件事共有"=機+〃種不同的方法。

2、分步乘法計數原理

完成一件事需要兩個步驟.做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，完成這件事共

有N=%?"種不同的方法。

3、兩個計數原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數時，使用分步計數原理.

易錯提醒：|兩個原理的辨析：

⑴聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區

別如下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

（3）分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理；

分步T將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的

應用.

舉一反三

1.（24-25高三上?江蘇南京?開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第

4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很

遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.

【詳解】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；

所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3,4名，丁為第1名，此時共2種情況；

丙是第3名時，甲，乙只能是第1,2名，丁為第4名，此時共2種情況；

丙是第4名時，甲，乙有可能是第1,2名，或第2,3名，

當甲，乙是第1,2名時，丁為第3名，此時共2種情況；

當甲，乙是第2,3名時，丁為第1名，此時共2種情況；

所以一共有2+2+2+2=8種情況.

故選：C.

2.（2025?上海?模擬預測）有一四邊形/BCD,對于其四邊BC、CD、DA,按順序分別拋擲一枚質量

均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去.最后，以/為起點沿著尚未擦

去的邊出發，可以到達C點的概率為（）.

【答案】B

【分析】根據分步計數原理及古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】根據題意，對于其四邊BC、CD、DA,按順序分別拋擲一枚質量均勻的硬幣，

共有2x2x2x2=16種情況,

要從/出發沿著尚未擦去的邊能到達點C,

若保留/民8。兩條邊，則CD,必可保留也可擦去，

共有2x2=4種情況；

若保留ND,DC兩條邊，則43,3C可保留也可擦去，

共有2x2-1=3種情況（其中有一種情況與上面重復），

則要從/出發沿著尚未擦去的邊能到達點C,共有7種情況，

7

所以可以到達C點的概率為二.

故選：B.

3.（23-24高二下?天津紅橋?期中）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現有十二生肖的吉祥物各一個，三位

同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡龍、牛和羊，乙同學喜歡龍和馬，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果

讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有種.

【答案】50

【分析】分甲選龍和甲不選龍兩種情況，結合分步計數原理，即可求解.

【詳解】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，

第二種情況是甲選牛或馬，甲有2種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有2x2x10=40種

方法，

所以共有10+40=50種方法.

故答案為：50

易錯題通關

1.（24-25高三上?重慶?期末）已知某班級將學生分為4個不同的大組，每個大組均有14名學生，現從這

個班級里抽取5名學生參加年級活動，要求每個大組至少有1名同學參加，則不同的抽取結果共有（）

A.種B.種

C.4（C：J.C：4種D.2（C；J.C；2種

【答案】C

【分析】根據題意，必有一組應取2人，其余組別各取1人，運用分步乘法計數原理計算即得.

【詳解】由題意，要求每個大組至少有1名同學參加，即在4個大組中，必有一個大組有2名同學參加活

動，其余組別各有1個同學.

運用分步乘法計數原理解決：先從4個大組中抽取一個有2名同學參加的組，有C；種，

再從另外三個大組中分別各取1名同學，有(Cl)?種，

最后確定有2個同學參加的組的人選，有CZ種.

由分步乘法計數原理，抽取結果共有C；.C：??J=4(C：J個.

故選：C.

2.(24-25高三上?云南昆明?階段練習)將1,2,3,4,5,6,7這七個數隨機地排成一個數列、記第，項

為生。=1,2,…,7),＞。5，＜。6＜。7，則樣的數列共有()

A.70個B.71個C.80個D.81個

【答案】B

【分析】先分類，再分步，根據加法原理以及乘法原理、組合數即可求解.

【詳解】若%=1，則這樣的數列有C，C；=45個；

若。5=2,則這樣的數列有C；C；=20個；

若%=3,則這樣的數列有C；=6個，

所以滿足條件的數列共有45+20+6=71個，

故選：B.

3.(24-25高二下?全國?課后作業)某校計劃在五四青年節期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男

生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學校要求女生至少參加I人至多參加2人，則選派方式共有

()

A.80種B.90種C.100種D.120種

【答案】C

【分析】結合分類加法和分步乘法計數原理，利用組合數即可求得.

