兩直線的位置關系專題練

2025年高考數學一輪復習備考

一、單選題

1.點Q（3,%）,Q（尤2，%）為直線履->+2=0上不同的兩點，則直線：中-%>=1與直線

/2：尤2%-%〉=1的位置關系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不確定

2.如下圖，一次函數y=x+4的圖象與X軸，》軸分別交于點A,3,點C（-2,0）是x軸上一點，點E,

尸分別為直線>=尤+4和y軸上的兩個動點，當周長最小時，點E,尸的坐標分別為（）

B.￡(-2,2),尸(0,2)

D.￡(-2,2),F(0,1

3.已知集合4={(蒼刈尤+ay+2a=0}2={（x,y）辰+ay-1=0},則下列結論正確的是（）

A.存在awR,使得A=0

j__3

當時，

B.a=_lAryB=2，-2

C.當Ap|3=0時，a=l

D.對任意的a^R,都有

4.已知〃，b,c,d為四個實數，且a—b=—2,c-d=0,a+b=c+d,IjllJ+(Z?-4)2+yjc2+(d-5)2

的最小值為（）

A.歷一五B.C.D.5

22

5.一條光線從點P（-l,5）射出，經直線尤-3：）；+1=（）反射后經過點（2,3）,則反射光線所在直線的方程

為（）

A.2x—y—1=0B.x—2=0

C.3x-y-3=0D.4x-y-5=0

6.已知角夕，角夕的頂點均為坐標原點，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊分別過4（1,3）,3（-3,1）,

則tan"^=（）

2

A.-2或—B.2或—C.—D.—2

222

7.已知x,ywR+,滿足2x+y=2,則x+Jx'+y：的最小值為（）

A.-B.-C.1D.

553

8.已知點”（久1，月）在直線4：y=x+2,點N（＞2，y2）在直線4：y=x上，且MN口,

舊+（%一盯+-50+y；的最小值為（）

A.述B.C.歷一點D.5

22

二、多選題

9.已加點尸是圓O:f+y2=9上的一點.直線/]:xcose+ysin（9=3與直線4:村山。一＞8$。=2交于

點加.則下列說法正確的是（）

A./[1Z2B.直線乙與圓。相切

C.直線4被圓。截得的弦長為右D.的最小值為JB-3

10.過平面內一點P作曲線y=|lnx|兩條互相垂直的切線《、“，切點為4、鳥（6、2不重合），設

直線4、4分別與y軸交于點4B,則（）

A.《、巴兩點的縱坐標之積為定值B.直線耳鳥的斜率為定值

C.線段的長度為定值D.AAB尸面積的取值范圍為（。,1）

11.己知直線/的方程為（/-1卜-2毆+2a2+2=0,aeR,O為原點，則（）

A.若|OP|V2,則點P一定不在直線/上

B.若點尸在直線/上，則|。叫22

C.直線/上存在定點P

D.存在無數個點P總不在直線/上

12.已知直線，：x-2y+8=0和三點A(2,0),8(-2,@,C(2,5),過點C的直線《與x軸、y軸的正半軸

交于N兩點.下列結論正確的是()

A.尸在直線/上，則|到+|冏的最小值為40

B,直線/上一點尸(12,10)使|陷-陷|最大

C.當|加||麗|最小時4的方程是x+y-7=。

D.當|而||麗|最小時人的方程是5x+y-15=0

三、填空題

13.已知直線/與直線4：2x-y+2=0和3x+y-4=。的交點分別為A3,若點尸(2,0)是線段A3的

中點，則直線A3的方程為.

14.點尸(0,1)在直線ox+y-6=0上的射影是點。(1,0),則直線G+y+6=0關于直線尤+y-1=0對

稱的直線方程為.

15.已知點PO+LO/eR,點。是坐標原點,點0是圓(尤-3y+(y+l)2=4上的動點，則|尸。|一|尸。|

的最大值為.

16.已知直線/:(機+l)x-y-3m-2=0,則點尸到直線/的距離的最大值為.

四、解答題

17.已知VABC中，3(1,2),2C邊上的高線AD方程為x-2y+l=0,角A平分線方程為y=0,求AC,

2c邊所在直線方程.

18.已知直線/：x-y-l=0.

(1)若直線機與/平行，且相，/之間的距離為及，求相的方程；

(2)尸為/上一點,點“(L-2),N(2,6),求歸^-歸物取得最大值時點尸的坐標.

19.過點4(%,%)作斜率分別為a,網的直線4，L若空2=〃(〃4)，則稱直線4，4是KA(〃)定

積直線或勺”)(〃)定積直線.

