機(jī)密★啟用前

鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中

襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學(xué)

2025屆高三湖北省十一校第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分:150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

］若集合A={T，_2，_3},B={x+y\x&A,yeA},則AB=（）

A.{-2}B.{-3}

C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3）

z+1—i

2.若復(fù)數(shù)z滿足-----=l+2i,則z=（）

z

11.11.

A.----------1B.——+—1C.-1+iD.-1-i

2222

3.己知非零向量a=（0j）,b=（l,T）,若向量辦在公方向上的投影向量為2a，則,=（）

A.-2B.-4C.2D.4

4.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所

示頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過。厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近a的數(shù)是（）

A.93.5B.94.1

C.94.7D.95.5

5.下列選項中，與tan55。不相等的是()

1+sin20。11-tan10°

B.-tan125°C.------D.---------

cos20°tan3501+tan10°

6.已知直三棱柱ABC—A耳G中，AB=AC=2,ABAC=—,C點到直線A片的距離為則

三棱柱ABC-a與G的外接球表面積為()

4

C.2071D.24兀

7.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為

“蒙日圓”.已知橢圓C：土+乙=1的焦點在X軸上，為橢圓上任意兩點，動點尸在直線

m3

x——6=0上.若/APB恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識得橢圓C的離心率的取值范圍為()

8.已知函數(shù)/(尤),g(x)的定義域為R,g'(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù),且/(x)+g〈x)=5,

15

/(x-l)+g'(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù)，則()

攵二1

A.80B.75C.70D.65

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)〃%）=2sin3%—E,下列說法正確的是（）

B.函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于點表,0中心對稱

C.將〃力的圖象向左平移;個單位長度，可得到g（x）=2sin3x的圖象

6

D.函數(shù)八％）在區(qū)間（0圖上單調(diào)遞增

10.已知函數(shù)/（x）=lnx-l---------,定義域為D，則下列結(jié)論正確的是（）

X—1

A.若a,b&Da<bt則f（a）<f（/?）

B.已知a,bwD且a^b,則“ab=l”是"/(a)+/(Z?)=0”的充分條件

C.方程f(f(x))=0有4個不同實數(shù)解

D.若tze(l,2),則

11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時也具有特殊的有價值

的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“8”，是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標(biāo)系中,

耳（—2,0）,耳（2,0）,滿足|尸周尸耳|=4的動點p的軌跡為曲線C.則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線C上滿足\PF^\PF2\的點尸有2個

C.\OP\<2sf2

D,曲線C上存在四個不同的點，使曲線在該點處切線的斜率為0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且其前〃項和為若邑=9,其=36,則4=.

13.若直線y=2尤為曲線丁=6"+，的一條切線，則ab的最大值為.

14.克羅狄?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師，托勒密定理是平面幾

何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊

形中，兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形ABCD是圓。的內(nèi)接四邊形，且

AC=6BD,/ADC=2/BAD,若A5?CD+BC-AD=46，則（1）圓。的半徑是

，(2)四邊形ABCD面積的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—A31G中，VA3C是邊長為2的正三角形，|A4j=3,O為AC中點，點E

在棱上，且CE=XCG，0<2<l.

2

(1)當(dāng)4=一時，求證：平面BQE；

3

(2)當(dāng);1=工時，求直線與平面石所成角的正弦值.

3

16.已知雙曲線C：=_與=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點,為F,動點3在雙曲線C上,

a2b2

當(dāng)面工釬時，忸耳=仙耳.

(1)求C的離心率;

(2)已知a=l,M,N兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若"B=23N，求

的面積.

17.2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和

內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件3為小明取到棕

色內(nèi)飾的模型，求尸(臺)和P(B|A),并判斷事件A和事件8是否獨立；

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，

給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)

飾同色；

假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；

假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；

請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

18.己知函數(shù)/z(x)=2x+cosx,g(x)=eT-ax2+1.