【詳解】若恰有1名女生參加，則有C；C；=10x4=40種，

若恰有2名女生參加，則有C：C；=10x6=60種，

所以共有40+60=100種不同的選派方式.

故選：c.

4.（24-25高三上?湖北武漢?階段練習）武漢外校國慶節放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張

老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續值兩天班，則不同

的值班方法共有（）種

A.114B.120C.126D.132

【答案】A

【分析】依據值班3天的為分類標準，逐類解決即可.

【詳解】因為有三位老師值班7天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續值兩天班，

所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.

第一類：值班3天在（1,3,5）、（1,3,6）、（1,4,6）、（2,4,7）、（2,5,7）、（3,5,7）時，共有6xC；C；C；=72種不同

的值班方法；

第二類：值班3天在（L3,7）、（1,5,7）時，共有2xC；C；=12種不同的值班方法；

第三類：值班3天在（1,4,7）時，共有C；C；C；=12種不同的值班方法；

第四類：值班3天在（2,4,6）時，共有C；C；=18種不同的值班方法；

綜上可知三位老師在國慶節7天假期共有72+12+12+18=114種不同的值班方法.

故選：A

5.（2024?江西新余?模擬預測）為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包

括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同

一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（）種.

A.144B.260C.320D.540

【答案】B

【分析】采用分類與分步計數原理，先排丙共有C；種分法，再分為甲、丙在同一所學校和甲、丙不在同一

所學校兩類，每類分別討論，最后相加得到結果.

【詳解】先將丙安排在一所學校，有C；種分法；

若甲、丙在同一所學校，那么乙就有C；種選法，

剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學校（記為X校），

分別對應有1（3人均在X校）、C1C；（2人在X校，另1人隨便排）、

（1人在X校，另2人分在同一所學校或不在同一所學校），

共1+C〉C；+C；C?&=19種排法；

若甲、丙不在同一所學校，則甲有C；種選法，

若乙與丙在同一所學校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；

若乙與丙不在同一所學校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，

分別有C；、C；.A「A；種排法，故共有:

C；1C；.19+C；.（19+C；+C；?A；+A；）］=260種排法.

故選：B.

6.（23-24高二下?廣東中山?期末）用數字0,1,2,3,4,5組成的有重復數字的三位數且是偶數的個

數為（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【分析】組成有重復數字的三位數，且是偶數，按個位是0和不是0進行分類；個位不是0時要注意選中的數

有0和不是0情況求解.

【詳解】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0,2,4,有3種選擇，

而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0,有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論：

①當個位數為0時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，

與百位數一樣，只有一種選擇，

與個位數一樣，也只有一種選擇；

②當個位數為2時，

如果百位數為2,則十位數有6種選擇，

如果百位數不為2,則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇：

當個位數為4時，

如果百位數為4,則十位數有6種選擇，

如果百位數不為4,則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇

綜上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故選：B.

易錯點02：分步“有序”導致錯誤

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?福建泉州?階段訓練）有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20

個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法是（）

A.560B.2735C.1136D.480

【答案】C

【解析】方法一將“至少有1個是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰

有3個一等品”.由分類加法計數原理，得不同取法有心端+晨?+穹6=1136（種）.

方法二考慮其對立事件“3個都是二等品“，用間接法，得至少有1個一等品的不同取法有

Co—端=1136（種），故選C.

【易錯剖析】

由于對實際問題中“至少有1個一等品，，意義理解不明，可能導致下面的錯誤：按分步乘法計數原理，第

一步確保有1個一等品，有C：6種取法；第二步從余下的19個零件中任取兩個，有C；9種不同的取法，故共

有C；6C：9=2736（種）取法，實際上這個解法是錯誤的.下面我們作如下分析，第一步取出1個一等品，那

么第二步就有3種可能：①取出的2個都是二等品，這時的取法有。6婿=96（種）；②取出1個一等品,

1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一

等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產生了多一倍的重復，即這時的取法有gc；6C；5C；=480（種）；

③取出的2個都是一等品，這時我們取出的3個都是一等品了，實際的取法種數應是穹$=560.

