數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本共150分，考試時(shí)量120分鐘.

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)4=卜產(chǎn)_4%—5=0卜八沖2=",則從用=（）

A.{-1,1,5}B.{-1,1,-5}C.{-1}D.{1}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，求出集合A,3,再利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由V—4x—5=0,得到x=5或x=—1,所以A={-1,5},

又由f=i，得到*=±1,所以B={—1,1},得到=1,1,5},

故選：A.

2

2.復(fù)數(shù)——的共朝復(fù)數(shù)是（）

i-1

A.i-1B.i+lC.-1-iD.1-i

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及共輾復(fù)數(shù)的概念即可得解.

22（-1-i）2

【詳解】因?yàn)橐?-——-=-l-i,所以復(fù)數(shù)一的共軌復(fù)數(shù)是i—1.

1-12i-l

故選：A.

3.已知1=3,網(wǎng)=4，且日與B不共線，則“向量a+左￡）與。一左。垂直“是"左=z”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

3

【分析】由已知結(jié)合向量垂直列出方程求得％=±—,即可判斷出答案.

4

【詳解】若向量〃+焉與“一心垂直，

則(〃+左石),(〃一左石)=忖-ka-b+ka-b-k2^=9—168=0,解得％=±土，

[上一_3

所以“向量4+如與a—肌垂直''是"k=—”必要不充分條件，

4

故選：B.

4.函數(shù)/(x)=f+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是()

A.3x—y—2=。B.2%—y—2=0

C.3x+y—2=0D.2%+y—2=0

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)/(X)求導(dǎo)，得到r(x)=2x+L從而有/")=3,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】由/(x)=*+Inx,得到r(x)=2x+L所以廣⑴=2+1=3,

所以/(x)=三+1HY在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是y-1=3(尤一1),即3x-y-2=0,

故選：A.

5.己知函數(shù)〃x)=cos21ox+《｝o〉0)的最小正周期為兀，則/(%)的對(duì)稱軸可以是()

兀c兀八兀c兀

A.x=—B.X——C.X——D.x——

241263

【答案】D

【解析】

7T

【分析】由/(X)的最小正周期為兀，求得。=1,再令2x+@=E，左eZ,即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=cos[2s+]的最小正周期為兀，

27r

所以G=—=1,則/(%)=cosI2x+-I,

2兀

令2x+?=kit,keZ,貝U%二■一工，左￡Z,

326

TT

對(duì)比選項(xiàng)可知，只有當(dāng)左=1時(shí)，%=1,符合題意，故D正確；

故選：D.

6.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)中，甲、乙、丙、丁、戊5人參與接待、引導(dǎo)和協(xié)助三類志愿者服務(wù)工作，每類

工作必須有志愿者參加，每個(gè)志愿者只能參加一類工作，若甲只能參加接待工作，那么不同的志愿者分配

方案的種數(shù)是()

A.38B.42C.50D.56

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)參加接待工作的人數(shù)分類討論，先分組再分配，結(jié)合排列組合即可求解.

【詳解】(1)如果參加接待工作只有一人，則只能為甲，

再把其余4人分組有兩類情況：1:3和2:2.

把4人按1:3分組，有C：種分組方法，按2:2分組，有十種分組方法，

C2c2

因此不同分組方法數(shù)為c；,

A；

再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A；種方法，

所以不同分配方法種數(shù)是C：+^A；=(4+3)x2=14.

(2)如果參加接待工作有2人，則除了甲之外，還需要再安排一人有C；種情況，

再把其余3人分組成1:2,有C；種分組方法，

再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A；種方法，

所以不同分配方法種數(shù)是C；C；A；=4x3x2=24.

(3)如果參加接待工作有3人，則除了甲之外，還需要再安排兩人有C：種情況，

再把其余2人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A；種方法，

所以不同分配方法種數(shù)是C；A；=6x2=12.

綜上，不同的志愿者分配方案的種數(shù)是14+24+12=50.

故選：C.

一冊(cè)_1〃+2-4+12

7.已知數(shù)列■｝滿足且〃］=1,%024—,則

a120242025

n+2

aa)

a1a2+12a3------nn+l=(

nnIn2n

A.-------B.---C.----D.