⑴已知直線。：y=kx(k^O),直線"y=-[x,試問是否存在點A,使得直線。，6是七(〃)定

積直線？請說明理由.

(2)在AOPA/中，。為坐標原點，點尸與點Af均在第一象限，且點/(飛,為)在二次函數y=f-3的

圖象上.若直線0P與直線OM是々0,0)(1)定積直線，直線OP與直線PM是KP(-2)定積直線,直線OM

與直線PM是K&九［-1］定積直線，求點P的坐標.

(3)己知直線機與〃是K(_24)(T)定積直線，設點0(0,0)到直線機，〃的距離分別為4,d2,求《&的

取值范圍.

參考答案:

1.A

由點P(4/),Q(%2，%)為直線"-y+2=o上不同的兩點，

則直線4=1與直線I：%2兀-丁2y=1的斜率存在時一定為土，血，

%y2

可以把這兩個斜率看成直線上兩點到原點的斜率的倒數，

由已知可得人”#心0,貝U&H五,即兩直線不可能平行與重合，則只能相交；

X%

若直線k:X1X-=I與直線4：=1的斜率有一個不存在，則另一個斜率必存在，也能判定兩

直線相交；

2.C

作C(-2,0)關于y軸的對稱點G(2,0),

作C(-2,0)關于y=尤+4的對稱點D(a,b),

連接DG交，軸于F,交AB于E,所以歹G=FC,EC=ED,

此時△CEF周長最小，EC+FC+EF=ED^卜FG+EF=DG,

上=-1r

>2解得:

由以一2,0),直線A3方程為y=x+4,所以，

ba-2A\b

22

所以￡?(-4⑵，可得直線。G方程為三。=工-2即丫=1尤+2

2-0-4—233

[5

ry=X+4x=——(

!)■

由12,解得所以￡

[y-3——x+—3|^=32v2

令x=0可y=|,所以歹(()])

歹八

/k4

JJ、

，4C。2x

3.D

對于A,???1+。＞+2。=0表示過定點(0,-2),且斜率不為0的直線,

集合A表示直線x+ay+2a=0上所有的點，.〔Aw。，A錯誤;

對于B,當Q=_l時，A={(x,y)[%—y—2=o},5={(%,))卜x_y_l=o},

]_

一"B錯誤；

2

對于c,當B=0時，a=o,滿足人06=0；

當5w0,即QWO時，直線％+ay+2〃=0與以+"-1=0平行，

ci—ci

解得：a=l；

—Iw2/

綜上所述：當=0時，。=0或a=l,C錯誤；

對于D,若A=3,貝iJawO且直線化+分+2。=。與ox+"-1=0重合,

\a=a2

2，方程組無解，「.Aw_B,D正確.

—1=2/

4.D

、n_,門?k—2.左+2jk

設a+Z?T=c+d=k,貝=----,b=----,c=d=一,

222

而J-4+&-5)2+25可看做了軸上動點尸伏，0)與兩定點”(4,-2),N(5,5)的距離和，如圖,

由圖可知當尸運動到4時，|PN|+|PM|最小，最小值為|%7|=5/(5-4)2+(5+2)2=50,

所以y/a2+(b-4)2+/2+(7)2的最小值為曰/5亞=5.

5.B

設點P(T5)關于直線尤-3y+1=0的對稱點為q(a,b),

b-51i

-----x-=-l

a+13[b=—3a+2a=2

則化簡得,解得

〃一]ab+5[a-3b-14=0b=-4

I22

故反射光線過點(2,Y),(2,3),

則反射光線所在直線的方程為x-2=0.

6.D

記。為坐標原點，因為A。,3),3(-3,1),所以|。4|=|。同=9,

所以點4(1,3),3(-3,1),均在以原點。為圓心加為半徑的圓上.

連接A3,取的中點連接QW,則OMLAB,

不妨設6/?0,2兀)，貝+=

如圖，過點。作點。關于線段2x+y=2的對稱點C,則歸。=上。.

>x(-2)=-l

設C(Xo，%)，則有""

2X%+&=2

I22

設尸(x,y),則|尸0卜］/+伊

又x,yeR+,所以點P到V軸的距離為x,

所以，龍+商+丁可視為線段2x+y=2上的點P（x,y）到y軸的距離和至UC（|,￡|的距離之和.

過戶作PDLx軸，過點C作CHLx軸，顯然有|/科+歸。習。用，當且僅當C,P,H三點共線時，和

有最小值.