⑴當(dāng)。=1時，判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)對任意的時，g'(x)之//(%)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶記〃x)=/z(x)—If,若/(%)=/(%2)，且0<%1<%<兀，求證：/'廣(參考

公式：cosO-cos夕=-2sin鄉(xiāng)sin"產(chǎn))

19.已知數(shù)列｛叫的前〃項和為%若對每一個〃eN*，有且僅有一個meN*，使得與<%<5,用，則

稱｛4｝為“*數(shù)列”.記/=￡+1-4，〃€d，稱數(shù)列也｝為｛。“｝的“余項數(shù)列”.

(1)若｛%｝前四項依次為0,1,-1,2,試判斷｛%｝是否為“X數(shù)列”，并說明理由；

(2)若5“=2向，證明｛4｝為“X數(shù)列”，并求它的“余項數(shù)列”的通項公式；

(3)已知％=1的正項數(shù)列｛4｝為“X數(shù)列”，且｛4｝的“余項數(shù)列”為等差數(shù)列，證明S"<l+2"-2.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,若集合人={一1，-2,-3},B={x+y\x^A,yeA},則B=(

A.{-2}B-卜3}

C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3}

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合交集的知識求解即可.

【詳解】B={x+y\x&A,yeA}={-2,-3,-4,-5,-6},則Ac5={-2,-3}.

故選：C.

z+1—i

2.若復(fù)數(shù)z滿足------=l+2i,則z=()

11.11.

A.-------—1B.——十—1c.-1+iD.-1-i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡即可；

由￡±k2i2i,貝u1-z)日n1—iL。—D1+i11.

【詳解】=+——=21,，即z==-=—_______1_1

ZZ2i2ii-222

故選：A.

3.已知非零向量a=(Oj),b=(l,T),若向量方在￡方向上的投影向量為2a，則/=()

A-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【解析】

a?bc1c

【分析】利用投影向量的定義可得仃1=2。，代入坐標(biāo)計算可求得九

\a\\c1

a?bci-4rci-4t—4

【詳解】向量b在。方向上的投影向量為--r—?,#77=—a二—a—2a

HnnMift,

所以心=2,解得『=—2.

t

故選：A.

4.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度(單位：厘米)，將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所

示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過。厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近。的數(shù)是()

A.93.5B.94.1

C.94.7D.95.5

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合第90百分位數(shù)求出a.

［解答］觀察頻率分布直方圖，得1—0.05x1=0.95,1-(0.05+0.15)xl=0.80,0.80<0,9<0.95,

貝心(94,95),(a-94)x0.15+0.8=0.9,所以a=94.67,與94.67最接近的數(shù)為94.7.

故選：C

5.下列選項中，與tan55°不相等的是（）

1+sin20°1-tan10°

A.---------------B.—tan125°

cos20°tan35°1+tan10°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判斷A；根據(jù)正切的誘導(dǎo)公式可判斷BC,

根據(jù)正切的和角公式可判斷D.

1+sin20°_(sinl0°+cosl00)2sin100+cos10°tanl00+l

詳解】=tan(45°+10°)=tan55°

cos20°(cos100-sin10°)(cos10°+sin10°)cos100-sin10°1-tan10°

故A正確;

-tan125°=tan(180°-125°)=tan55°,故B正確;

1

=tan(90°-35°)=tan55°,故C正確;

tan35°

1—tan10°

=tan(45°-10°)=tan35°,故D錯誤.

l+tanl0°

故選：D

27r

6.已知直三棱柱ABC—A4cl中，AB=AC=2,ZBAC=—,C點到直線A片的距離為近，則

三棱柱ABC-A4G的外接球表面積為（）

A.12兀B.16兀C.2071D.24兀

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點到直線的距離可得三棱柱的高，確定外接球球心，結(jié)合勾股定理可得外接球半徑與外接球表

面積.

