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文檔簡介
安徽省青陽縣一中2025屆高三下學期期中考試(數學試題理)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.2.復數的虛部是()A. B. C. D.3.在三棱錐中,,,則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.4.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.5.五行學說是華夏民族創造的哲學思想,是華夏文明重要組成部分.古人認為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.6.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.7.將函數的圖象向左平移個單位長度,得到的函數為偶函數,則的值為()A. B. C. D.8.已知正方體的體積為,點,分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.9.記為等差數列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-1310.已知函數,若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.11.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.12.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設向量,,且,則_________.14.函數的值域為_________.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個元素,則實數a的值為_______.16.某部門全部員工參加一項社會公益活動,按年齡分為三組,其人數之比為,現用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總人數為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數,.(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數在上的最小值;(Ⅲ)若函數,當時,的最大值為,求證:.18.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點,點在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.19.(12分)在四邊形中,,;如圖,將沿邊折起,連結,使,求證:(1)平面平面;(2)若為棱上一點,且與平面所成角的正弦值為,求二面角的大小.20.(12分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標準方程;(2)經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.21.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識,高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環保知識競賽.(1)設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數,求的分布列和數學期望.22.(10分)改革開放40年,我國經濟取得飛速發展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各50人,進行問卷測評,所得分數的頻率分布直方圖如圖所示.規定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計(Ⅰ)求的值,并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯表,并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人,求抽到的女性人數的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當時,最小.此時由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.2.C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.3.B【解析】
取的中點,連接、,推導出,設設球心為,和的中心分別為、,可得出平面,平面,利用勾股定理計算出球的半徑,再利用球體的表面積公式可得出結果.【詳解】取的中點,連接、,由和都是正三角形,得,,則,則,由勾股定理的逆定理,得.設球心為,和的中心分別為、.由球的性質可知:平面,平面,又,由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算,解題時要分析幾何體的結構,找出球心的位置,并以此計算出球的半徑長,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.4.C【解析】
設出兩人到達小王的時間,根據題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標系內,如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區域,考查了數學運算能力.5.A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種,其中2類元素相生的結果有5種,再根據古典概型概率公式可得結果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.6.B【解析】
首先求得兩曲線的交點坐標,據此可確定積分區間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯立方程:可得:,,結合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.7.D【解析】
利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式,再根據三角函數的性質,即可求解,得到答案.【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度,可得函數又由函數為偶函數,所以,解得,因為,當時,,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換,以及三角函數的性質的應用,其中解答中熟記三角函數的圖象變換,合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.8.D【解析】
由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當時最小,設正方體的棱長為,得,進一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,
∵點M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時,最小,
∴
設正方體的棱長為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設到的距離為,
設到平面的距離為,
.
故選D.【點睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計算能力,是中檔題.9.B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.10.C【解析】
求出函數定義域,在定義域內確定函數的單調性,利用單調性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數,是增函數,是增函數,∴是增函數,∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數的單調性,考查解函數不等式,解題關鍵是確定函數的單調性,解題時可先確定函數定義域,在定義域內求解.11.B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.12.D【解析】
根據拋物線的性質,設出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質,考查轉化思想,考查計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據向量的數量積的計算,以及向量的平方,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:【點睛】本題考查向量的坐標計算,主要考查計算,屬基礎題.14.【解析】
利用換元法,得到,利用導數求得函數的單調性和最值,即可得到函數的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當時,,當時,,即在為增函數,在為減函數,又,,,故函數的值域為:.【點睛】本題主要考查了三角函數的最值,以及利用導數研究函數的單調性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數,再利用導數求解函數的單調性與最值是解答的關鍵,著重考查了推理與預算能力,屬于基礎題.15.2【解析】
利用AB中有且只有一個元素,可得,可求實數a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,集合交集的運算本質是存同去異,側重考查數學運算的核心素養.16.60【解析】
根據樣本容量及各組人數比,可求得C組中的人數;由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總人數,即可由各組人數比求得總人數.【詳解】三組人數之比為,現用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,則三組抽取人數分別.設組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用,古典概型概率的簡單應用,由各層人數求總人數的應用,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當時,在上單調遞增.則函數在上的最小值是(2)當時,令,即,令,即(i)當,即時,在上單調遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,由的單調性可得在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當時,令,則是單調遞減函數.因為,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調遞增,在上單調遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因為函數,且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因為函數,所以(1)當時,,所以在上單調遞增.所以函數在上的最小值是(2)當時,令,即,所以令,即,所以(i)當,即時,在上單調遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,在上單調遞減,在上單調遞增,所以在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是(Ⅲ)因為函數,所以所以當時,令,所以是單調遞減函數.因為,,所以在上存在,使得,即所以當時,;當時,即當時,;當時,所以在上單調遞增,在上單調遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以因為,所以所以18.見解析【解析】
(1)如圖,連接,交于點,連接,,則為的中點,因為為的中點,所以,又,所以,從而,,,四點共面.因為平面,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以(2)因為,為的中點,所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,因為,,所以,,,,所以,,.設平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.19.(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)由題可知,等腰直角三角形與等邊三角形,在其公共邊AC上取中點O,連接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可證得,結合,可證明平面.再根據面面垂直的判定定理,可證平面平面.(2)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,由點F在線段上,設,得出的坐標,進而求出平面的一個法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再結合為平面的一個法向量,用向量法即可求出與的夾角,結合圖形,寫出二面角的大小.【詳解】證明:(1)在中,為正三角形,且在中,為等腰直角三角形,且取的中點,連接,,,平面平面平面..平面平面(2)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,設.則設平面的一個法向量為.則,令,解得與平面所成角的正弦值為,整理得解得或(含去)又為平面的一個法向量,二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直的判定,向量法解決線面角、二面角的問題,屬于中檔題.20.(1);(2)見解析【解析】
(1)根據已知可得,結合離心率和關系,即可求出橢圓的標準方程;(2)斜率不為零,設的方程為,與橢圓方程聯立,消去,得到縱坐標關系,求出方程,令求出坐標,要證、、三點共線,只需證,將分子用縱坐標表示,即可證明結論.【詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設的方程為,聯立方程,消去得,由題意,得恒成立,設,,所以,直線的方程為.令,得.又因為,,則直線,的斜率分別為,
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