則|。引即為最小值，CH與線段AB的交點￡,即為最小值時P的位置.

OO

因為|。叫=不所以X+jf+y2的最小值為

8.D

由已知Jx；+（%-4『表示點MO1,月）到點A（0,4）的距離，

-5）2+宙表示點小。2，%）到點3（5,0）的距離,

所以擊；+（必_盯+J（X「5）2+￡=|AM|+|A?|,

過點A作垂足為C,

因為直線4的方程為尤-y+2=0,A（0,4）,

..|0-4+2|

所以1AC|二n=A/2,

又直線/1：y=x+2與直線，2：y=x平行，

,.|2-0|

所以阿N|=是=也,所以M?V〃AC,pVCV|=|Aq,

所以四邊形AMNC為平行四邊形，所以|AM|=|OV|,

所以Jx；+(%-4)2+J(%_5『+￡=|CN|+|NB|,

又|CN|+|NB閆CB|,當且僅當CN,2三點共線時等號成立,

所以當點N為線段CB與直線4的交點時，

J%2+（y一4）2+［（々-5）2+必取最小值,最小值為|。目，

因為過點A（0,4）與直線（垂直的直線的方程為y=T+4,

y=-x+4x=l

聯立可得

y=x+2y=3

所以點C的坐標為（1,3）,所以仁同=1（5-1）2+（0-3）2,

所以Jx；+（y「4）2+“％_5）2+貨的最小值為5,

9.ABD

由題意可知：圓O:/+y2=9的圓心。（0,0）,半徑為3,

因為85。6皿6+5111夕（一85。）=0,所以/i，］，故A正確；

3

圓心。到4的距離為d=/2,.2,=3,所以4與圓。相切，故B正確；

，cos8+sm6

2.______

圓心。到直線4的距離為-=Jsin2e+（_cose）2=2,所以弦長為2律萬t=25，故C錯誤;

xcos6+ysin。=3/|x=3cos^+2sin^

,得《gpM(3cos6+2sina3sin6-2cos6),

xsin0-ycos0-21y=3sin6-2cos0

所以|OM|=J（3cos6+2sin+（3sin。-2cos二屈，所以I尸"I的最小值為如-3,故D正確.

10.BCD

—,x>1

Inx,x>1,X

由函數y=M%|=-lnx,0<.<r貝廿二

—,0<x<1

,X

設片（再,％），￡（%2,%）,

當。＜玉＜1,ICZ時，由題意可得，=-1,化簡可得再入2=1'符合題意；

石x2

當網時，由題意可得，=化簡可得占％=-1,顯然不成立;

當小/￡（1，+°°）時，由題意可得，H=l，化簡可得玉%2=1，顯然不成立；

1\2

對于A,“必二一Inxjn%=-lnxjn-=（ln%j,故A錯誤；

%

對于B,直線的斜率,二且二&二Tn占一為馬?二1嗎三二0,故B正確；

%1-X2玉一x2玉-x2

對于C,易知直線4：＞=--x+^+1,直線4:y=-x+y2-l,

%x2

令尤=0,貝?。﹜=%+l,即A（O,%+1）,同理可得3（0,%-1）,

|AB|=|^+l-y2+1|=|2-ln^-lnx2|=|2-ln^x2|=2,故C正確;

1q11

y=---%+%+1y=-----x-mx1+11

.%■,玉2匹々2xl

D,X

對于聯立■整理可得?解得P一一王2+1，

11’11'xl+x2

y=-X+y2-ly=——x+lnx-l

92-

2尤/、2(1-

令〃%)=g，其中X￡(O,1),則/(%)=/2、2〉0,

X2+1(%+1)

所以，函數/(%)在(。,1)上單調遞增，則當了￡(0,1)時，/(x)e(O,l),

所以，陰.陣|二含^(0/)，故D正確.

11.BD

12a2十斗

。到直線/的距離為//°\2:2,所以/與圓/+,2=4相切，

J(a2-1)+4/

因此選項A錯誤，B正確，D正確；

由(礦—1)尤—2砂+2/+2=0可得，a-(x+2)-2ay—%+2=0,若直線存在定點,

x+2=0

則卜2y=。,這樣的尤丁不存在，因此直線/上不存在定點P,選項C錯誤.

