黑龍江省某校2025屆高三上學期期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列關系正確的是()

A.0《NB.73eQ

C.ZEQD.{1,2}={幻％2-3刀+2=0}

2.若sin。=—乎且tan。=1同時成立，貝1］。是()

A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角

3.若向量落行滿足|之一石|=1,|2+2同=避，a,3的夾角為則囚=()

A.1B.坐C.|D.平

4.下列不等關系中。<b的充分條件是()

3

A.log03a<10go.3bB.a=(-1.4)3；b=(-1.5)

C.a=1/3；也=0.9D/og64a=-|；濟=8

5.在正方體ABC。—&8道必中，點E和點尸分別在&D和&C上，且&E=乳。/尸=、4C,貝lj()

A.EF與BDi異面B.EF與和垂直

C.EF與BDi相交D.EF至多與&D和AC兩者之一垂直

6.已知正項等差數列{&J滿足EN*),則要=()

A.2B,2024C,1012D,4048

7.函數/'(%)=2避cos(3久—?.cos3x—2sin23x+1圖象如圖所示，若函數f(x)在1m，/］單調增，則小的取

71_87rTI\87r7i\

rD.

4>~9~V

8.一只蜜蜂從蜂房4出發向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房(如圖)，例如：從蜂房4只能爬到1號

或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房，…，以此類推，用品表示蜜蜂爬到n號蜂房的方法數，則

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。2025被7除的余數為（）

A.2B.1C.3D.6

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知圓C:N+y2-4x-4y+7=0,點P（a,6）為圓上一點，點。為坐標原點，則下列敘述正確的有（）

A.點。在圓外B.|PO|的最小值為々―1

C.a+6的最小值為4-/D.《的最小值為理產

10.已知復數z,則下列說法正確的是（）

A.若|z|=2,貝ijz=±2B.若z+2ieR,貝收的虛部為一2

C.若z2>0,則zeRD.若|z|=1,則lW|z-2|<3

11.已知拋物線C：*2=4y的焦點為凡C上不同兩點2（巧,月），B（x2,y2）,以4B為切點的切線P4PB相交

于點P,4、B、M（2,2）三點共線.下列說法正確的有（）

A.?|8M|最小值為4B.\PF\的最小值為方

C.使得|4B|=4也的直線有兩條D.NP凡4=LPFB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

12.直線久=1與雙曲線X2=1的兩條漸近線分別交于48兩點，則阿|=

13.已知正方體28CD-4止心。1的棱長為2,P為底面4BCD內（包括邊界）的動點，若。/1名。，貝葉點在

正方形底面4BCD內的運動軌跡長為

14.若過點（2,m）可作出曲線/（x）=療一3%的三條切線，則機的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

在銳角A4BC中，AB=3,BC=",sinC=皂啰

14

（1）求乙4；

（2）若。為4C的中點，求C0S4D8C.

16.（本小題12分）

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已知在平面直角坐標系xOy中，兩定點4(-3,0),5(3,0),直線M4MB相交于點M,且它們的斜率之積是

4

-9,

(1)求點”的軌跡方程r,并指出「的形狀.

(2)若直線2:y=心比-1)與點M的軌跡交于P,Q兩點，求證：直線2P與直線BQ的交點G在定直線x=9上.

17.(本小題12分)

函數/'(%)=a\nx+^x2—(a+l)x,(aGR)

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)若不等式監與警<a-2對任意的打，久26(0,+8)恒成立，求a的取值范圍.

18.(本小題12分)

如圖，三棱錐P-ABC中，PA，平面A8C,平面P4B_L平面P8C,PA=6,AB=2避，BC=6.

BC

(1)求三棱錐P-力BC的體積；

(2)在線段P4上試確定一點M,使得平面M8C,經過三棱錐P-28C內切球的球心，并求淺的值.

19.(本小題12分)

對于一個有窮整數列Q：ai，a2,…，an,對正整數meN*,若對于任意的n6{1,2,…,小},有窮數列Q中總

存在a”ai+1,…，ai+j,自然數/20使得見+%+i+…+七+)=九，則稱該數列為1到6連續可表數列,即

1到機中的每個數可由Q中的一個或連續若干項表示，而m+1不可由Q中連續若干項表示.例如數列2,1,

3則Cl?=1,Cl]=2,GI3=3,0.2+—4,而+0,2豐5,0.2+豐5,Cl]+O,2+CZ3丁5,所以數列2,

1,3是1到4連續可表數列.