【避錯攻略】

用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析一需要分類還是需要分

步；分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數;

分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一

步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數.

易錯提醒：|對于“至少”“至多”類型的問題，考生應注意從兩個方面處理：一是從正面進行處理，可以根據要

求進行合理分類，利用分類加法計數原理求解；二是求解該事件的對立事件，即利用排除法求解，其實質

還是先進行分類.求解時要根據具體情況選取類別較少的一種方法進行解答.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?期中）為促進城鄉教育均衡發展，某地區教育局安排包括甲、乙在內的5名城區教

師前往四所鄉鎮學校支教，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學校，則甲、乙不安排在

同一所學校的方法數有（）

A.1440種B.240種C.216種D.120種

【答案】C

【分析】根據分組分配計算所有的安排方法數，再計算甲、乙安排在同一個學校的方法總數，相減得符合

的方法數.

【詳解】根據題意，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只去一所學校，則有C；A：=10x24=24（）種不

同安排方法，

若甲、乙安排在同一個學校，則有A；=24種不同安排方法，

甲、乙不安排在同一所學校的方法數有240-24=216種.

故選：C.

2.（24-25高三上?廣東?開學考試）某中學數學組來了5名即將畢業的大學生進行教學實習活動，現將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

【答案】B

【分析】先把5名大學生按照1:2:2分成三組，再將三個組分到3個班，計算可得答案.

【詳解】將5名大學生分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，

C2c2

則將5名大學生分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有看=15種方法，

再將3組分到3個班，共有15?A；=90種不同的分配方案，

故選：B.

3.（24-25高三上?廣東河源?階段練習）某市教育局人事部門打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名應屆大學畢業生

安排到該市4所不同的學校任教，每所學校至少安排一名，則不同的安排方法種數是.

【答案】240

【分析】根據題意，先將5人分成4組，再安排的4個不同的學校，結合分步計數原理，即可求解.

【詳解】根據題意，先將甲、乙、丙、丁、戊這5名應屆大學畢業生，分成4組,

其中一組兩人，其他三組各一人，有C；=1O種分法,

在把分成的4組安排到市4所不同的學校任教，有A：=24種安排方法，

由分步計數原理得，共有10x24=240種不同安排方法.

故答案為：240.

能易錯題通關

1.（24-25高二下?全國?課后作業）某校致力于打造“書香校園”，以此來提升學生的文化素養.現準備將7

本不同的書全部分配給甲、乙、丙、丁4個不同的班級，要求每個班級均有書，且甲班的書比乙班多，丙

班至少2本，則不同的分配方案有（）

A.630種B.840種C.1470種D.1480種

【答案】C

【分析】根據分類加法計數原理，結合排列組合以及分步乘法計數原理即可求解.

【詳解】根據題意甲乙丙丁四個班的書可以按照3,1,2,1或者2,1,2,2或者2,1,3,1三種方式分

配，

故總的分配方案有C；C；C＜；++C；C；C；C；=1470種.

故選：C

2.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創新大賽.如果男生中的甲

和女生中的乙至少要有1人在內，那么不同的選法種數為（）

A.15B.40C.55D.70

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用排除法，結合組合計數問題列式計算即得.

【詳解】從8名學生中任選4名有C；=70種，沒有甲乙的選法有C：=15種，

所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數為70-15=55.

故選：C

3.（24-25高三上?河北唐山?開學考試）某學校4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能

去1個小區，且每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法種數為（）

A.6B.12C.24D.36

【答案】D

【分析】根據分步乘法計數原理，先從4人中選出2人作為一組，有C：種方法，再與另外2人一起進行排

列，有A；種方法，相乘即可得到答案.

【詳解】??,4名學生分到3個小區，每名同學只能去1個小區，且每個小區至少安排1名同學，

???4名同學不同的分組方法只能為2,1,1,

二不同的安排方法有C；A；=6x6=36（種）.