2n+ln+22〃+ln+2

【答案】D

【解析】

【分析】由—q'=4+2—4+1eN*)得出J1-為等差數(shù)歹!J,求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出

a“4+2''[an]

7“=?—,再根據(jù)裂項(xiàng)相消即可求解.

n+1

,.一a,。—6/,i,i,i,i,i

■、'/?bT\、I.I、,a〃+lcin〃+2zi+1/、cin+11ici〃+1/_ci〃+lIci〃+l。

［詳解］因?yàn)?-------=----------<=>------1=1----。----+----=2,

aaa

n4+2a“n+2%?+2

11211_11

所以一+----=-------------

a.4+2an+lan+24+14+1an

所以，為等差數(shù)列‘公差仁￡一20251

'-I首項(xiàng)

I"J2024-120232

11/八+12

所以一=一+(zi-l)6/=l+(n-l)—,所以q=-----,

q22zi+1

444

所以0+詠+…+%"L(1+1)X(2+1)+(2+1)X(3+1)+(〃+l)x(〃+2)

=4(」+」+一」-一-q=Q，］=2

(2334n+1n+2)(2n+2)n+2

故選：D.

]x

8.已知函數(shù)/(x)=lna+-----+6+：(a,6eR)為奇函數(shù)，且/(x)在區(qū)間(口,加)上有最小值，則實(shí)

71—x4

數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.B.(V2,2)C.D.(2,3)

【答案】A

【解析】

1v-

【分析】先根據(jù)題設(shè)條件及奇函數(shù)的性質(zhì)，得到a=—5,b=In2,從而有/(x)=ln|l+x|-ln|l-x|+-,

再結(jié)合函數(shù)的定義域得到m＞1或0＜蘇＜1，分加＞1或0(/＜1兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求

解.

1Y

【詳解】因?yàn)?(x)=lna+=+6+五(a,6eR)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

1X4

易知xwl,所以％W—1,即有a+i:八=0,得到。=_工,

1-(-1)2

所以/⑴=也—%+2x+1

+b+—=In+人+楙，函數(shù)定義域?yàn)閧九|尤。-1且XH1},

42(1—%)

得到/(0)=lng+Z?=0,所以b=ln2,

x+1x+1X

故/(x)=ln+In2+—=In+—

2(1-x)41-x4

—x+1X1x+1X1

有/(-x)=ln—=-In------=-/(X),即。=——,b=ln2滿足題意,

1+x41-x42

x+1

所以/(x)=ln+；=1叩+止+j定義域?yàn)閧%IXW-1且XH1},

1-x

又加2>o，所以m〉1或0<機(jī)2<1，

當(dāng)0</<1,即-1(機(jī)<0或。(機(jī)<1,時(shí)，/(x)=]n(x+l)-ln(l-x)+；,

此時(shí)/(x)=ln(x+l)—ln(l—x)+；在(私加2)上單調(diào)遞增，不合題意，

當(dāng)機(jī)>1,xe(m,m2)0t,/(x)=ln(x+l)-ln(x-l)+^,

f，(x).11爐-9

/()x+1x-144(X2-1)'

x2-9

由r(x)=”/23=。，得到X=3或—3(舍去)，

4x-1

又/(%)在區(qū)間(m,7叫上有最小值，所以1＜相＜3＜"，解得若＜相＜3,

此時(shí)/'（%）在區(qū)間,3）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（3,/）上單調(diào)遞增，滿足題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的定義關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得到口=-工，再利用

2

/（0）=0,得到b=ln2,即可求解.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知A,3,C為隨機(jī)事件，P（A）=0.5,P（B）=0.4,則下列說法正確的有（）

A.若A,8相互獨(dú)立，則P（AB）=0.2

B.若A,B相互獨(dú)立，則尸（4。5）=0.9

C.若A&C兩兩獨(dú)立，則P（ABC）=P（A）P（8）P（C）

D.若B,C互斥,則尸（3uCM）=P（3同+尸（。同

【答案】AD

【解析】

【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式即可判斷A；由事件的和運(yùn)算即可判斷B；由三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，不能判斷

三個(gè)事件是否獨(dú)立，即可判斷C；由互斥事件及條件概率公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若A,3相互獨(dú)立，則。（AB）=P（A）P（5）=0.5x0.4=0.2,故A正確；

對(duì)于B,若A,3相互獨(dú)立，則尸（Au6）=P（A）+P（5）—尸（A）P（5）=0.5+0.4—02=0.7,故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,若A&c兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式得，P（AB）=P（A）P（3）,

P（AC）=P（A）P（C）,

P（BC）=P（B）P（C）,無法確定P（ABC）=P（A）P（5）P（C）,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若B,C互斥,則。（3C）=0,P（（B+C）A）=P（BA）+P（AC）,

兩邊同時(shí)除以P⑷得，"案網(wǎng):^^+^ffiBPP（BOC|A）=P（B|A）P（C|A）,故

+

D正確；

故選：AD.