【詳解】

過點c作c。，44于點。，連接

因為三棱柱ABC-\B]Ci為直三棱柱,

CQ，平面4百。1，

又-4耳＜=平面4耳￡,

CQ±44,

CCX,CDu,平面CG。，且CD=C,

：.\BX，平面CG。，

GDu平面CG。，

A^BX±C\D,

2兀

易知NB]A1cl=ZBAC=y,44=AG=AB=AC=2,

:.C[D=6,BC=273-

:.CD="C；+G02=Jy+3=嶼，

則Cq=2,

設(shè)VA3C外接圓圓心為。],△ABG外接圓圓心為02,

20八_BCj

則1./兀，即。m=2,

sinZ——

3

且三棱柱外接球球心。為中點，

則外接球半徑R=OA=卜闈+&00J=卡，

表面積為4兀尺2=207i,

故選：C.

7.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為

蒙日圓”.已知橢圓C:三+乙=1的焦點在x軸上，A3為橢圓上任意兩點，動點尸在直線

m3

x-JIy-6=0上.若/APS恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識得橢圓C的離心率的取值范圍為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)蒙日圓定義求得橢圓C的蒙日圓方程，根據(jù)ZAPS為銳角可知直線x--6=0與蒙日圓

相離，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系可求得加范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.

【詳解】橢圓C的焦點在x軸上，.,.根＞3,

直線x=±J/，y=±百與橢圓C都相切，

__22

:.x=±而,y=±百所圍成矩形的外接圓好+＞2=3+機(jī)即為橢圓C：土+2L=1的蒙日圓，

m3

22

A§為橢圓C:L+乙=1上任意兩個動點，動點尸滿足ZAPB為銳角，

m3

???點P在圓/+/=3+機(jī)外，又動點p在直線X—0〉—6=0上，二直線x——6=0與圓

X?+y?=3+冽相離，-1-L〉＜3+tn,解得：m＜9＞

V1+2

又加＞3,「.3〈相＜9；

8.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域為R,g'(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù)，且/(x)+g'(￡)=5,

15

/(x—l)+g'(5—x)=5,若g(x)為偶函數(shù)，則工/(左)=()

k=l

A.80B.75C.70D.65

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得g'(x)=—g'(f),結(jié)合題意可得〃x)=/(4—x),

/(x)+/(x+4)=10,進(jìn)而可得/(x)=/(x+8),且"0)=5,即可得結(jié)果.

【詳解】因為g(x)為偶函數(shù),則g(x)=g(-X),求導(dǎo)可得/(x)=V(—%),

因為/(x)+g'(x)=5，f(x-l)+g(5-^)=5,

則/(4-x)+g[x)=5,可得/(x)=〃4-x),

且/(x-l)-g'(x-5)=5,則/(x+4)—g'(x)=5,可得/(X)+/(1+4)=10,

即/(x+4)+/(x+8)=10,可得〃x)=/(x+8),可知8為八％)的一個周期，

8_

且￡〃左）=［/（1）+/（5）］+［〃2）+〃6）卜［/（3）+〃7）卜［〃4）+八8）］=40,

k=\

對于/（x）=/（4—%）,/（x）+/（x+4）=10,

令x=0,可得〃0）=〃4），/（0）+/（4）=10,可得〃0）=/（4）=5,

15158

所以X"左）=￡＞（左）—"0）=22/（4）一5=75.

k=lk=0k=\

故選：B.

【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根

據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=2sinl3%-^-,下列說法正確的是()

B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點A，0中心對稱

C.將〃龍)的圖象向左平移二個單位長度，可得到g(x)=2sin3x的圖象

6

D.函數(shù)八％)在區(qū)間(0,總上單調(diào)遞增

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷B；根據(jù)左右平移的原則即可判

斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

27r

【詳解】對于A,"%)的周期T=(,所以A正確;

對于B,因為了2sin0=0

所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點中心對稱,故B正確;

對于C,將/(%)圖象向左平移四個單位長度，

6

得到/[X+弓〔=2sin13x+的圖象，故C錯誤；

對于D中，因為所以3x—，

所以了⑴在(0,。上不單調(diào)，故D錯誤.

故選：AB.

