山西省大同市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.5.本試題共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現(xiàn)有4名志愿者去3個社區(qū)參加志愿活動，每名志愿者可自由選擇其中的1個社區(qū)，不同選法的種數(shù)是（）A. B. C.12 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理分析計算即可得解.【詳解】依題意，每名志愿者都有3種選擇方法，所以4名志愿者共有種不同的選法.故選：A.2.為了了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四人到三所學(xué)校進行調(diào)研，每個學(xué)校至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.72種【答案】C【解析】【分析】先將四人分三組，然后再分配給三個學(xué)校即可即可.【詳解】將甲、乙、丙、丁四人到三所學(xué)校進行調(diào)研，每個學(xué)校至少安排一人，將四人分成3組：其中一組1人，一組1人，一組2人，有種，再將這三組分配給三個不同的學(xué)校有，所以共有種情況.故選：C3.為了了解學(xué)生們的視力狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個年級共抽取60人進行視力檢測.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高二年級抽取的人數(shù)為（）A.25 B.24 C.21 D.15【答案】C【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣列式計算即得.【詳解】依題意，，所以高二年級抽取的人數(shù)為21.故選：C4.對兩個變量進行線性相關(guān)性檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)，對兩個變量進行線性相關(guān)性檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.變量與變量正相關(guān)，變量與變量負相關(guān)，變量與變量的線性相關(guān)性更強B.變量與變量負相關(guān)，變量與變量正相關(guān)，變量與變量的線性相關(guān)性更強C.變量與變量負相關(guān)，變量與變量正相關(guān)，變量與變量的線性相關(guān)性更強D.變量與變量正相關(guān)，變量與變量負相關(guān)，變量與變量的線性相關(guān)性更強【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的符號的正負決定兩個變量的正相關(guān)、負相關(guān)，以及相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，進而可得出結(jié)論.【詳解】由線性相關(guān)系數(shù)知與正相關(guān)，由線性相關(guān)系數(shù)知與負相關(guān)，又，所以變量與變量的線性相關(guān)性比變量與變量的線性相關(guān)性更強．故選：D．5.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同【答案】B【解析】【分析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項；利用眾數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故A錯；對于B選項，設(shè)數(shù)據(jù)的標準差為，數(shù)據(jù)的標準差為，，故B對；對于C選項，設(shè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不妨設(shè)，則，若為奇數(shù)，則，；若為偶數(shù)，則，.綜上，，故C錯；對于D選項，設(shè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，則數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故D錯.故選：B.6.數(shù)軸上一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，每隔秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為，向左移動的概率為，共移動次，則質(zhì)點位于的位置的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意質(zhì)點需向右移動次，向左移動次，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式計算可得.【詳解】依題意此實驗滿足重伯努利實驗，設(shè)向左移動次數(shù)為，則，從原點出發(fā)，共移動次，最后質(zhì)點位于，則需向右移動次，向左移動次，所以質(zhì)點位于的位置的概率為.故選：D7.現(xiàn)有3道選擇題和2道填空題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件表示“第1次抽到選擇題”，事件表示“第2次抽到選擇題”，分別求出，根據(jù)條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】記事件表示“第1次抽到選擇題”，事件表示“第2次抽到選擇題”，則，所以在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率.故選：B8.有4張相同的卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為3”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為5”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（）A.與為相互獨立事件 B.與為互斥事件C.與為相互獨立事件 D.與為對立事件【答案】A【解析】【分析】列出樣本空間，再對各選項的事件列出其基本事件，根據(jù)獨立事件的定義判斷AC，根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷BD.【詳解】由題意樣本空間，，，，，對于A：由古典概率概率公式可知，，，則，故與為相互獨立事件，正確；對于C：，，，則，故與不是相互獨立事件，錯誤；對于B：當?shù)谝淮稳〕龅目ㄆ系臄?shù)字為3，第二次取出的卡片上的數(shù)字為4時，事件與同時發(fā)生，故兩個事件不是互斥事件，錯誤；對于D：因為，，所以與不是對立事件，錯誤.故選：A二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（）A.若回歸方程為，則變量與正相關(guān)B.運用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心C.若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D.若散點圖中所有點都在直線上，則相關(guān)系數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計案例相關(guān)知識逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為回歸方程為，可知，所以變量y與x正相關(guān)，故A正確；對于選項B：由線性回歸方程的性質(zhì)可知：回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故B正確；對于選項C：決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C正確；對于選項D：散點圖中所有點都在直線上，則，且，所以變量y與x正相關(guān)，即，可知，故D錯誤．故選：ABC．10.“50米跑”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》測試項目中的一項，某地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績(單位:秒)服從正態(tài)分布，且.從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取5個，其中成績在內(nèi)的個數(shù)記，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，由正態(tài)分布的對稱性可求，進而計算可判斷A；B選項，可求得；由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可得判斷B；C選項，，進而求得判斷C；D選項，由二項分布計算出，利用對立事件概率公式求出判斷D.