第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區陳經綸中學高二（下）4月月考數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(x+2)n的展開式共有11項，則n等于(

)A.9 B.10 C.11 D.82.某學校安排了4場線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場，講座B和C必須相鄰，則不同的安排方法共有(????)種A.4 B.6 C.8 D.123.在(x?2)5的展開式中，x2的系數為A.?40 B.40 C.?80 D.804.函數f(x)=x2+2x?3,x≤0,A.0 B.1 C.2 D.35.若直線y=kx為曲線y=lnx的一條切線，則實數k的值是(

)A.e B.e2 C.1e 6.對于函數f(x)=ax2+cosx?1，f(x)在(0,+∞)上單調遞增的必要不充分條件是A.a∈[0,+∞) B.a∈(12,+∞) C.a∈[7.某高中舉辦2023年“書香涵泳，潤澤心靈”讀書節活動，設有“優秀征文”、“好書推薦語展示”和“演講”三個項目.某班級有4名同學報名參加，要求每人限報一項，每個項目至少1人參加，則報名的不同方案有(

)A.12種 B.36種 C.48種 D.72種8.已知x，y為正實數，lnx+lny=1y?x，則A.x>y B.x<y C.x+y>1 D.x+y<19.如圖，直線y=kx+m與曲線y=f(x)相切于兩點，則函數g(x)=f(x)?kx在(0,+∞)上的極大值點個數為(

)A.0 B.1 C.2 D.310.“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望.如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是(

)A.C32+C42+C52+?+C92=120

B.第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等

C.記第n行的第i個數為二、填空題：本題共5小題，共25分。11.已知函數f(x)=ex?ln(2x)，f′(x)為f(x)12.已知(x+2)4=a0+13.已知函數f(x)=13x3?12ax2+b，若f(x)在區間[0,1]上單增且最大值為0，寫出一組符合要求的a14.根據“援疆支教”工作的要求，某學校決定派出五位骨干教師對新疆三個地區進行教學指導，每個地區至少派遣一位骨干教師，其中甲、乙兩位教師需要派遣至同一地區，則不同的派遣方案種數為______(用數字作答)．15.若存在實數k和m使得函數f(x)和g(x)對其公共定義域上的任意實數x都滿足：g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立，則稱此直線y=kx+m為f(x)和g(x)的“分離直線”.當f(x)=x2和g(x)=alnx之間存在唯一的“分離直線”y=2ex?e時，a=______；若f(x)=x2三、解答題：本題共3小題，共45分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

已知函數f(x)=axex+a?1，a≠0．

(Ⅰ)當a=1時，

①求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；

②求證：f(x)在(0,+∞)上有唯一極大值點；

(Ⅱ)17.(本小題15分)

設函數f(x)=alnx+x2?(a+2)x，其中a∈R．

(1)當a<0時，求函數f(x)的單調區間；

(2)在(1)的條件下，證明曲線f(x)在曲線g(x)=?x2?2x?2的上方；

(3)已知導函數f′(x)在區間18.(本小題15分)

對于一個遞增正整數數列{an}，如果它的奇數項為奇數，偶數項為偶數，則稱它是一個交錯數列.規定只有一項且是奇數的數列也是一個交錯數列.將每項都取自集合{1,2,?,n}的所有交錯數列的個數記為An.例如，當n=1時，取自集合{1}的交錯數列只有1一種情況，則A1=1；當n=2時，取自集合{1,2}的交錯數列有1和1，2兩種情況，則A2=2．

(1)求A3和A4的值；

(2)證明：取自集合{1,2,?,n}(n≥3)的首項不為1的交錯數列的個數為An?2；

(3)參考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.C

6.A

7.B

8.C

9.D

10.D

11.e(1+ln2)

12.65

13.0(答案不唯一)

?13(14.36

15.2e

?4

16.解：(Ⅰ)若a=1，則f(x)=xex+1?1,f′(x)=ex+1?xex(ex+1)2，

①在x=0處，f′(0)=1+1(1+1)2=12,f(0)=?1，

所以曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y=12x?1；

證明：②令g(x)=ex+1?x

x

(0,

x

(

f′(x)+

0?

f(x)↑

極大值↓所以f(x)在(0,+∞)上有唯一極大值點x0；

解：(Ⅱ)f(x)=ax?ex?aex+a，

令?(x)=ex+a?ax，則?′(x)=ex?a，

①若a<0，則?′(x)>0，?(x)在R上是增函數，

因為?(1a)=(e1a?1)+a<0,?(1)=e>0，

所以?(x)恰有一個零點x0，

令ex0+a=0，得x0=ln(?a)，

代入?(x0)=0，得?a+a?al