10.己知函數(shù)/(x)=ln%-l------,定義域為D，則下列結(jié)論正確的是()

X-1

A若a,bwD且a<b,則

B.已知a,beD且awb,貝廣ab=l,5是“f(a)+f(b)=0”的充分條件

C.方程/(7(x))=0有4個不同的實數(shù)解

D.若ae(l,2),則/(a-l)>/(a)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,+。)，利用可判斷A；計算得

可判斷B;當(dāng)XG(0,l)時，/(%)￡(-00,4-00),當(dāng)XG(l,+8)時，〃X)G(-8,+8)進(jìn)

而可判斷C,/(?-1)-/(?)=Ini1—11-21

(a2)(a1)'構(gòu)造函數(shù)g(x)=班+——1,%e(0,1),求

導(dǎo)可得結(jié)論判斷D.

2

【詳解】由函數(shù)〃力=1皿—1-----的定義域為(o,i)u(i,+“)，

X-1

12

且小)丁而/°，所以“力的單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),。,+8),

對于A,令〃=工,

b=e,

e

得了(：］=—2+言>0,/(e)=--^/o,/(|j\/(e),所以A錯誤;

(］、22

對于B,由己知得/—+/(%)=-2+上1=0,充分性得證，所以B正確；

)x-1

對于C,當(dāng)xe(o,l)時，y(x)e(-oo,+(x>),當(dāng)xe(l,+oo)時，/(x)e(-oo,+oo),

所以/(九)有兩個零點%,%,且0<為<1,19>1，

所以方程/(X)=%與/(x)=%分別有兩個實數(shù)解，

故方程/(/(%))=。有4個不同的實數(shù)解，故C正確；

對于DM由/D，即/(aT)T(a)=UU(a"

4g(%)=ln%+--l,%e(O,l),可得g'(x)=L--y=^-^<0,

XXXX

所以g(x)在(0,1)為單調(diào)遞減函數(shù),所以g(x)>g⑴=0,即12」,

X

因aG(L2),可得1—G|0?—|,所以ln(l—|>1--------,

7a\2J\a)tz-l

得'"”小1一六一("2：("1)=("瑞—2)〉〉

所以，故D正確.

故選：BCD.

11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時也具有特殊的有價值

的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“8”，是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標(biāo)系中,

耳(—2,0),耳(2,0),滿足|尸周尸耳|=4的動點p的軌跡為曲線C.則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線C上滿足\PF^\PF2\的點尸有2個

C.\OP\<2sf2

D,曲線C上存在四個不同的點，使曲線在該點處切線的斜率為0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意中等式結(jié)合兩點間距離公式表示出曲線方程可得A正確；由|尸耳|=|%]=2可得這樣的p

點只有1個，即為原點可得B錯誤；由曲線方程整理出店+凡=，一:)W8,可得C正確;由圖象觀察

X2+y

可得D正確；也可由導(dǎo)數(shù)的意義求出.

【詳解】對于A,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y)則曲線C?-2Y+y2.J(x+2『+y2=4,故A正確；

對于B,若歸耳|=歸閶，則|P^|=|P^|=2,這樣的p點只有1個，即為原點，故B錯誤；

對于C,由&—2)1&+2)1=4得，](x—2)2+y2].[(x+2『+y2]=i6

整理得，(x2+y2)2=8(x2-/),所以Y+y2=±_<8,|(9P|<272，故C正確；

對于D,從雙紐線的圖形上，可以觀察有四個點處切線的斜率為0,

____4%

222

另外，由(f+V)=8(彳2-丁)得y=4A/X+1-(x+4),則2y.y；=^^^_2x,

令y；=0nx=±g或0,經(jīng)計算曲線C在原點處的切線方程為y=±2x,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題C選項的關(guān)鍵是能利用曲線方程整理O,P出兩點間公式，再求出范圍.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且其前〃項和為若邑=9,其=36,則4=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)與通項公式求解即可；

【詳解】由S3=9,S6=36得4+出+%=3g=9,q+〃2+/+%+%+/=3(/+%)=36,

解得。2=3,a3+%=12,

即％+d+4+2d=12,解得d=2,

所以q=a2—d=1.