故選：D.

4.（2024?河南安陽?模擬預測）教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業專項行動，某市3

所高校的校長計劃拜訪當地企業，共有4家企業可供選擇.若每名校長拜訪3家企業，每家企業至少接待1

名校長，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.64種C.72種D.80種

【答案】A

【分析】按照間接法，先計算3名校長在4家企業任取3家企業的所有安排情況，然后減去3名校長選的3

家企業完全相同的安排方法數，即可求得所需安排情況種數.

【詳解】解：3名校長在4家企業任取3家企業的所有安排情況為：質仁仁=4X4、4=64種

又每家企業至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業，不全相同，

因為3名校長選的3家企業完全相同有C；=4種，

則不同的安排方法共有：64-4=60種.

故選：A.

5.（24-25高三?上海?隨堂練習）將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個項目協助培訓工作，每名志

愿者分配到1個項目，每個項目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有種.（用數字作答）

【答案】14

【分析】分兩種情況，每組2個人或者一組3人，一組1人，結合排列組合知識得到答案.

【詳解】先將4名志愿者分成2組，分別是每組2個人或者一組3人，一組1人，

若每組2個人，分別分配給2個項目，則有C；=6種分法；

若一組3人，一組1人，分別分配給2個項目，則有C；A；=8種分法；

因此不同的分配方案共14種.

故答案為：14.

6.（24-25高三?上海?隨堂練習）重陽節，農歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，是我國

民間的傳統節日，人們常在此日感恩敬老.某校在重陽節當日安排6名學生到兩所敬老院開展志愿服務活

動，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案是種.

【答案】50

【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理，結合分組分配列式計算即得.

【詳解】6名學生分成兩組，要求每組不少于2人，則分組情況有兩類：

第一類，一組2人一組4人，不同的分配方案為M=C：P；=30種；

第二類，每組3人，不同的分配方案為M=C犯;=20種，

所以不同的分配方案共有50種.

故答案為：50

7.（24-25高三?上海?課堂例題）在迎新班會上，小王設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球

和20個白球，這些球除顏色外完全相同.從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球中獎，則中獎的概率

為.（結果保留兩位小數）

【答案】0.19

【分析】根據給定條件，利用概率的加法公式，結合組合計數問題列式計算即得.

【詳解】令中獎的事件為A,則它是摸到3個紅球的事件、摸到4個紅球的事件、摸到5個紅球的事件的

和，它們互斥，

所以,即詈+詈+*贏

?0.19

故答案為：0.19

7.（2024?河南周口?模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議

籌備組將包含甲、乙在內的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人.每

人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數字作答）

【答案】114

【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是11,3和1,2,2,先求出5名工作人員分配到3

個會議廳的情況數，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數，相減得到答案.

【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是1,1,3和1,2,2,

人數組合是1,1,3時，共有空￡1XA；=60種情況,

c；c；c；

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為xA3=18種,

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有60-18=42種;

人數組合是1,2,2時，共有里注xA；=90種情況,

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為C；C；xA；=18種，

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有90-18=72種，

所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有42+72=114種.

故答案為：114.

易錯點03：分步不合理導致重復或遺漏

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要

的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1,2,3,…，8.現準備給

該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如

區域1與區域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.

【答案】630

【分析】確定區域1,2,3,4的顏色，分區域3與區域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答

案.

【詳解】解：根據題意，只需確定區域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區域1,有6種選擇，再涂區域2,有5種選擇，

當區域3與區域1涂的顏色不同時，區域3有4種選擇，剩下的區域4有4種選擇；

當區域3與區域1涂的顏色相同時，剩下的區域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故答案為：630.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易錯用分步乘法計數原理，從1到8依次涂色，方法數為6x5,，錯解的根源是涂完1、

2后，3號可以與1相同，也可以不同，而3號的顏色影響4號顏色的選擇.

【避錯攻略】

1.分類計數原理的應用原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分類計數原理的應用原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才能完

成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這〃個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復也不能遺漏.

