山東省濟南市第一中學(xué)2025屆高三階段性測試(二)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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山東省濟南市第一中學(xué)2025屆高三階段性測試(二)數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為坐標(biāo)原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.2.已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則()A. B. C. D.3.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.5.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.146.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.7.已知向量,,若,則()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.9.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.10.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標(biāo)為(c,0),點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,O為坐標(biāo)原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.23311.設(shè),,,則()A. B. C. D.12.已知三棱柱的所有棱長均相等,側(cè)棱平面,過作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線為,記直線與直線所成銳角分別為,則這三個角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)滿足:①是偶函數(shù);②的圖象關(guān)于點對稱.則同時滿足①②的,的一組值可以分別是__________.14.若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,則實數(shù)的最小值為___________.15.已知圓C:經(jīng)過拋物線E:的焦點,則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是__________.16.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四件參賽作品,只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:甲說:“或作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;丁說:“作品獲得一等獎”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和,且,求實數(shù)a的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底數(shù))18.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若函數(shù),若對于任意的,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知橢圓的右焦點為,離心率為.(1)若,求橢圓的方程;(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,、分別為線段、的中點,若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.20.(12分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.21.(12分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求角的大?。唬?)若,的面積為,求及的值.22.(10分)設(shè)直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設(shè)直線(為坐標(biāo)原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.2.A【解析】

由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】

因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質(zhì),屬于中檔題.4.D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.5.A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.7.A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.9.C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.11.A【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖,,設(shè)為的中點,為的中點,由圖可知過且與平行的平面為平面,所以直線即為直線,由題易知,的補角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算,考查了學(xué)生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點對稱,即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及,可取,則,由的圖象關(guān)于點對稱,得,,即,,可取.故,的一組值可以分別是,.故答案為:,.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于,,因為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即,因為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即,因為存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,所以,所以,令,設(shè),則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以實數(shù)的最小值為.15.【解析】

求出拋物線的焦點坐標(biāo),代入圓的方程,求出的值,再求出準(zhǔn)線方程,利用點到直線的距離公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦長的一半,進而求出弦長.【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為,焦點為(0,1),把焦點的坐標(biāo)代入圓的方程中,得,所以圓心的坐標(biāo)為,半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,所以弦長.【點睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式.16.B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”,故假設(shè)分別為一等獎,然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎,則甲、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;若B為一等獎,則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯誤,滿足題意;若C為一等獎,則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎,則乙、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎.【點睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時候,可以采用依次假設(shè)為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍;(2)首先求出的值,再根據(jù)求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為是,,若有兩個極值點,則方程一定有兩個不等的正根,設(shè)為和,且,所以解得,此時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故是極大值點,是極小值點,故實數(shù)a的取值范圍是;(2)由(1)知,,,則,,,由,得,即,令,考慮到,所以可化為,而,所以在上為增函數(shù),由,得,故實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點和單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,屬于難題.18.(1)(2)【解析】

(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對值三角不等式,求得的取值范圍,根據(jù)分段函數(shù)解析式,求得的取值范圍,結(jié)合題意列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1),由得或或;解得.故所求解集為.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【點睛】本小題考查了絕對值不等式,絕對值三角不等式和函數(shù)最值問題,考查運算求解能力,推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.19.(1);(2).【解析】

(1)由橢圓的離心率求出、的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點、,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達定理,由題意得出,可得出,【詳解】(1)由題意得,,.又因為,,所以橢圓的方程為;(2)由,得.設(shè)、,所以,,依題意,,易知,四邊形為平行四邊形,所以.因為,,所以.即,將其整理為.因為,所以,.所以,即.【點睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化,考查計算能力,屬于中等題.20.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,將,化角為邊,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根據(jù),選擇,所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,最大,結(jié)合(1)中條件,即可求出最大時,對應(yīng)的的值,再根據(jù)余弦定理求出邊,進而得到的周長.【詳解】(1)由,得,即.因為,所以.由,得.(2)因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因為的面積.所以當(dāng)時,的面積取得最大值,此時,則,所以的周長為.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力.21.(1)(2);【解析】

(1)由代入中計算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因為,可得:,∴,或(舍),∵,∴.(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運算求解能

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