10.已知點(diǎn)A(—2,0),8(1,0),圓C:/+y2—4x=0,則(

A.圓“：/+⑶―=1與圓C公共弦所在直線的方程為3x-y=。

B.直線丁=左(％—3)與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)

C.圓C上任意一點(diǎn)/都有=

D.b是dc的等差中項(xiàng)，直線/：依+2勿+c=0與圓。交于P,。兩點(diǎn)，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，/的方程為

x+y=0

【答案】BCD

【解析】

【分析】A通過圓的方程相減即可判斷，B通過直線過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)即可判斷；C：求得M的軌跡方程即

可判斷；D通過等差中項(xiàng)得到2b=a+c,確定直線過定點(diǎn)，由|P0最小，得到圓心和弦中點(diǎn)的連線與直線

I,即可求解.

【詳解】對(duì)于A：兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：y=2無；錯(cuò)誤

對(duì)于B：y=左(彳—3)過定點(diǎn)(3,0),而(3,0)在圓C:x2+y2—4x=0的內(nèi)部，所以直線＞=左(*—3)與

圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；

2

對(duì)于C:設(shè)/(x,y),由=21MBi可得：J(x+2y+y2=2^(%-1)+/化簡(jiǎn)可得：

X2+/-4X=0,所以滿足條件的M軌跡就是圓C，正確；

對(duì)于D：因?yàn)閎是。,。的等差中項(xiàng)，所以2Z?=a+c(不同時(shí)為0)

所以/:ar+2Z?y+c=0可化為ar+(a+c)y+c=0,即a(%+y)+c(y+l)=0

x+y=0

可令＜1八，

〔y+l=0

解得則直線/過定點(diǎn)N(l,-1),

設(shè)(x—4)2+V=12的圓心為C,

當(dāng)CN與直線/垂直時(shí)，|尸。最小，此時(shí)七yX勺=-1,

即"x&=-l,得勺=T,

結(jié)合at+(a+c)y+c=0

2-11

所以左=一一—=-1,解得c=0

a+c

：.直線I的方程為x+y=0.正確

故選：BCD

11.在邊長(zhǎng)為1的正方體—中，M,N,P分別為棱A3,CC],C]A的中點(diǎn)，01為正方形

44G2的中心，動(dòng)點(diǎn)Qe平面MNP，則（）

A.正方體被平面MNP截得的截面面積為述

4

B.若|DQ|=|AB|,則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為2兀

c.若屈=2雷，則|4Q|+|K0的最小值為個(gè)

D.將正方體的上底面4耳。1°1繞點(diǎn)°1旋轉(zhuǎn)45°，對(duì)應(yīng)連接上、下底面各頂點(diǎn)，得到一個(gè)側(cè)面均為三角形

的十面體，則該十面體的體積為

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出正方體被平面MNP截得的截面，得出截面為正六邊形即可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，由

線面垂直得出。結(jié)合勾股定理得出點(diǎn)。的軌跡為以。2為圓心半徑為;的圓，即可判斷B；由

空間向量得出與關(guān)于平面MNP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，根據(jù)空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷C；作出十面體，

將該十面體放在一個(gè)四棱臺(tái)中，根據(jù)棱臺(tái)體積及三棱錐體積計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,連接N尸并延長(zhǎng)，與DC,。。所在直線交于點(diǎn)E,F，連接石交BC于點(diǎn)H,交直

線于點(diǎn)G,連接Gb,交于點(diǎn)/，，連接PJ,HN,MI,如圖所示，則正方體被平面VNP

截得的截面為六邊形AffiNP”,

連接A0CR,則

因?yàn)锳BC。-為正方體，所以平面ABBA"平面DCCXDX,

又平面EFGc平面ABB^=IM,平面EFGn平面DCC^=PN,

所以PN〃/又N,P分別為棱CG，GA的中點(diǎn)，所以PNHCD、,

所以/加〃A3,則點(diǎn)/為AA中點(diǎn)，/M=J1J+QJ=^,

同理可得，PN=PJ=JI=MI=MH=HN=J，

2

所以六邊形AffiWP〃為正六邊形，貝”詆.〃=手義與義6=孚，故A正確;

對(duì)于B,由A可知，平面肱VP即為平面AffiTVP”,

以。為原點(diǎn)，分別以DC所在直線為羽"Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接MP，取中點(diǎn)

。2,連接。。2，02。，如圖所示，

《，。)，嗚!!!