易錯提醒：使用分步計數原理時，要注意以下三點：（1）步驟完整性：完成一件事必須且只需連續完

成所有步驟。每個步驟的方法選擇與其他步驟無關，但所有步驟必須依次完成；

（2）獨立性：每一步的方法選擇是獨立的，即前一步的選擇不會影響后一步的選擇；

（3）連續性：只有當前一步完成后，才能進行下一步。所有步驟必須依次進行，不能跳過任何一步.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?階段練習）如圖，對A,B,C,D,E五塊區域涂色，現有5種不同顏色的顏料

可供選擇，要求每塊區域涂一種顏色，且相鄰區域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方

法共有（）

AB

E

CD

A.480種B.640種C.780種D.920種

【答案】C

【分析】先涂3,D,E,然后分類討論A的顏色，最后利用乘法原理與加法原理可得答案.

【詳解】先涂8,D,E,有A；=60種方法.

若A的顏色不同于5,D,￡所涂顏色，有2種涂法，此時C有3種涂法，則對應總涂法數為60x6=360；

若A的顏色與E的顏色相同，此時C有3種涂法，則對應總涂法數為60x3=180；

若A的顏色與。的顏色相同，此時。有4種涂法，則對應總涂法數為60x4=240.

綜上，總涂法數為360+180+240=780.

故選：C

2.（24-25高二上?遼寧?期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法:

“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可

用，要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（）

半廣

【答案】B

【分析】設圖中的六個區域分別為48,C,O,E,尸，按照4E是否同色，分兩類，再結合分步乘法計數原理

運算求解.

①4E不同色，先給8,C涂色，有A；,再根據是否用余下那種顏色分兩種情況,

不用第三種顏色，即A用C的顏色，E用8的顏色，。有C；種，尸有C；種，則有種涂法;

用第三種顏色，即A用第三種顏色，E用B的顏色，。有C；種，尸有C；種,

或E用第三種顏色，A用C的顏色，則有2xC；-C〉C；種涂法,

所以4E不同色的涂法有：A^C；-C；-C^C*+2xC；-C^-C*）=72,

②4E同色，先給民C涂色，有A）則4E只能用第三種顏色，。有C；種，尸有C；種,

所以4E同色的涂法有:A；（lxC；xC；）=24,

綜上，不同的涂色方法有：72+24=96種.

故選：B.

3.（23-24高三上?河南?期中）玩積木有利于兒童想象力和創造力的培養.一小朋友在玩四棱柱形積木（四

個側面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側棱用同一種顏色，且在積木的

6個面中，除側棱的顏色相同外，則染法總數為（）

A.216B.360C.720D.1080

【答案】D

【分析】根據題意，結合棱柱的結構特征，分3步討論側棱、上底、下底的涂色方法，由分步計數原理計

算可得答案.

【詳解】根據題意，如圖：

分3步進行分析：

①要求側棱用同一種顏色，則側棱有5種選色的方法，

②對于上底/2C。，有4種顏色可選，則有A：,

③對于下底每條邊與上底和側棱的顏色不同，有3x3x1x1=9種選法，

則共有5x24x9=1080種選法.

故選：D.

4Bi

易錯題通關

1.（25-26高三上?上海?單元測試）如題圖所示是某展區的一個菊花布局圖，現有5個不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個展區不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

B.300種

C.360種

D.420種

【答案】D

【分析】先安排中心區域4再從3開始沿逆時針方向進行布置四周的區域，分。與2選用同一種和選用

不同種類菊花兩種情況，結合計數原理得到答案.

【詳解】先布置中心區域/共有5種方法，從3開始沿逆時針方向進行布置四周的區域，

則3有4種布置方法，C有3種布置方法.

如果。與3選用同一種菊花，則“有3種布置方法；

如果。與8選用不同種類菊花，則。有2種布置方法，E有2種布置方法.

按照分步乘法與分類加法計數原理，

則全部的布置方法有5x4x3x0x3+2x2）=420（種）.

故選：D.

