第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省唐山一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)z(1?i)=2，則|z?|=A.1 B.2 C.2 D.2.“k<2”是“向量a=(k,2)與向量b=(1,?1)的夾角為鈍角”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且(b?2A.14a B.13a C.4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccos2A2=b+c，則A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.如圖，在測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C，D.現(xiàn)測得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=l，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為θ，則塔高AB=(

)A.l?tanθsinβsin(α+β)

B.l?tanθsin(α+β)sinβ

C.6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2?b2=3bcA.π6 B.π3 C.5π67.如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A，若AP=λAB+μAE，則下列判斷不正確的是A.滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B.滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有兩個(gè)

C.滿足λ+μ=3的點(diǎn)P有且只有一個(gè) D.λ+μ=32的點(diǎn)8.已知平面非零向量a，b滿足a?b=|2a+3bA.12 B.24 C.18 D.16二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z1，z2是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是(

)A.若|z1|=1，則z1=i

B.?z1，zz∈C，|z1z2|=|z110.△ABC中，BC=22，BC邊上的中線AD=2，則下列說法正確的有(

)A.|AB+AC|=4 B.AB?AC為定值

C.11.我們知道正、余弦定理推導(dǎo)的向量法，是在△ABC中的向量關(guān)系A(chǔ)B+BC=AC的基礎(chǔ)上平方或同乘的方法構(gòu)造數(shù)量積，進(jìn)而得到長度與角度之間的關(guān)系.如圖，直線l與△ABC的邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E，設(shè)AB=c，B=c，CA=b，∠ADE=θ，則下列結(jié)論正確的有A.a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2cacosB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，∠A=π4,AC=2，設(shè)BC邊長為x，若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè)，則x13.如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=2.點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=45°，則AP?AQ的最小值為______．

14.在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a2+2b2+3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a,b的夾角為60°，|a|=1，|b|=2，m=3a?b，n=ta+2b．

(1)若16.(本小題15分)

已知△ABC為銳角三角形，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且3asinB?bcosA=b．

(1)求A的值；

(2)若a=2，求17.(本小題15分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD．

(1)若∠BAD=5π6，CD=2，求BD；

(2)若BD=CD，求18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a(cosC+3sinC)=b+c．

(1)求A．

(2)若b=5，c=2，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，

(Ⅰ)求AM；

(Ⅱ)19.(本小題17分)

“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．

(1)若cos(A?C)+cosB=tanAtanCtanAtanC?1，且△ABC的面積為43，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA?PC的取值范圍；

(2)若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，且PB平分∠ABC，試問是否存在常實(shí)數(shù)t參考答案1.C

2.C

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.{x|x≥2或x=13.12(14.315.解：(1)已知a,b的夾角為60°，|a|=1，|b|=2，m=3a?b，n=ta+2b，

則a?b=|a||b|cos60°=1×2×12=1，

由m⊥n，得m?n=(3a?b)?(ta+2b)=3t|a|2+(6?t)a?b?2|b|2

=3t+6?t?8=0，解得t=1；

(2)由m//n，得ta+2b=λ(3a?b)(λ≠0)，

即t=3λ2=?λ，解得t=?6λ=?2，

所以存在實(shí)數(shù)t=?6，使得m//n．

16.(1)解：因?yàn)?asinB?bcosA=b，

由正弦定理得3sinAsinB?sinBcosA=sinB，

又因?yàn)锽∈(0,π2)，可得3sinA?cosA=1，可得2sin(A?π6)=1，即sin(A?π6)=12，

因?yàn)锳∈(0,π2)，可得A?π6∈(?π6,π3)，所以A?π6=π6，所以A=π3；

(2)解：由(1)知A=π3，且a=2，可得△ABC外接圓的直徑2R=asinA=43，

又由正弦定理得2b?c=2×43sinB?43sinC=43[2sinB?sin(2π3?B)]

=43[2sinB?(32cosB+12sinB)]=43?(32sinB?32cosB)=4sin(B?π6)，

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，可得0<B<π20<2π3?B<π2，解得π6<B<π2，

可得0<B?π6<π3，所以0<sin(B?π6)<32，則0<4sin(B?π6)<23，

所以2b?c的取值范圍為(0,23)．

17.解：(1)平面四邊形ABCD中，內(nèi)角和為2π，且AD⊥AC，AB⊥BC，

則∠BAC+∠ADC+∠BCD=π.且∠BAC+∠ACB=∠ADC+∠ACD=π2．

∵AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，結(jié)合上面式子，

19.解：(1)因?yàn)閏os(A?C)+cosB=tanAtanCtanAtanC?1，且A+B+C=π，

所以cos(A?C)?cos(A+C)=tanAtanCtanAtanC?1，

所以cosAcosC+sinAsinC?(cosAcosC?sinAsinC)=sinAsinCsinAsinC?cosAcosC，

即2sinAsinC=sinAsinC?cos(A+C)，

因?yàn)锳∈(0°,180°)，C∈(0°,180°)，

所以sinA≠0，sinC≠0，所以cosB=12，

因?yàn)锽∈(0°,180°)，所以B=60°，

因?yàn)椤螦BC=60°，所以△ABC的內(nèi)角均小于120°，

所以點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，

由S△ABC=12acsinB=43，得ac=16，

設(shè)∠ABP=θ，θ∈(0°,60°)，則∠CPB=60°?θ，

在△PAB中，由正弦定理，得PAsinθ=csin∠APB，即PA=23csinθ，

在△PBC中，由正弦定理，得PCsin(60°?θ)=asin∠CPB，

即PC=2