則。(0,0,0),MLO)，N((UJP(O,9)02

222

《。,麗=

所以(A]

設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

11八

y=

MHn=Q°

因?yàn)椤丁?，所以::，令x=l,則為=(1,U)，

HN-n=Q——x+—z=0

[22

一1-----.一____.

因?yàn)椤?—DQ，所以由ADQ，所以平面MNP,

22

又。Qu平面MNP,所以。QLQQ，

因?yàn)椤癰Jr+出+出=*國(guó)=1，

所以"卜-用4

所以點(diǎn)。的軌跡為以。2為圓心半徑為;的圓，點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為2x7ixg=7l,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)榍?2元拓，所以K為§用靠近用的三等分點(diǎn)，則K［」］

連接51Q,由4（1,1,1）,Q1；，；，；］，得Q4=（；，；，；］，

V乙乙乙J\乙乙乙J

所以“瓦=方可，所以與關(guān)于平面腦VP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，

所以忸I(lǐng)0|+|KQ?DK|=/+肝+.=”,故c正確；

對(duì)于D,如圖所示，ABCD-AgG。即為側(cè)面均為三角形的十面體，在平面AB］GR，以AG，42

為對(duì)角線作正方形432c2。2,連接維弟耳,。。?，。。?，則ABC。-482c2。2是上底和下底都是正方

形的四棱臺(tái)，底面邊長(zhǎng)為加和1,高為1,

所以VAN力4K「力—xlx（2+l+，lx2—

/iDGiz-2c2023\3

11⑷11

因?yàn)樨耙粡?口二七-巴斗4二匕-CC用二%-A。2G二

3212J12

、3+V2_^2+V|故D正確；

所以乙面體=匕3CD-A282c2。2—4匕-4&0］=-=

33

D1￡19

W

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：空間不規(guī)則幾何體的體積,可以將幾何體放在一個(gè)規(guī)則幾何體中，減去多余部分的體

積，從而簡(jiǎn)化計(jì)算進(jìn)行求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在（&+工］的展開式中，

各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________________.

【答案】15

【解析】

【分析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得〃的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即

可得解.

【詳解】1?+工］的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為2"=64,得〃=6

所以，（&+工］的展開式通項(xiàng)為7；+1=禺=（6-3r

6—3〃

令I(lǐng)—=（）,得廠=2,因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

27rzyi-

13.己知必，為銳角，且（7+2，=《-,tan5tan〃=2-6，貝!Jsin（2a+"）=

娓+6

【答案】

4

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用正切的差角公式，得到tan2/7+(G-3)tan/7+2-G=O,從而得到，=:,

TT

a=~,即可求解.

6

【詳解】因《+2/=§,得到。=與一2分，又tan￡tan〃=2—6，

TT（A/3-tan/?）tan/?

所以tan（--"）tan尸==2—6,整理得到tan?尸+（0—3）tan/7+2-0=0,

1+gtan/?

解得tan〃=l或tan用=2-6<0,又。，，為銳角，所以tan/?=2—由不合題意,

TTTT

由tan#=1,得到/?=一,a=—,

46

所以sin（2a+〃）=sin（工+工）=立、，1+4><1=走士正.

173422224

后+后

故答案為:

4

14.已知雙曲線。：爐-乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，雙曲線C上的點(diǎn)尸在左軸上方，若ZP月月的平

3

分線交P耳于點(diǎn)A，且點(diǎn)A在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，|。耳|為半徑的圓上，則直線P區(qū)的斜率為.

【答案】—晅或3不

7

【解析】

【分析】利用雙曲線的定義、結(jié)合三角形角平分線用12工1表示再由點(diǎn)A在圓上，利用勾股

定理求出|「鳥|=4,進(jìn)而求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出斜率.