2.（24-25高二上?山東荷澤?期中）如圖所示，一個地區分為5個行政區域，現要給地圖著色，要求相鄰區

域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數為（）

（—

5

\2V4y/

3

A.36B.48C.72D.144

【答案】C

【分析】分使用了3種顏色和使用了4種顏色求解.

【詳解】按使用顏色的種類分類，

第一類：使用了3種顏色，則1,3同色且2,5同色，則共耳=24種,

第二類：使用了4種顏色，則1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，則共以㈤=48種，

所以不同的著色方案種數為24+48=72種.

故選：C.

3.（2025高三?全國?專題練習）學習涂色能鍛煉手眼協調能力，更能提高審美能力.現有四種不同的顏色,

欲給如圖所示的地圖中南昌市及與它相鄰的4個城市著色，要求相鄰城市不涂同一顏色，則不同的涂色方

法共有_________種.

近市'

南但丁上饒

，市

【答案】72

【分析】分兩種情況討論，運用分類計數原理、分步計算原理進行求解即可.

【詳解】由地圖可知，與南昌市相鄰的4個城市為：九江市、上饒市、撫州市、宜春市，

先給南昌市著色，有4種方法，再給與南昌市相鄰的四個城市涂色，

可分以下兩類：

①九江市與撫州市涂同種顏色，方法數為：3x2x2=12（種）；

②九江市與撫州市涂不同顏色，方法數為：3x2xlxl=6（種），

故不同涂色方法數為：N=4x（12+6）=72.

故答案為：72

4.（24-25高三上?福建福州?期中）如圖，對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能

用同一種顏色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

【答案】48

【分析】利用分步乘法計數原理來求得正確答案.

【詳解】按①一②—③-④的順序進行著色，

按分步計數原理可得不同的著色方法有4x3x2x2=48.

故答案為：48

5.（24-25高三?全國?專題訓練）己知自然界氧的同位素有"Ojojo,氫的同位素有2H（自然界中存

在極微3H,可忽略不計），水由氧元素和氫元素組成，化學式為HQ,則自然界中水分子共有種.

【答案】9

【分析】根據組合數的概念和分類、分步計數原理列式求解.

【詳解】由水分子的化學式可知，相同氫原子構成“也”有C；種，

不同的氫原子構成“凡”有C；種，則“凡”的組成共有C；+C；種，

所以水分子一共有（c；+c；）義3=9種.

故答案為：9.

6.（2025年高考模擬）現有4,B,C,D,E五個興趣小組，在勞動實踐課上制作的手工藝品，擺放到如

圖所示桌面上的四個區域，供學生參觀，若要求相鄰區域不可以放入同一個興趣小組的手工藝品，每個區

域內只能擺放一個興趣小組的手工藝品，共有種擺法.

【分析】分兩類：第一類，2,3區域放同一興趣小組的手工藝品，第二類，2,3區域擺放不同興趣小組的

手工藝品，每一類中運用分步計數原理可求每一類的方法數，進而可求總的方法數.

【詳解】分兩類：第一類，2,3區域放同一興趣小組的手工藝品：

第一步，第1區域，有5種擺法，

第二步，第2,3區域有4種擺法，

第三步，第4區域有4種擺法，共計有5x4x4=80種擺法；

第二類，2,3區域擺放不同興趣小組的手工藝品：

第一步，第1區域，有5種擺法，

第二步，第2區域，有4種擺法，

第三步，第3區域，有3種擺法，第四步，第4區域，有3種擺法，

共計有5x4x3x3=180種擺法.

故共有80+180=260種擺法.

故答案為：260.

7.（2024?河南新鄉?模擬預測）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某

段火炬傳遞活動由包含甲、乙、丙在內的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬

手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬傳遞方案種數為.

【答案】10

【分析】先考慮最后一棒的方案，再考慮中間兩棒的方案即可.

【詳解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2

人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：1+C；?C；=5種；

安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：A；=2種，

由分步計數乘法原理，不同的傳遞方案種數為：5x2=10種.