(1)數列Q1：1，1，1，1，1是否為1到5連續可表數列？若數列Q2：2,1,4是一個1到小連續可表數列，求小

的值.

(2)若有窮數列Q：的,a2,…，a?其調整順序后為一個等比數列，則該數列稱為準等比整數列(等比數列本

身也可看作準等比數列)，調整后的公比稱為該數列公比,若準等比整數列內,a2,…，所為1到5連續可表

數列，且公比q為整數，求數列的公比q的值.

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1

(3)對正整數n,gGN*(g>2),存在唯一的數列的，…，。機使得，n=a1-g°+a2-g+■■■+am-

7n11

gt,且滿足a7n羊0,0<a；<g-1,i=1,2,3...加數列￡1「9°,a2-g,■■■,a」?g"一】稱為正整數n的

g進制殘片.記事件“隨機挑選區間［1力內的整數&為大于等于2的正整數)，該數的g進制殘片調整順序后能

成為1至U5連續可表數列”的概率為Pg(r),求Pg(r)的表達式.

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參考答案

1.D

2.B

3.0

4.D

5.B

6.C

7.C

8.D

9.AC

1Q.BCD

11.ACD

12.273

13.2#

14.(-6,2)

15.⑴

???AB=3,BC=",sinC=宜紅

14

由正弦定理得：照=盥＞.,.嘉=當，sinA=乎

sinesmAsmZ2

TT

又因為4為銳角，?,?a=§.

(2)

在U8C中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-XCcosJ

AC2-3AC+2=0,AC=2或AC=1

若4C=1,則cosC==1＜0，貝UC為鈍角，舍去

Z/IC-DC；第/

AC=2,因為。為中點，AD=1

???在"8。中，BD2=AB2+AD2-2AB-AD-COSA=9+1-2xlx3x-=7

BD2+BC2-DC27+7-1

???在△BCD中，cos乙DBC=

2BD-BC2xaxa-14

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16.⑴

設點M的坐標為(x,y),

因為力(一3,0),所以直線力M的斜率為膜時=*0不一3),

因為B(3,0),所以斜率為版時=告(乂H3),

由已知得備x嗨=肯，整理得普+?=1。不±3),

故形狀為焦點在x軸上，長軸長為6,焦距為2"，除去4(-3,0),B(3,0)的橢圓.

(2)

+比=1

聯立94-,消去y整理得：(9H+4)*2—I8k2x+9/c2-36=0,

{y=卜。一1)

18k29fc2-36

X1%2

如圖，設M(X1，%),^(X2,y2),%1+%2=9N+4'=9fc2+4

而尤62=9N；4+9-9=^7^—9=5(X1+X2)-9,

直線4P:y=7^(%+3),直線BQ:y=竟、(工一3),

聯立兩直線得到云治(久+3)=臺0-3),

敕平田球曰_2(%2-1)(為1+3)+(%1-1)(%213)_2+冗2-2%1_Q6%2+3-1—9_

定理付％=3(汽2_1)(為1+3)-3_1)(冗2-3)=3X2%2+%1-3=3X2%2+X1-3=''

故直線4P與直線BQ的交點G在定直線x=9上.

17.⑴

/⑴=?+x-(a+1)=(x>0)

所以/'(%)>0<=>(%—a)(%—1)>0,(%>0),

當a>1時,(%)>0<=>x>a或0V%<1；/'(%)<0=1<%<a,

所以此時/(%)在(0,1)上單調遞增，在(1")上單調遞減，在a+8)上單調遞增,

當0<a<1時/(%)>00%>1或0V%Va；/'(%)<00a<%<1,

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所以此時下(久)在(0,a)上單調遞增，在(a,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,

當a=1時1(久)20恒成立，所以此時九久)在(0,+8)上單調遞增，

當a<。時尸(x)>0,>1；f'(x)<0<=>0<x<1,

所以此時f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

(2)

由告尹2<a-2對VX1，應e(0,+8)恒成立，不妨設句〈久2,則整理得：

alnxi+聶弓-3%i<alnx2+品2-3%2，

設9(%)=aln%+-^x2—3x,

有g(%i)<g(%2)，所以g(%)單調遞增，即g'(%)>o恒成立，

即，+%—320，其中%>o,

所以a2x(3-久)，又%(3-%)3佟萼=)2=7,當且僅當x=|時等號成立，

同時a=弓時，g(%)=aln%+#—3%不是常函數，所以a之年.