故答案為：1.

13.若直線y=2x為曲線y=e如+"的一條切線，則。人的最大值為.

2

【答案】##2e-2

e

【解析】

【分析】設(shè)/(x)=eQ+。切點為(%，e也+&),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出。力

的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

【詳解】設(shè)〃x)=e"+:則/'(x)=ae?，

設(shè)切點為(x0,e曲”)，則/'(x0)=ae嘰+〃，

則切線方程為y—e嘰+"=ae'%+〃(x—%)，整理可得y=加%,+，;+(1—曲)e'%+〃,

所以卜U°卜2=°,解得％=士ae3=ae1+h=2,

ae0=2a

r\r\i

所以〃=F，所以。/?=F，

ee

設(shè)g(x)=W'則g'(x)=^^，

當(dāng)xe(-oo,l)時,g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+oo)時,g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

9

所以當(dāng)x=l時，8(同取得最大值8(1)=石，

所以ab的最大值為4.

e

-,2

故答案為：F

e-

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)出切點，根據(jù)直線y=2x為曲線y=e〃x+"的一條切線，求出。涉的關(guān)系，是解決

本題的關(guān)鍵.

14.克羅狄?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師，托勒密定理是平面幾

何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊

形中，兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形ABCD是圓。的內(nèi)接四邊形，且

AC=y/3BD,ZADC=2ZBAD,若+AD=46，貝1J。)圓。的半徑是

,(2)四邊形A3CD面積的取值范圍是.

【答案】①.2②.出2吟

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得BD=2,利用正弦定理可得sinNA￡)C=J^sinN5W，即可得cos/BAD=乎，

即可得外接圓半徑；分析可知AC=26，BD=2,取臨界狀態(tài)，分析可知點A在劣弧44或A4上，

且AC與班)的夾角ae，進(jìn)而可求面積.

【詳解】由托勒密定理，得AC-BD=AB-Cr>+BC-Ar)=46.

因為4。=出5。，所以%>=2.

設(shè)圓。的半徑為R,由正弦定理，得———=———=27?.

sinZADCsmABAD

又AC=?BD，所以5桁/4。。=百5畝/明。.

因為ZADC=2ZBAD,所以2sinABADcosABAD=gsin/BAD，

因為0</84￡><兀，所以sin/3AD>0,所以cos/B4D=3，

2

所以sin/BAD=J1—cos?/BAD=L則2R=———=4,故R=2.

2sinABAD

因為AC=2石，可知點0到直線AC的距離d=?—陰2=1,

可知直線AC為以。為圓心，半徑為1的圓的切線，

JT

在△A3。中，可知3。=2,/54。=：,結(jié)合圓的性質(zhì)可知點A在優(yōu)弧BC上，

則43=2百；J^A4D1BD,則4。=26；

取&B=BD,則為。=26；^AiD=BD,則4^=26；

7171

可知點A在劣弧44或AA上，且AC與的夾角ae

6,2

所以四邊形ABCD面積5^8=-^AC-BDsina=2y/3sinae^y/3,2y/3^.

故答案為：2；(A2^).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—A31G中，VA5C是邊長為2的正三角形，|A4j=3,O為AC中點，點E

在棱CG上，MCE=ACq,0<2<l.

B

2

(1)當(dāng)4=一時，求證：平面5DE；

3

(2)當(dāng)4時，求直線與平面5DE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵變

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線面垂直即可;

(2)利用空間向量法可求得直線4片與平面5DE所成角的正弦值.

【小問1詳解】

取AG的中點2,連接。2，

因為三棱柱ABC-451G為直棱柱，且VA3C為正三角形,

以DB、DC、所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)已知條件得。(0,0,0)、網(wǎng)、瓦0,0)、4(0,-1,3)>c(o,i,o),q(0,1,3),

27

當(dāng)4=3時，CE=gCG，則￡(0,1,2),

所以AE=(O,2,-L),DB=(73,0,0),DE=(0,1,2),

所以AE-D6=0,AE-DE=0+2—2=0，

所以AELBD,^EIDE,

又DBcDE=D,BD、OEu平面BZJE，所以4E，平面5DE.

