章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽3.1理論力學試題1.是非題(共5題，每題3分，請在答案紙的相應題號括弧內填“是”或“非”)(1)一空間力系，若各力作用線與某一固定直線相平行，則其獨立的平衡方程只有5個。()(2)牽連運動為定軸轉動時，不一定有科氏加速度。()(3)平動剛體各點的動量對一軸的動量矩之和可以用作用于質心的剛體動量對該軸的動量矩表示。(4)平面運動剛體上慣性力系的合力必作用在剛體的質心上。()(5)第二類拉格朗日方程的適用范圍是完整，理想約束，而動力學普遍方程則沒有這些限制。()2.選擇題(共5題，每題5分，請將答案的序號填入答案紙的相應題號括弧內)(1)已知一正方體，如圖3-1所示，各邊長為a,沿對角線BH作用一個力F,則該力在x,軸上的投影①0;②F/√2;③F/√6;(2)如圖3-2所示，三角形楔塊B置于楔塊A的斜面上，若A塊以vA=3m/s的速度向左運動，α=30°,則B塊的速度v?=()m/s。(3)在圖3-3所示系統中，滑塊A以勻速度v?=1m/s向下運動，桿CD長1m,當α=45°且桿CD水平(4)一剛度系數為k的彈簧下掛一質量為m的物體，如圖3-4所示。若物體從靜平衡位置(設靜伸長全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版為8)下降△距離，則彈性力所做的功為()。(5)圖3-5所示系統中主動力作用點C、D、B的虛位移大小的3.填空題(共6題，第(1)~(4)題每題5分，第(5)、(6)題每題10分。請將答案填入答案紙的相應題號括弧內)(1)如圖3-6所示，半徑為r,重為W的均質圓柱體置于半徑為R的圓槽底部，接觸面間的摩擦因數為f。在圓柱體邊緣纏繞一不計重量的柔繩，端部懸掛重量為P的物體，則平衡時圓柱體的中心可以升高，OC連線的最大偏角θ可達()。(2)重物A的質量為m,懸掛在剛度系數為K的鉛垂彈簧上，如圖3-7所示。若將彈簧截去一半，則系統的固有頻率為()。(3)如圖3-8所示，質量為m,的物體上刻有半徑為r的半圓槽，放在光滑水平面上，原處于靜止狀態，有一質量為m?的小球自A處無初速地沿光滑半圓槽下滑，若m?=3m2,則小球滑至B處時，小球相對于物體的速度為()。(4)質量為m的方塊沿傾斜的光滑斜面滑下，質量為m,半徑為r的薄圓環沿傾角相同的粗糙斜面無確定，這個海洋環流處于()半球，緯度為()度。(1)圓盤的運動微分方程式(以轉角φ表示)是()。(2)甲蟲M的絕對運動微分方程式(以OM連線的轉角θ表示)是()。(3)圓盤沿切線方向給甲蟲的作用力是()。(4)甲蟲能升高到與0點相同高度的條件是()。圖3-10圖3-11(1)系統的自由度數是()。(2)系統質心作()運動，其速度大小為()。全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(3)在隨系統質心運動的平動坐標系中觀察，方盤作()運動，其質心0的軌跡是(),速度大小為()。(4)在上述平動坐標系中觀察，小球B作()運動，速度大小為()。(5)方盤對小球的作用力大小為(),方向()。3.2材料力學試題1.(10分)如圖3-12所示結構，各桿的抗拉(壓)剛度均為EA,桿BG、DG、GE、CE長度均為l,在E處作用力F。求各桿的軸力F:(i=1,2,3,4)。2.(10分)一結構如圖3-13所示，AB軸的抗扭剛度Glp、桿CD和FG的抗拉剛度EA、尺寸a及外力偶M皆已知。圓軸與橫梁牢固結合，垂直相交，立桿與橫梁鉸接，也垂直相交，橫梁可視為剛體。試求桿的軸力FN及圓軸所受的扭矩T。3.(10分)如圖3-14所示，等截面懸臂梁抗彎剛度EI已知，梁下有一曲面，方程為y=-Ax3。欲使梁變形后與該曲面密合(曲面不受力),問梁的自由端應施加什么載荷，即求力F與力矩M的值。4.(10分)圖3-15所示剛性桿，由彈簧支持，彈簧剛度系數為K,試導出它的臨界載荷F。5.(10分)圖3-16所示圓桿，d=200mm,F=200πkN,E=200×103MPa,μ=0.3,[σ]=170MPa,在桿表面上K點處的84s。=-3×10-?。用第四強度理論校核強度。