【詳解】依題意,可(—2,0),&(2,0),

當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時(shí)，令I(lǐng)尸乙1=根，貝|]|。片|=2+山，由工4平分NP8耳，

PFAFA

\PA\_S^_^^^^_mm^+m)4(2+m)

付i廠4i—1—，地Ir/\\—_F]/1|一

44+m

I1?^FXAF2gI4月J|A%sin/耳044+7九

由點(diǎn)A在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，Q用為半徑的圓上，得尸片，

222

即|《凡『—|1=|PEI-!PAI,代入整理得(4+/7i)(4-m)=("加+粗廣,解得m=4,

4+m

當(dāng)點(diǎn)尸在第二象限時(shí)，令|P&|=/,貝iJ|P耳|=，—2,由平分NP6耳，

同理收=*」小黨，又和口心

則|公鳥『―|丹為2=|「居|2—|P4『，代入整理得(4+/)(4_/)=(4—')(’2)'，解得/=4,

4+/

S

3

ICI

3x3—y3=3

因此I/81=4,設(shè)「(%,%),%〉0,貝卜弋2解得L或.

(x-2)2+^=163aV15

0卜。=〒

所以直線P8的斜率左=$7=3近或左=—姮

%—27

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是利用雙曲線定義，結(jié)合角平分線列式求出|PA|，I￡A|.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記VABC的內(nèi)角A6C的對(duì)邊分別為d瓦c，已知(0+c)(sinB—sin。)=(。一a)sinA.

⑴求C；

(2)若VA3C的面積為各8,c=6，求a+b.

2

jr

【答案】(1)c=-

3

(2)5

【解析】

【分析】(1)由已知，結(jié)合正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理求得cosC=」即可求解；

2

(2)由三角形面積公式求得ab=6,根據(jù)c=J7及余弦定理得出/+/=13,再由完全平方公式即可求

解.

【小問1詳解】

由正弦定理得，b2-c2=ab-a2,即。2+/一02=仍，

*,2_2

由余弦定理得，cosC=^—-

2ab2ab2

又Ce(O,兀)，所以C=1.

【小問2詳解】

因?yàn)閂A3C的面積為噸，所以=?走=2叵，即就=6,

22222

,_b-+a--c/+/—7_i

由c=1r7，貝ni！l1cosC=-------------即/+片=13,

lab~L2~2

所以加+。2+2aZ?=(a+b)-=13+2a。=13+12=25，即a+0=5.

16.如圖，在三棱錐A—BCD中，AB=AC=30BD=CD=26BC=2而，點(diǎn)E在棱AB上，且

AE=2EB,DELAB.

(1)證明：平面ABC_L平面BCD；

(2)求平面BCD與平面ECD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵也

29

【解析】

【分析】（1）取BC中點(diǎn)。，連接AO,。。，利用條件及幾何關(guān)系，得至“AD「=18,AO=26，

DO=&，進(jìn)而得到AO±BC,利用線面垂直的判定定理，得AO_L面BCD,再利用線

面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；

（2）過E作EH18C交于過H全HNLDC于N,連接EN,HD,從而有N￡7陽為平面

5CD與平面成力的夾角，再利用幾何關(guān)系得到|"N|=￥，怛叫=容，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

如圖，取中點(diǎn)。，連接A。。。，

因AB=AC=3A/2,BD=CD=2G，所以AO'3C,00,3C,

又BC=2瓜所以仙0|=&8—6=2百,|DO|=712-6=76,

又卜2|石耳，所以忸同=曰4同=0,M閡=||鉆|=20,

又DELAB,所以|O目之=忸0「_忸同2=12—2=10,|AD|2=|Z）E|2+|EA|2=10+8=18

所以|40『+|00|2TAe）「，即AOJ_QD,又AOLBC,面BCD

所以49上面BCD,又AOu面ABC,所以平面ABC，平面BCD.