【詳解】A選項，由正態(tài)分布的對稱性可知：，故，A正確；B選項，由，可得，由正態(tài)分布曲線可得，故B不正確；C選項，因為，所以，故C正確；D選項，因為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，則（）A. B.C.展開式中系數(shù)最大的項為第七項 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法判斷A、D，利用通項公式可求，判斷B；根據(jù)二項式的展開式的通項公式可判斷C.【詳解】對于A：因為，令，可得，令，可得，所以，故A正確；對于B：二項式展開式的通項公式為，所以，所以，故B正確；對于C：由，可知為偶數(shù)時，系數(shù)為正，為偶數(shù)時，系數(shù)為負，可得，，，，，，故展開式中系數(shù)最大的項為第九項，故C錯誤；令，可得，兩邊同乘以，可得，故D正確．故選：ABD．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從1到9的九個正整數(shù)中，任意抽取三個相加，所得和為奇數(shù)的不同取法有___________種.【答案】40【解析】【分析】由分類加法計數(shù)原理和分步計數(shù)乘法原理求和為奇數(shù)的不同情形種數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，從1到9的正整數(shù)中任意抽取3個數(shù)相加，若所得的和為奇數(shù)，則取出的3個數(shù)必為1個奇數(shù)、2個偶數(shù)與3個奇數(shù)兩類．當3個數(shù)全為奇數(shù)時，在1，3，5，7，9取3個奇數(shù)有；當取出的3個數(shù)為1個奇數(shù)、2個偶數(shù)時，分兩步：第一步，先在1，3，5，7，9中取出1個奇數(shù)，有種取法，第二步，再在2，4，6，8中取出2個偶數(shù)，有種取法．則任意抽取3個數(shù)，其中1個奇數(shù)、2個偶數(shù)的取法有（種），所以所得和為奇數(shù)的不同情形種數(shù)是．故答案為：.13.已知變量的分布列如下表，則的值為___________.01【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式及性質(zhì)，即可求解.【詳解】，.故答案為：.14.小李經(jīng)常參加健身運動，他周一去健身的概率為，周二去健身的概率為，且小李周一不去健身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李周一、周二都去健身的概率為_________.【答案】##0.3【解析】【分析】設(shè)“小李周一去健身”為事件A，設(shè)“小李周二去健身”為事件B，根據(jù)題意利用全概率公式可得，進而結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“小李周一去健身”為事件A，設(shè)“小李周二去健身”為事件B，則“小李周一、周二都去健身”為事件AB，由題意可知：，，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列通項公式基本量運算求解即可；（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列an的公差為，數(shù)列bn的公比為，由，所以，求得，所以；由，得，所以，所以小問2詳解】因為，所以.16.2023年12月25日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的2023年國內(nèi)十大科技新聞揭曉.某高校一學(xué)生社團隨機調(diào)查了本校100名學(xué)生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表:不太了解比較了解合計男生154560女生251540合計4060100（1）判斷是否有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異;（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地大量學(xué)生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學(xué)生，抽取3次，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，記“被抽取的3名學(xué)生中恰有1名學(xué)生是屬于比較了解的”為事件，求發(fā)生的概率.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有的把握（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用公式求得，結(jié)合附表即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用二項分布的概率公式可求解.【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，所以有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異.【小問2詳解】任抽取一名學(xué)生屬于比較了解的概率為，則事件A中學(xué)生人數(shù)服從二項分布，故.17.從4名男生和3名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中男生的人數(shù)，求:（1）的分布列以及期望與方差;（2）設(shè)為事件“抽取的3人中，既有男生，也有女生”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）分布列見解析，期望，方差（2）【解析】【分析】（1）利用超幾何分布可求X的分布；進而利用期望與方差公式可求解；（2）利用可求解.【小問1詳解】隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，所以，隨機變量X的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望，方差【小問2詳解】設(shè)，所以，事件發(fā)生的概率為.18.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程;（2）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍;（3）若無零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得，可求切線方程；（2）由已知可得在上有變號解，可得結(jié)論；（3）求導(dǎo)函數(shù)，按照和分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)零點個數(shù)即可.【小問1詳解】時，，所以在處的切線方程為【小問2詳解】因為在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在上有變號解，即在上有變號解.因為，所以，所以【小問3詳解】因，當，即時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以在上無零點，符合題意;.當時，令，則，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是;單調(diào)遞增區(qū)間是，所以的最小值為當，即時，無零點，符合題意;當時，有一個零點，此時，不符合題意;當時，的最小值，因為，所以，使得，不符合題意;綜上所述，當時，無零點.【點睛】思路點睛：導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方.19.已知數(shù)列an為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列an滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列an為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.（1）寫出所有4的1增數(shù)列；（2）當時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.【答案】（1）1，2，1和1，3（2）7（3）1250【解析】【分析】（1）由于或，從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3；（2）分析得到且，當時，不合要求，當時，滿足要求，得到答案；（3）分析得到數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式，設(shè)其中有x項為1，有y項為2，得