第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽6.(10分)圖3-17所示兩相同梁AB、CD,自由端間距當重為W的物體突然加于AB梁的B點時，求CD梁C點的撓度w。7.(10分)長為l的懸臂梁，在距固定端s處放一重量為W的重物，重物與梁之間有摩擦因數f,如圖3-18所示。在自由端處作用力F。(1)什么條件下不加力F,重物就能滑動。(5分)(2)需加F才能滑動時求F的值。(5分)8.(10分)圖3-19所示帶鉸的梁，在鉸C處允許梁的轉角不連續，試求轉角間斷值△θ。梁的抗彎剛度為EI。9.(10分)如圖3-20所示，一半徑為a、長l的彈性圓軸(彈性模量為E、泊松比為μ),套在一剛性厚管內，軸和管之間有初始間隙8,設軸受集中軸力F作用，當F=F?時軸和剛性壁接觸，求F,值。(4分)當F>F?后，壁和軸之間有壓力，記f為摩擦因數，這時軸能靠摩擦力來承受扭矩，當扭矩規定為T時，求對應的F值。(6分)10.(10分)相互夾角為120°的三片應變花，應變片1、2、3按逆時針編號，今測出8?、E?、E?,并發現e?=83,全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版11.(10分)如圖3-21所示，高為h的直立圓柱只受自重作用，單位長度的重量為γ,若將其上、下端固定且保持柱的原長h不變，且柱材料抗拉彈性模量E?不等于抗壓彈性模量E?,當σ=0時，z=c,試確定c值。12.(10分)圖3-22所示的外伸梁受兩個集中力F?=F及F?=F作用。F?只允許作用在延伸段，(0≤x?≤l/4),而F?允許在支座間移動(0≤x?≤1)。要使F?在支座間任意位置時，梁的彎矩都不超過許用彎矩[M],并使F取最大值，求F?作用點的最佳位置x?及對應的最大F值。3.3理論力學試題參考答案及詳細解答1.是非題(1)非；(2)是；(3)是；(4)非；(5)非2.選擇題3.填空題(6)南半球；4.綜合分析題(A)第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽5.綜合分析題(B)(1)系統自由度數3+1=4。(2)系統動量守恒，系統質心C作等速直線運動；速度大小)(3)方盤作平動，0作圓周運動；速度大小(4)圓周運動；速度大小(5)向心力大小方向始終指向C點或0點3.填空題(3)解：如圖3-23所示，由動能定理得得得(4)解：由動能定理方塊下滑圓環下滾但(5)解：如圖3-24所示，在矩形塊運動的情況下，F=F?+F得Fc=-mac=-m(22×v,)圓周運動,所以QQ解：(1)如圖3-27所示，對0軸的動量矩定理第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽(3)如圖3-28所示，有F-mgsinθ=mre得條件為解：(1)系統自由度數3+1=4。(2)如圖3-29所示，系統動量守恒，系統質心C做勻速直線運動(3)方盤運動過程中只受小球B的作用力，此力通過方盤質心0,故方盤做平動，在隨質心運動平動坐標系Cxy中觀察，故0做圓周運動。如圖3-30所示，質系動量矩守恒，用相對質心動量矩定理，有全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版所以方盤質心0的速度為(4)小球相對平動坐標系的運動(5)小球作勻速圓周運動，所受向心力大小為方向始終指向C點或0點。3.F=6AEI(向上),M=6EAIl(順時針)第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽7.(1)當2EIf≤Ws2時，不需加力重物就能滑動；(2)加1.解：由對稱性F=FN由載荷作用點E處微段的平衡由節點G的平衡2.解：對軸，力矩平衡對桿協調條件即由式(3-1)、式(3-2)解出比較之求得F=6AEI(向上，圖3-31),M=6EAL(順時針，圖3-31)。4.解：如圖3-32所示，往上移動δ后有力F?=Kδ,約束力為當出現力矩不平衡，時即5252L5.解：由應變轉軸公式故6.解：重物降下的位能V=W(w+8)變成兩桿的應變能。