【小問2詳解】

過E作EH//AO交BC于H,過”作HVLDC于N,連接EN,HD,

由（1）知40，面3。￡）,所以石面BCD,則NEW為平面BCD與平面ECD的夾角，

因?yàn)殁頔|=3A四，|AO|=2G，所以但叫=340|=冬叵，又

3'33

易知怛叫=：忸。|,所以S,c=,S的c得到g義|DC"HV|=、義g義忸C"

OO

即gx2G|HN|=|xg><2#><#,解得口叫=半，所以

|EN|

5石

HN\丁5a

在RtaEffiV中，cosZENH=——

EN\[29~29

22_

17.已知橢圓E:=+與=l(a〉6〉0)的短軸長(zhǎng)為2四，右焦點(diǎn)為廠(1,0).

ab

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知過點(diǎn)廠的直線4與橢圓E交于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與4垂直的直線乙與拋物線/=4x交于

C、。兩點(diǎn)，求四邊形ACfiD的面積S的取值范圍.

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)[8,+co)

【解析】

【分析】(1)由題意可得c=l/=若，再由a2=〃+c2求出。，從而可求出橢圓方程;

(2)根據(jù)已知條件設(shè)出直線6的方程，與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出弦長(zhǎng)|CD|,設(shè)出直線4

的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出弦長(zhǎng)AB,結(jié)合四邊形的面積公式及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)

即可求解.

【小問1詳解】

依題意可得：橢圓右焦點(diǎn)廠(1,0),且2b=26，即〃=君.

又因?yàn)閮?chǔ)―廿=1,所以。=2,

22

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二+匕=1.

43

【小問2詳解】

顯然直線4的斜率不為。，設(shè)直線，2的方程為X

=沖+1,C（^,^）,D（x2,y2）.

x=my+lc

聯(lián)立〈2，消去工，整理得V-—4=0,A>0,

y=4x

所以%+%=4九%%=-4，

4

所以|CD|=Jl+n??J(%+%y-Ui%=(/%2+1）.

由垂直關(guān)系可設(shè)直線4的方程為y=-mx+m,設(shè)A（F，%），6（%%），

y=—mx+m

聯(lián)立j2_，消去y,整理得(3+4.）X2-8m2x+4（^m2-3）=0,A'>0,

143

2

雨姐用姐匚冢將蛇壬冢殂8m24（m—3）

3+4m2343+4根'

--..-......—,

所以|AB|=’1+根2.+%4）24X3X4

4m2+3

、12（m2+l}241m2+1『

所以S四邊形ACBO=g8卜M=g義4?

'4/7?"+34-tn2+3

3t2+2t+l3r1八

設(shè)4加+3=『"N3）,則S四邊形AC3Q=]

t2lt）

因?yàn)閥=f+：+2在[3,+oo）上單調(diào)遞增，

所以S四邊形CABQ-n'X|+7+I-,

所以四邊形ACBD的面積S的取值范圍為［8,+8).

18.已知函數(shù)，/(x)=(x+l)e2-ar+l,g(x)=(x+l)ave2+(Mx+l.

(1)若“=1,求/(X)的極值；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論了(%)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>g(x),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)極大值e2+l-無極小值

(2)答案見解析(3)a<---

2

【解析】

【分析】(1)對(duì)/(力求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出極值；

(2)對(duì)/(%)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出了(%)最小值:e"+l,設(shè)

A(?)=-e1+a+l,tz<0,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定」e"+l的正負(fù)，結(jié)合/(O)=e2+l>O,當(dāng)時(shí)，

aa

-即可得出零點(diǎn)情況；

-11/、—11c

(3)將問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)l>0時(shí)，―,~不+一2。，設(shè)儂=~八+一，x〉°,根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定單

ln(x+l)xln(x+l)x

調(diào)性，再根據(jù)當(dāng)x90時(shí)，根(x)f—j所以機(jī)(x)>—g,即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí),/(x)=(x+l)e2-x+l,則/'(x)=e2r_(x+l)e2f=_xe2T,

令尸(x)=O,解得x=O,

當(dāng)xe(—。,0)時(shí)，/(x)>0,則/(x)在(—8,0)單調(diào)遞增，

當(dāng)久e(0,+8)時(shí),f'(x)<0,則/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

所以/(九)有極大值/(0)=e2+l,無極小值?

