專題05極值點偏移問題與拐點偏移問題

【考點預測】

1.極值點偏移的相關概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性。若函數(shù)/(X)在X=X。處取得極值，且函數(shù)y=與直線y=6交于4(國,份,兩點，則A3

的中點為河(^^/)，而往往五產(chǎn)。如下圖所示。

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點為,方程/(X)的解分別為

X］、X,,且。＜玉＜龍2＜6，⑴若則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,X2)上極值點與偏移；

(2)若石＞x0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(再,兀2)上極值點與左偏，簡稱極值點。左偏；(3)若

土產(chǎn)＜x0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(f,％2)上極值點右偏，簡稱極值點與右偏。

【方法技巧與總結】

1.對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點

為％),即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點X0.

(2)構造函數(shù)，即根據(jù)極值點構造對稱函數(shù)％x)=/(x)-/(2/-x),若證，則令

砥x)=/(x)-/(生).

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論歹(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)尸(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出/(x)與/(2%0-%)的大小關系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/(%)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0-x)的大小關系轉(zhuǎn)化為x與2/-x之間的關

系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明了'五沖的符號問題，還需進一步討論文乂與尤0的大小，得出生土上所在

的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負.

構造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿

于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在

聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性

進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔

明快的思路，有著非凡的功效

2.應用對數(shù)平均不等式斥＜J*]：＜上產(chǎn)證明極值點偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到I\一：；

In玉-Inx2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題.

3.比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題

中的不等式即可.

【題型歸納目錄】

題型一：極值點偏移:加法型

題型二：極值點偏移:減法型

題型三：極值點偏移:乘積型

題型四：極值點偏移:商型

題型五：極值點偏移:平方型

題型六：拐點偏移問題

【典例例題】

題型一：極值點偏移:加法型

例1.(2022?浙江期中)已知函數(shù)/(x)=x-7nx-a有兩個不同的零點玉，x2.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：%]+x2＞a+1.

例2.(2022?汕頭一模)已知函數(shù)/(x)=x-7nx-a有兩個相異零點%，%(占＜馬),

(1)求a的取值范圍；

(2)求證：西+馬<純產(chǎn).

例3.(海淀區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(九)=(九一2)/+。(無一I)?,a^R.

(I)求曲線,=在點P(l,f(1))處的切線方程；

(II)若〃..0,求/(%)的零點個數(shù);

(III)若/(%)有兩個零點玉，x2,證明：%+工2<2.

例4.(2022?江門一模)已知函數(shù)/(彳)=勿|*-：1|-@,aeR是常數(shù).

(I)求曲線>=/(尤)在點(2,f(2))處的切線方程，并證明對任意aeE,切線經(jīng)過定點;

(II)證明：。<0時，設%、“是/(無)的兩個零點，且不+馬>2.

題型二：極值點偏移:減法型

例5.(2022?七星區(qū)校級月考)已知函數(shù)/@)=尤/依一|/+1.

(1)若/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

⑵若/(x)在x=l處的切線斜率是g,證明了(無)有兩個極值點項了2，且3歷2<|。%-/時|<3.

例6.(2022?常熟市月考)設函數(shù)/(x)=/nx,g(x)=?(x-l),其中awH.

⑴若a=l,證明：當了>1時，f(x)<g(x)；

(2)設&尤)=/(x)-g(無)優(yōu)，且0<°」，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

e

①證明月(九)恰有兩個零點；

②設/如為/(%)的極值點，玉為/(%)的零點，且玉>%,證明：3%-玉>2.

例7.(2022?黃州區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(%)=av加x-(a+l)加r,/(%)的導數(shù)為尸(%).

(1)當時，討論了'(%)的單調(diào)性；

31

(2)設a>0,方程/(%)=——%有兩個不同的零點菁，x2(xi<x2),求證：xY+e>x2+-.

例8.(2022?道里區(qū)校級二模)已知函數(shù)/(%)=如阮V-O+1)%:，/⑴為函數(shù)/(%)的導數(shù).

(1)討論函數(shù)廣(%)的單調(diào)性；

(2)若當相>0時，函數(shù)/(%)與g(x)=——%的圖象有兩個交點A(玉，％),B(X,%)(%<冗2)，求證:

e一一2

1

x2H—<%+e.

題型三：極值點偏移:乘積型

例9.(2021春?汕頭校級月考)已知，函數(shù)/(x)=其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點，

⑺求a的取值范圍；

2

(而)設/(x)的兩個零點分別為X,x2,證明：xrx2>e.

h

例10.(2022?攀枝花模擬)已知函數(shù)/0)=勿無+2-以0?尺為€出有最小值加，且知..0.

X

(I)求e"T-6+1的最大值；

(II)當#?-6+1取得最大值時，設/(b)=巴匚-碩weR),尸(無)有兩個零點為百,%(入〈々)，證

b

23

明：x1-x2>e.

例11.(2022?張家口二模)己知函數(shù)人》="-4竺-o(e是自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點.

X

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(兀)的兩個零點分別為玉，X,證明：九述2〉二?

21

一e2

例12.(2022?武進區(qū)校級月考)已知函數(shù)/■(x)=/nx+：x2-融.

(1)若函數(shù)/(尤)在x=l處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)若存在1］,使不等式/(1),,女-3-1)歷x對于,e］恒成立，求a的取值范圍；

(3)若方程有兩個不等的實數(shù)根%、％,試證明x逮2＞e?.

題型四：極值點偏移:商型

X

例13.已知函數(shù)/(尤)=彳-6。(4＞0)有兩個相異零點X、X,,且無］＜起，求證：—.