一%+2=0

12.BC

對于A：設點3關于直線/的對稱點為9(九〃),

〃+411

----X—=-1

:+22,解得93836)

則y,TJ

Z^_2X"+8=0

22

/.|PA|+|PB|=|PA|+\PBr\>\ABr\==12,

當A尸三點共線時取最小值.A錯誤;

對于B：上用V|A5|,當A瓦尸三點共線時取最大值,

4

又L：y=1(x-2),即x-y-2=0,

x—y—2=0

聯立解得％=12,y=10,

x—2y+8=0

即直線/上一點尸(12,10)使|附-|叫最大，B正確;

對于C：設4:y=k(%—2)+5,左V。,

當尤=0時，y=-2k+5,當y=0時，x=—+2,

k

即《-*+2，°1、(0,-2%+5),?而卜而?=](—(+2—21+52.02+(—2k+5

5)2

=10,2+1+廿>io^2+21./=20,

當且僅當g=即左=-1時等號成立，

此時4：y=_(九一2)+5,即x+y—7=0,C正確；

對于D：|而||而|=(-|+2)(-2/c+5)=20+^|+4(-/c)>20+2x4(—k)40,

755

當且僅當：|=4(-左)，即左=時等號成立，

此時/i：y=-g(x-2)+5,BP5x+2y-20=0,D錯誤.

13.x+4y-2=0

因為直線/與直線/i：2x-y+2=0和3x+y-4=0的交點分別為A,5,

設4項,2%+2),B(X2,4-X2),

玉+兀2=4

因為點P(2,0)是線段AB的中點，由中點公式可得

2玉+2+4—%2=0

o1j4—X—2x—2I

解得寸一y一，所以直線一的斜率為.=一"

所以直線她的方程為y--*-2),即――0.

故答案為：x+4y-2=0.

14.x+y-3=0

axl+0-b=0

a=\

由已知可得<0-1,,解得

-ax-----=-1b=l

1-0

艮fl辦+y+6=0為尤+y+l=0.

因為直線尤+y+i=o與直線x+y_i=o平行,

可知所求直線與直線》+>+1=0平行，設為x+y+c=0,

則?應?」④I解得c=-3或c=l(舍去)，

所以所求直線方程為％+y-3=0.

故答案為：x+y-3=0.

15.4

由圓(尤―3)-+(y+1)2=4,可得圓心C(3,—1),半徑為r=2,

又由點尸"+iJ),可得點尸在直線x-y-i=。上的動點，

因為點。是坐標原點，點。是圓(x-3y+(y+l)2=4上的動點,

則|叫-|叫V(|PC|+r)-\PO\=\PC\-\PO\+2,

如圖所示，設點。關于直線尤-y-1=0的對稱點為N(x2J,

乂xl=-l

可得益，解得%=1,%=-1,即

工」-1=0

122

設直線CN與直線%-尸1=0的交點為

則直線CN的方程為y=-l,聯立方程組f=-1,八，解得x=0,y=-1,

[x—y—1=0

即M(0,T),則|MC|=3,

當點P與M重合時,此時|即=即，則|尸。|一|尸?=忸4-1/訓=|困—|MN|,

此時盧。-|尸0|取得最大值，最大值為3-1=2,

所以戶。一|尸。|+2=4,即|尸。|一|尸。|的最大值為4.

故答案為：4.

16.2百

直線/：(m+l)%-y一3加一2=0,gpx-y-2+m(x-3)=0,

由[二x—y=—02=0,解得＞3,日，所以直線/恒過定點gl),

最大值為IAP|="(3+1)2+(1+1)2=275，

所以點尸到直線/的距離的最大值為26,

故答案為：2下

17.AC：y=-x-l,BC：2x+y-4=0

因為BC邊上的高線仞所在直線的方程為x-2y+l=0,

則，&c=-2.邊所在直線方程為y-2=-2(x-l).

即2x+y-4=0.

?.?NBAC的平分線所在直線方程為y=0,則AC與A3關于x軸對稱，，設4。,0).

又點A在直線AD上，.?"-0+1=0,:.a=-l..-.A(-l,0),

點3的坐標為(L2).

，直線方程為：y=x+].即尤-y+l=0,

又AC與A3關于x軸對稱，

所以直線AC的方程為y=-x-l,

所以直線AC的方程為：產-x-l,直線BC的方程為：2x+y-4=0.

(2)(-3,-4).

(1)由直線加與/平行，設直線機的方程為％-y+C=O(Cw-1),

IC-(-l)I廠

由m,/之間的距離為也，得了“I廠c，解得C=—3或。=1,

所以直線機的方程為—3=0或％—y+l=O.

(2)設點M(L-2)關于直線/：%-丁-1=。的對稱點為"'(〃/),

〃+1b—21?

-------------1=0