小問2詳解】

/'(X)=e2^-a(x+l)e2^=e2-a￥(-ax-a+1),

1—a1—a

令尸(x)=0,則1=——,因?yàn)閍<0,所以—a>0,——<0

aa

當(dāng)8,匕々卜寸，r(x)<o,貝u/(x)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)_￥6，~胃,+81時(shí)，r(x)〉O,則/(%)在[L/,+“]上單調(diào)遞增,

所以/(%)>/(j)=f—+11+1=-el+o+1,

a\a)a

設(shè)h(a)=-e”“+1,a<0,則h'(a)=—[e1+fl+-e1+a=e1+a號(hào)，

aaaa

因?yàn)閍<0,所以〃(a)<0,所以/z(a)在(—。,0)單調(diào)遞減，

又因?yàn)椤?—1)=0,

所以當(dāng)a<—1時(shí)，-e1+a+l>0,則，(x)>0,無零點(diǎn)；

a

當(dāng)。=—1時(shí)，-el+a+l=0,f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，

a

當(dāng)一l<a<0時(shí)，|e1+a+l<0,又〃0)=e2+l>0,當(dāng)xf-s時(shí)，/⑺有2個(gè)零點(diǎn).

【小問3詳解】

/(x)2g(x)o(x+l)e2-"+1>(%+1)^62+(1-￡1>+1o(x+l)e2-<H>(x+D^e241-^,

因?yàn)閤NO時(shí)，x+l>l,e2-ar>0,

所以/(x"g(x)o12(x+1嚴(yán)Hoer>(x+1嚴(yán)1,

兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，一l)ln(x+l),

當(dāng)x=0時(shí)，020成立，

-I]

當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+l)>0,則一x?(依-l)In(x+l)o~p^~^+―2a,

in1x+LjJC

/、-11c

設(shè)加(x)=r^~^+一，%>0,

ln(x+l)x

12

則/⑴=]1X-(x+l)ln?+l)

ln2(x+l)%+lx2-%(%+l)ln2(%+l)'

設(shè)勿(x)二/-^x+l)ln2(x+l),x>0,

則4(%)=2x-ln2(x+l)-(x+l)-21n(x+l)-――=2x-ln2(x+l)-21n(x+l),

設(shè)Xx)=2x-ln2(x+l)-21n(x+l),x>0,

e,/、122x-21n(x+l)

貝!Jp(x)=2-21n(x+l)--------------=------------------,

X+1X+1X+1

設(shè)左(x)=2x-21n(x+l),i>0,

則〃(x)=2———=—^->0,所以左⑴在(0,+8)單調(diào)遞增，

又左(0)=2x0-21n(0+l)=0,所以上(％)>0,

所以"(尤)>0,則)⑴在(。,+8)單調(diào)遞增，

又/?(0)=2x0-ln2(0+l)-21n(0+l)=0,所以p(x)>0,

所以〃'(x)>0,則“(％)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又鞏(0)=。2—(0+1)如2(0+1)=0,所以〃(尤)>0,

所以加(x)>o,則加⑴在(0,+8)單調(diào)遞增，

又當(dāng)x—>0時(shí)，―>——?所以根(x)>—e，

所以a<--.

2

19.將數(shù)字1,2,3,4,…,〃任意排成一列,如果數(shù)字左(左=1,2,…,力恰好在第k個(gè)位置上,則稱有一個(gè)巧合，

巧合的個(gè)數(shù)稱為巧合數(shù)，記為X”.例如“=4時(shí)，2,1,3,4為可能的一個(gè)排列，此時(shí)X4=2.X“=0

的排列稱為全錯(cuò)位排列，并記數(shù)字1,2,3,4，?一，〃的全錯(cuò)位排列種數(shù)為4.

(1)寫出的值，并求的分布列；

⑵求￡”,)；

(3)求4.

【答案】(1)。1=0,4=1，。3=2,分布列見解析

0,n=1

(2)1(3)a=<

n)」

n\—-111,n>2

2!3!+4!n\

【解析】

【分析】(1)根據(jù)定義分別計(jì)算即可；X4的可能取值有0,1,2,3,4,分別求出對(duì)應(yīng)概率，即可得

出分布列；

1第，?個(gè)數(shù)字正確匹配

(2)定義隨機(jī)變量為=<根據(jù)期望的性質(zhì)即可求解;

。，第，?個(gè)數(shù)字沒有正確匹配'

令么吟,得出優(yōu)%2)，

(3)首先得出遞推公式為=(〃—1)(見T+an_2),n>3,

n

(-1),再由累加法得么=工一工+,—???+(-1)

由累乘法得包—2_1“3)-p(n>2),進(jìn)而得出

"2!3!4!

an-

【小問1詳解】

由題可知，〃=1時(shí)，只有1