，x2a

例14.(2022?新疆模擬)已知函數(shù)=+

(1)當a=|時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知。..3石，石，%(%＞為)為函數(shù)/(無)的兩個極值點，求尸2?)_/〃■的最大值.

3玉+%2%2

例15.(2021春?湖北期末)已知函數(shù)/(x)=ae~x+Inx-1(?eR).

(1)當4,e時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(尤)恰有兩個極值點為，為(為＜馬)，且占+W，,(2e+D,勿2e,求主的最大值.

2e-l玉

例16.(2022?寧德三模)已知函數(shù)/(%)="一"+Inx-l(aGR).

(1)當④e時，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性：

X

(2)若函數(shù)/(%)恰有兩個極值點演，電(x1Vx2)，且％+%2，，2妨3,求二的最大值.

題型五：極值點偏移:平方型

例17.(2022?廣州一模)已知函數(shù)/0)=%如:一一十%(。￡〃).

(1)證明：曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線/恒過定點;

2

(2)若/(處有兩個零點玉，x2,且％2>2石，證明：Jjq+%2>--

e

例18.(2022?浙江開學)已知QGR,f{x)=x^-ax(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若〃>0,函數(shù)y=/(x)—Q有兩個零點九，%,求證：片+x；>2e.

例19.(2021秋?泉州月考)已知函數(shù)/(尤)=處乂.

ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

22

(2)若(%)他=(勿2)*'(0是自然對數(shù)的底數(shù))，且%>0,x2>0,占#%，證明：-xj+x2>2.

例20.(2022?開封三模)已知函數(shù)/Xx)=-

mx

(1)討論/'(尤)的單調(diào)性；

(2)若帆=2,對于任意%>%>0，證明：K"(為)-考?/(>2))?；+￥)>尤也一名一

題型六：拐點偏移問題

例21.已知函數(shù)/(x)=2/溫+/+x.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

(2)若正實數(shù)%1，%滿足，(%)+/(兀2)=4,求證：xi+x2..2.

111

例22.已知函數(shù)/(尤)=—/-(1+^)%+一出(4€尺).

2aaa

(1)當Q>0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當〃=g時，設g(x)=/(%)+6x,若正實數(shù)玉，x2,滿足g(X])+g(%2)=4，求證：x1+x2..2.

例23.已知函數(shù)/(1)=/依+2工一以2,aeR.

(I)若/(%)在%=1處取得極值，求。的值；

(II)設g(x)=/(%)+3-4)%,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(III)當4=一2時，若存在正實數(shù)%,超滿足/(%)+/(工2)+3%1%2=%1+%2，求證：%+%2>g.

【過關測試】

1.(2022.天津河東?二模)已知函數(shù)*x)='-21nx(aeR且4力0).

⑴4=2,求函數(shù)“X）在（2,42））處的切線方程.

⑵討論函數(shù)“力的單調(diào)性；

⑶若函數(shù)〃x）有兩個零點再、%（石<%），且a=e2,證明：芯+%>2e.

3

2.（2022?河北?滄縣中學高二階段練習）已知函數(shù)〃x）=x+-+21nx-a（aeR）有兩個不同的零點和馬.

（1）求實數(shù)。的取值范圍；

⑵求證：x{x2>1.

3.（2022?江蘇泰州?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=e、—6?+法-1,其中a,b為常數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)，

e=2.71828….

（1）當a=。時，若函數(shù)/（力20,求實數(shù)b的取值范圍；

⑵當6=2a時，若函數(shù)/（X）有兩個極值點與，巧，現(xiàn)有如下三個命題：

（DVXj+bx2>28；②2&（玉+*2）>3玉工2；③小芯+J/>2;

請從①②③中任選一個進行證明.

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

4.（2022.湖北武漢.模擬預測）已知函數(shù)〃x）=x-血

⑴求證：當尤>1時，lnx>—―；

X+1

（2）當方程〃x）=7%有兩個不等實數(shù)根占,%時，求證：x,+x2>m+l

5.（2022?浙江紹興.模擬預測）已知函數(shù)/（力=1—2》一（4+1）,g（x）=f+（a-l）x-（a+2）（其中e=2.71828

是自然對數(shù)的底數(shù)）

⑴試討論函數(shù)〃x）的零點個數(shù)；

⑵當“>1時，設函數(shù)/i（x）=/（x）-g（x）的兩個極值點為胃、巧且占<三,求證：eX2-eX1<4a+2.

6.（2022?安徽淮南?二模（理））已知函數(shù)/（x）=]l-鼻上，

-k(x-l),x>-l,kGR.

⑴若％=0,證明:%￡（-1,0）時，/（X）<-1；

⑵若函數(shù)/（刈恰有三個零點占，%，工3，證明：玉+尤2+工3>1.

7.(2022.湖南?岳陽一中一模)已知函數(shù)/(x)=aln(x+2)-x(aeA).

⑴討論了(元)的單調(diào)性和最值；

21m2

⑵若關于x的方程/=±-乙111」1(加>0)有兩個不等的實數(shù)根小三，求證：e'>+e-^>-.

mmx+2m

8.(2022?山東?青島二中高三期末)已知函數(shù)/(x)=x(l—alnx),a&R.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若時，都有/卜)<1,求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)七，巧滿足=①，證明：X+工2<%了2.

1十111X[X]

9.(2021?廣東?新會陳經(jīng)綸中學高三階段練習)已知函數(shù)=姑同.

⑴討論的單調(diào)性；

(2)設a,b為兩個不相等的正數(shù)，且Mna-alnb=a-b,證明：2<，+L

ab

10.