第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽即由題δ=Wc,代人后得即7.解：在0≤x≤s段tan|θ,l≈10,l≥f即Ws2+Fs(2l-s)≥2EIf8.解：研究組合梁CB,可知CB段不受力，ADC段為懸臂梁如圖3-33所示。(2)F>F?后，記△F全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版可求出即即而10.解：設最大主應變ε方向按逆時針轉過θ角后為e的方向，由應變莫爾圓則有E?=80+rcos20(8。為圓心坐標，r為半徑)可見sin20=0,可取θ=0,則e,即為最大主應變&?=8o+r,另一主應變為En=Eo-r。由于θ=0,故,解出11.解：設頂部應力為σB,則應力分布為第3章1996年第三屆全國周培源大學生力學競賽Mg=-由于x?給定后，x?可以變，求x?變時最大的Mc,即代入Mc得Fx?≤[M]從式(3-3)、式(3-4)兩式求x?使F最大(但x?不得超過l/4),可令兩式相等時達到，即滿足要求，由式(3-4)可得F=[M]/x?從第三屆起，競賽改名為全國周培源大學生力學競賽，以紀念我國著名力學家周培源先競賽發展的歷史告訴我們，不應當局限于競賽自身來看待發展，因為它與所處的時代的科技發展水平與需求相關，同時也與當時的教育理念與教育形勢緊密相關。第三屆競賽的時間正值教育部基礎力學課程教學指導分委員會組織完成考試題庫建設，根據有關方面建議，有50%的競賽題選自題庫。這在配合教育部基礎力學課程指導分委員會的工作，宣傳和應用試題庫方面發揮了積極的作用。另一方面，大學生科技活動和競賽的靈魂是創新，只有從當代科技前沿、國家建設重大和關鍵技術問題，從常規工程和日常生活細微之處提煉基礎力學問題，才能保持競賽的活力，不斷發展，真正起到配合高校力學教育和校園文化建總體來看，本次競賽試題難度是歷屆最低的一次，特別是和第一屆相比難度有大幅度的下降，基本沒全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版選擇題在考查概念的同時，需要少量的計算，當概念清楚時很可能不通過計算就能看出答案。填空題實際上是計算題，第(4)、(5)、(6)題有一定的計算量。最容易出錯的是第(5)題，題目綜合分析題以質點動力學為主，解題時沒有特別需要注意的地方，是常規的作業題。選擇題需要簡單的計算，第(1)題中x?垂直于BHE平面，所以x?垂直于F。第(2)題利用運動的分解很簡單得到結果。第(3)題中找AB桿瞬心，很快可以得到結果，在第2問中，以AB桿為動系，C點為動點，則牽連速度和相對速度都沿AB桿方向，但絕對速度又要垂直于CD桿，只能是速度為零，不需要計算。第(4)題要注意彈簧力做的功等于前后兩位置的彈性勢能差，同時要從原長處開始計算彈性勢能。第(5)題注意AB桿作瞬時平動就能看出答案。填空題也需要簡單的計算。其中第(1)題是平衡與摩擦角的問題，需注意平衡時圓柱體的受力為三個平行力，其中兩圓接觸處的力在臨界狀態下，沿摩擦角的邊緣，因此有arctanu。第(2)題考查彈簧的串并聯關系，在相同的載荷下，彈簧截去一半后變形也只有一半，因此短彈簧的剛度系數為原彈簧的兩倍。第(3)題利用動能定理和動量定理，即可得到結果。需要注意的是，本題的動能和動量都與絕對速度有關。第(4)題有兩種方法求解：一種是利用動能定理列出系統動能和重力做的功，求導后得到加速度。另一種是對圓環利用動量和動量矩求加速度，對方塊直接進行受力分析得出加速度。兩種方法的工作量差不多。第(5)題容易“欺騙”學生，因為通常人們認為向前加力，會使物體向前倒下，其實這是不自覺地假設作用力的位置比較高。要注意，當作用力的位置比較低時，因為慣性力的作用，物體是向后倒下的。因此，本題是動力學問題而不是靜力學問題。如果考慮到這一點，本題做起來并不難，否則還會以為題目出錯了呢!第(6)題是非慣性系問題，只要概念清楚，計算量并不大。綜合分析題(A)涉及動量矩、質心運動定理，還要進行積分。本題的幾個小問題環環相扣，難度不大，但解題時仍要格外小心。第(1)題直接利用動量矩定理，第(2)題不必另外做，只需要對(1)題的結果作參數變換。第(3)題直接利用質心運動定理，并把第(2)題的關系式代入。第(4)題是對第(2)題的結果進