【小問2詳解】

易知4(G,0,3),則A4=(G/,o)，

當(dāng)4=g時，點E(0』,l),DB=(73,0,0),DE=(0,1,1),

,、m-DB=6x=0

設(shè)平面BQE的法向量為加=(%,y,z),貝嗎

m-DE=y+z=0

取y=l,可得機(jī)=(0,1,T),

m-A[Bii

所以cosm,AxBx

I用H而行x2—4

1萬

故當(dāng)X=§時，求直線$與與平面以汨所成角的正弦值為?.

16.已知雙曲線C：=1(a>0,Z?>0)的左頂點為A,右焦點、為F,動點、B在雙曲線C上,

a2b2

當(dāng)3產(chǎn)上釬時，忸耳=區(qū)耳.

(1)求C的離心率;

（2）已知a=l,M,N兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若Affi=23N，求

△MQV的面積.

【答案】（1）2；（2）

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件求出產(chǎn)時8的坐標(biāo)，根據(jù)/=|”|,列出關(guān)于a,瓦c的齊次等式，即可求

離心率；

（2）先求出雙曲線方程與漸近線方程，通過MB=2BN找出M，N,3坐標(biāo)之間關(guān)系，用M,N坐標(biāo)表示

9

8的坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到玉%=3,再用項,々表示出△MQV的面積，整體代入即可.

8

【小問1詳解】

設(shè)4G0）,將x=c代入雙曲線方程得y=土生，此時忸同=|AF|,

a

-b2

所以一二a+。，即c?一,2a2+ac—c1=0，

a

則2+e—/=0，所以e=2（負(fù)值舍去），

故C的離心率為2.

【小問2詳解】

因為a=l,由（1）知。=2,Z?=A/3,

2

雙曲線方程為：4=1,漸近線方程為'=±島，

設(shè)〃（石,瓜J,N（X2,-V3X2）,B（x0,%）,

則Affi=（Xo%-百不）=2邸^=2（%-的一血/一為）,

2X2+玉

-3-

所以《

43xl-2Gx2

%=

3

又5（%,%）在雙曲線上，所以（2%+者）-_（百/-2A2）2=],整理得：2,

9278

2JT

由漸近線方程為y=土?得ZMON=y,

所以/\MON的面積為-sinZMON

=；Jx；+3x；.Jx；+3x；.sin§=G%%

2Jo

17.2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和

內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件3為小明取到棕

色內(nèi)飾的模型，求尸伊)和P(B|A),并判斷事件A和事件B是否獨立；

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，

給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)

飾同色；

假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；

假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；

請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

46

【答案】(1)P(B\A)=-,事件A和事件B不獨立.

(2)分布列見解析，￡(X)=277

【解析】

【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式和事件的獨立性定義即可得出.

（2）分別求出三種結(jié)果對應(yīng)的概率，比較大小，確定X對應(yīng)的概率，求出分布列，利用期望公式進(jìn)行計算

即可.

【小問1詳解】

17+?14

若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率尸（4）=三己=:，

若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12個，藍(lán)色外觀8個，則對應(yīng)的概率P（B）=詈=||=。

取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即尸（AB）=^,

12

25二」26

則尸(B|A)=

P(A)-14-14-7

25

尸⑷尸（8）=小：=鴻斐，??尸⑷尸（小尸網(wǎng)）,

即事件A和事件B不獨立.

【小問2詳解】

由題意知X=600,300,150,

C2+C2+C2+C2_66+28+3+198_49

則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P=-~~-

300-300-150

。25

C1C1+C1C152

外觀和內(nèi)飾都異色的概率P=二28二

僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率尸=1-言49-益52=：1,

14913

->--->—,

215075

1984913

...P(X=150)=—,P(X=300)=——=——,P(X=600)=——，

230015075

則X的分布列為:

X150300600

4913

P

215075

14913

則￡（X）二150x-+300x——+600x—=277(元).

2150