18.(1)

???PA1平面ABC,AB,BCc平面48C,

???PA1AB,PA1BC,

在RtAPTIB內過4作4。1PB,貝外異于P,8兩點，

???平面ABC_L平面PBC,且交線為PB,ADu平面P4B,

則4。1平面P8C,又BCc平面PBC,

AD1BC,又PACyAD=A,PA,ADu平面PAB,

BC1平面P4B,設三棱錐P-HBC的體積為匕

故U=力xS.PABxBC=|x|x2^3x6x6=1273(2)

由(1)BC_L平面P4B,ABu平面P4B,貝gC1AB.

又PA1平面ABC,過點B作平面48c的垂線BN,貝l]BN〃4P.

如圖，分別以麗，瓦l麗所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系B-盯z,

則B(0,0,0),C(6,0,0)/(0,2^,0),P(0,2^,6),

內切球與平面PAB且與平面4BC相切，設內切球半徑為r,

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可設內切球球心為。(r,t,r),又PB=^PA2+AB2=國+(2鄧)2=40.

由，P-A3C=式+S”/c+S^PBC+S^ABC),R，

所以有12避=Ixx2^/3x6x2+1x6x44x2)r=12pr

解得r=1,則。

設平面P"的法向量為五=(%,y,z),AP=(0,0,6),前=(6-2^0),

故隈=(T令x=L解得V=居z=0,

則蔡=(1,避,。)為平面P4C的一個法向量，

由內切球球心性質得球心。到平面PAC的距離d等于半徑1,

由而=(l,t—24,1),

則d=耳潤=11+同~2⑸=i,解得t=7或土=4，

I川2V3

又專＞2々，不合題意，故舍去，

所以t=4，即球心。(1,避,1).

設平面80C的一個法向量為=(x0,y0,z0),

又打=(1,避,1),阮=(6,0,0),

故管二^yo+zo=O'令見=1，解得勾=0/0=-4，

則呈=(0,1,-4)為平面BOC的一個法向量.

若M在線段P力上，則可設M(0,2平加),0＜根＜6,前=(0,2*,zn),

若平面MBC經過三棱錐P-4BC內切球的球心0,即O,M,B,C四點共面，

貝U前11,故前i==0,解得爪=2,即4M=2,PM=4,

故當點M位于線段PA靠近點力的三等分點處，

平面MBC經過三棱錐P—力BC內切球的球心0,且言=2.

19.(1)

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依題意設數列Qi的通項為an,

則。1=1,a1+a2=2,a1+a2+a3=3,

Gt1+Q，2+…+=4,Cl1+Q，2+…++。5=5,

由于數列只有5項，不可能表示大于等于6的正整數，

故數列Qi為一個1到5連續可表數列，

對于數列Q2,設其通項為bn,直接計算可知，

該數列的歷=1,b1=2,必+92=3,b3-4,62+63=5,

而6無法用連續的項表示出來，故該數列為1到5連續可表數列，得到爪=5.

(2)

當準等比數列公比為1,-1,2,-2時，

可以對應構造數列Qi：l,1,1,1,1,Q2：l,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,Q3：2,1,4Q4：8,

-4,-1,2,

其中由(1)可知Qi，Q2,Q3為1到5連續可表數列，

對于最后一個數列(?4，有1=一1+2,2=2,

3=8+(—4)+(—1),4=8+(—4),5=8+(—4)+(―1)+2,

而6不能連續若干項表示，故這數列也為1到5連續可表數列，

現在，假設qGZ,滿足|q|23,

數列Q:%,a2,an為一個公比為q的1到5連續可表準等比數列,

則可以設%=a?qg(i=1,2,...ri),

其中mi，62，…叫為0,…，n一1的一個排列，

mimi+1n

則該數列的連續表出具有《+ai+1+...+ai+j=a-(q+q+...+q'，+<)的形式，

其絕對值不小于|a|,由于1可以被表出，有12|可，故a=l或a=-l,

m

如果a不參與表出1到5,則見+a(+i+...+&+j=a?(q，+嚴+工+...+嚴刊)不包含q0,

故可提出q,即七+七+1+…+/+/=a?q(qgT+qW+iT+…+q恤+廠1),

由于|a?q|23q7nLi+嚴"T+…+勺啊+廠1必是非零整數,

而|a'g(qm-1+qm；+i-