故答案為：10

8.（24-25高三上?全國?單元測試）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種

顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種.（用數字作答）

【分析】從最左邊的一個格子開始考慮，利用分步乘法計數原理進行計算.

【詳解】首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選

擇，第四個格子也有5種選擇，

根據分步乘法計數原理得，共有6x5x5x5=750=750（種）涂色方法.

故答案為：750

題型二：排列組合

易錯點04：忽視排列數組合數公式的隱含條件致誤

般易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?河北?期末）若A：=C：,貝ij〃=（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】B

【分析】直接利用排列數和組合數的公式計算.

【詳解】由A；=C：得、3,〃eN,

解得"=8

故選：B.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易忽略〃23這一隱含條件而出錯.

【避錯攻略】

1、排列與排列數

（1）定義：從〃個不同元素中取出加個元素排成一列，叫做從"個不同元素中取出加個元素的

一個排列.從〃個不同元素中取出加（加W"）個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數，用符號4”表示.

〃I

（2）排列數的公式：〃一。（〃一2）…（〃一加+1）=7——.

\n-my.

特例：當加=〃時，=〃!=〃（〃一1）（〃一2）…3?2?1；規定：0!=1.

（3）排列數的性質:①4：=n娟;②47=—^47+1=；③然=m娼+4：1.

n-mn-m

2、組合與組合數

（1）定義：從"個不同元素中取出機（加個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取出/個元素的

一個組合.從〃個不同元素中取出加（加V"）個元素的所有組合的個數，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的組合數，用符號C；表示.

（2）組合數公式及其推導

求從"個不同元素中取出加個元素的排列數4",可以按以下兩步來考慮:

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出加個元素的組合數窘；

第二步，求每一個組合中加個元素的全排列數/;；

根據分步計數原理，得到然=c;-4：；

這里〃，m",且mW”,這個公式叫做組合數公式.因為加、,所以組合數公式還可表示

yn-my.

為：c：=加特例：C：=C；；=1.

易錯提醒J無論是排列數4"還是組合數C；,在計算含參題目中要注意〃>m,n^N,m^N隱含條件.

叁舉一反三

1.(23-24高二下?河南?期中)若C：3=C；”(xeN*),則Ag=()

A.5B.20C.60D.120

【答案】D

【分析】根據組合數的性質求出x,再根據排列數公式計算可得.

【詳解】因為C；3=C；”(xeN*),所以x=2x+i或x+2x+l=13,

解得x=-l(舍去)或x=4,

所以A；=A；=5x4x3x2=120.

故選：D

2.(23-24高三下?寧夏吳忠?期中)不等式A；<6A>的解集是()

A.{8}B.{8,9,10,11}C.卜17Vx<12}D.{x[7<x<8)

【答案】A

【分析】利用排列數公式化簡并求解不等式.

8181

【詳解】不等式A；<6A>中，24x48,xeN*,化為7r=<6-777rr，

0—X)!(1U—Xj!

整理得/_19X+84<0,解得7Vx<12,因止匕x=8,

所以不等式A；<6A>的解集是{8}.

故選：A

3.（2024?上海寶山?一模）已知關于正整數》的方程C；1=C：＞5,則該方程的解為.

【答案】1或3

【分析】利用組合數的性質得到方程，解方程，結合工的取值范圍即可求解.

【詳解】根據組合數的性質，由C；「二C：尸

x—1=5x—5(x-l)+(5x-5)=12

0<x-l<120<x-l<12

可知：V或4

0<5x-5<120<5x-5<12

XGZXGZ

x=1x=3

l<x<13l<x<13

即《/7或<17,所以x=1和x=3均滿足題意,

l<x<—l<x<—

55

xeZXGZ

所以該方程的解為：1或3.

故答案為：1或3

■易錯題通關

I.（24-25高三上?全國?專題訓練）若C：-C；=0,則黑的值為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】根據題意，利用組合數的公式，列出方程求得〃=15,結合組合數的計算公式，即可求解.

〃I〃I

【詳解】由C：=